均勻網(wǎng)絡(luò)上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較

李 星，羅曉峰

(山西大學(xué) a.復(fù)雜系統(tǒng)研究所； b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；c.計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，太原 030006)

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均勻網(wǎng)絡(luò)上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較

李 星a,b，羅曉峰a,c

(山西大學(xué) a.復(fù)雜系統(tǒng)研究所； b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；c.計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，太原 030006)

網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的精度是評價模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，其中網(wǎng)絡(luò)對逼近傳染病模型的優(yōu)劣取決于所選逼近方法的精度。借助SIS傳染病模型比較均勻網(wǎng)絡(luò)上染病鄰居數(shù)服從泊松分布、多項分布以及基于平均場思想的3種逼近方法的精度，發(fā)現(xiàn)在泊松分布下模型的誤差最小，即泊松分布下的逼近方法精度最高。

均勻網(wǎng)絡(luò)；對逼近；傳染?。换驹偕鷶?shù)；隨機(jī)模擬

傳染性疾病一直影響著人類的生活，有的甚至威脅著人們的生命，如非典(SARS)、艾滋病(HIV)、埃博拉等，因此對傳染病傳播的研究顯得尤為重要[1]。由于在人群中進(jìn)行疾病實驗具有不可行性，因此數(shù)學(xué)模型可作為強(qiáng)大的工具來模擬實際疾病在人群中的傳播機(jī)理，進(jìn)而預(yù)測疾病的發(fā)展趨勢，做出預(yù)防和控制策略。所以，傳染病數(shù)學(xué)模型的精度成了能否精準(zhǔn)預(yù)測疾病發(fā)展趨勢的關(guān)鍵[2-4]。另外，由于疾病在人群中傳播，人與人之間的接觸關(guān)系(人群結(jié)構(gòu))對疾病的傳播也起著至關(guān)重要的作用。隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展，研究者把人群映射到網(wǎng)絡(luò)上，通過網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體現(xiàn)人群內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而建立基于網(wǎng)絡(luò)的傳染病模型來研究疾病在人群中的傳播[5-8]。在網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表人群中的個體，節(jié)點之間的連邊代表人與人之間的接觸關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)對逼近模型是網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的一種，它以節(jié)點和邊作為變量建立傳染病動力學(xué)模型，進(jìn)而研究疾病的傳播機(jī)理[9-10]。這類模型的精度取決于所選逼近方法的精度，因此本文主要借助均勻網(wǎng)絡(luò)(個體之間接觸關(guān)系的差異性不大)上的SIS傳染病模型比較了3種逼近方法(即染病個體數(shù)服從泊松分布、多項分布以及基于平均場理論)的精度。

1 均勻網(wǎng)絡(luò)模型

對于SIS對逼近傳染病模型,設(shè)個體總數(shù)為N且保持不變，即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點總數(shù)不變，個體按狀態(tài)分為易感者S和染病者I，染病者恢復(fù)后變?yōu)橐赘姓撸粋€染病者和一個易感者每次接觸傳染的概率為τ，染病者的恢復(fù)率為γ。對于[S]、[I]、[SI]、[SS]、[II]，利用主方程可得

式中：[A]表示狀態(tài)為A的總節(jié)點數(shù)；[AB]表示狀態(tài)為A和狀態(tài)為B的節(jié)點構(gòu)成的所有二元組(對)數(shù)量；[ABC]表示狀態(tài)為A、狀態(tài)為B和狀態(tài)為C的節(jié)點構(gòu)成的所有三元組數(shù)量。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的平均度為n1，顯然有如下保持量：

(1)

接下來通過不同的逼近方法封閉模型進(jìn)行研究。

1.1 泊松分布下的SIS對逼近模型(P-PW)

(2)

1.2 多項分布下的SIS對逼近模型(B-PW)

(3)

1.3 平均場SIS對逼近模型(MF-PW)

Kiss等在文獻(xiàn)[11]中應(yīng)用平均場的想法給出三元組的逼近公式：

可得到相應(yīng)的平均場SIS對逼近傳染病模型(MF-PW)：

(4)

接下來利用無病平衡點的穩(wěn)定性計算該模型的基本再生數(shù)。

令系統(tǒng)(4)的右邊3式為0，得到系統(tǒng)的無病平衡點Q0(N,0,n1N)。該系統(tǒng)在無病平衡點Q0處的Jacobian矩陣為

(5)

因此， Jacobian矩陣(5)的特征方程為|λE-J0|=0， 即

(6)

顯然，特征方程(6)有一個負(fù)實根-γ，當(dāng)且僅當(dāng)

的所有特征根有負(fù)實部時，無病平衡點Q0是局部漸近穩(wěn)定的。由于h(λ)的判別式為

因此，不妨設(shè)h(λ)的特征根分別為λ1、λ2。由圓盤定理可知，兩特征根必須有負(fù)實部滿足以下條件：

(7)

下面將針對各模型及其基本再生數(shù)進(jìn)行隨機(jī)和數(shù)值模擬對比，并進(jìn)行誤差分析，進(jìn)而比較3種逼近方法的精度。

2 模擬與誤差分析

這部分在ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(均勻網(wǎng)絡(luò))[12]上通過3種模型(式(2)(3)和(4))進(jìn)行數(shù)值與隨機(jī)模擬(100次求平均)比較3個模型的準(zhǔn)確性。誤差分析結(jié)果表明模型(2)誤差最小，即染病鄰居服從泊松分布的逼近方法更合理。

首先，構(gòu)造一個總節(jié)點數(shù)為N=5 000的度分布服從泊松分布pk=P(λ)的配置網(wǎng)絡(luò)，其中,λ=20。該網(wǎng)絡(luò)的總邊數(shù)為n1N=1.000 0×105，平均度n1=20.0。

圖1 在平均度為20、總節(jié)點數(shù)為5 000的ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)下[SI]的時間序列

圖2 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)時誤差隨時間的變化情況

圖3 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)R0和隨τ，γ的變化情況

3 結(jié)束語

疾病在人群中的傳播不僅與疾病本身的傳播機(jī)理有關(guān)，且取決于人群個體的分布。網(wǎng)絡(luò)傳染病模型就是基于此，把人群的分布映射到網(wǎng)絡(luò)上，然后讓疾病在網(wǎng)絡(luò)上傳播。模型的高準(zhǔn)確性是建模者所追求的，既有利于數(shù)學(xué)分析又能應(yīng)用到實際疾病研究中。本文研究了均勻網(wǎng)絡(luò)考慮染病鄰居數(shù)服從泊松分布、多項分布以及基于平均場思想3種不同逼近方法的SIS模型，對模型求解，發(fā)現(xiàn)染病鄰居數(shù)服從泊松分布的逼近方法得到的疾病閾值略大于其他兩種。通過模擬與誤差分析，得到染病鄰居數(shù)服從泊松分布的逼近方法誤差最小。

[1] 靳禎，孫桂全，劉茂省.網(wǎng)絡(luò)傳染病動力學(xué)建模與分析[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[2] ANDERSON R M,MAY R M,ANDERSON B.Infectious diseases of humans:dynamics and control[M].Oxford:Oxford university press,1992.

[3] HETHCOTE H W.The mathematics of infectious diseases[J].SIAM review,2000,42(4):599-653.

[4] KEELING M J,ROHANI P.Modeling infectious diseases in humans and animals[M].Princeton ：Princeton University Press,2008.

[5] KEELING M J,EAMES K T D.Networks and epidemic models[J].Journal of the Royal Society Interface,2005,2(4):295-307.

[6] MOTTER A E,MATíAS M A,KURTHS J,et al.Dynamics on complex networks and applications[J].Physica D:Nonlinear Phenomena,2006,224(1):vii-viii.

[7] FU X,SMALL M,WALKER D M,et al.Epidemic dynamics on scale-free networks with piecewise linear infectivity and immunization[J].Physical Review E,2008,77(3):036113.

[8] PASTOR-SATORRAS R,CASTELLANO C,VAN MIEGHEM P,et al.Epidemic processes in complex networks[J].Reviews of modern physics,2015,87(3):925.

[9] LUO X F,ZHANG X,SUN G Q,et al.Epidemical dynamics of SIS pair approximation models on regular and random networks[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2014,410:144-153.

[10]MORRIS A J.Representing spatial interactions in simple ecological models[D].Warwick ：University of Warwick,1997.

[12]ERDDS P,WI A R.On random graphs I[J].Publ Math Debrecen,1959(6):290-297.

(責(zé)任編輯 陳 艷)

Comparison of Several Pair-Approximation Methods for SIS Epidemic Models in the Homogeneous Networks

LI Xinga,b, LUO Xiao-fenga,c

(a.Complex System Research Center; b.School of Mathematical Sciences; c.School of Computer & Information Technology, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

The accuracy of network-based epidemic models is a criterion of judging these models. Interestingly, judging the pair-approximation models in networks depends on the accuracy of approximation methods. Via SIS models, we compared the accuracy of three approximation methods in the homogeneous networks. The first is based on the number of infected neighborhoods of individuals following Poisson. The second is based the number of infected neighborhoods of individuals following multinomial distribution. The last one is based on the mean-field theory. Then we find the model under Poisson distribution with smallest errors, i.e. the accuracy of approximation methods under Poisson distribution is highest.

homogeneous network; pair-approximation; epidemic; basic reproduction number; stochastic simulation

2016-12-08 基金項目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(11501340)；山西省回國留學(xué)人員重點科研資助項目(2013-重點3)

李星(1990— )，女，碩士研究生，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其傳播，E-mail:lixing20469@gmail.com；羅曉峰(1987—)，男，博士研究生，主要從事網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)研究，E-mail:luo_xf1988@163.com。

李星,羅曉峰.均勻網(wǎng)絡(luò)上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(5):169-173.

format：LI Xing, LUO Xiao-feng.Comparison of Several Pair-Approximation Methods for SIS Epidemic Models in the Homogeneous Networks[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):169-173.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.028

O175

A

1674-8425(2017)05-0169-05