球形顆粒在含纖維冪律流體中沉降速度預測模型

劉慶嶺，田守嶒，李根生，沈忠厚，許爭鳴，龐照宇，王友文

中國石油大學(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249

石油化學

球形顆粒在含纖維冪律流體中沉降速度預測模型

劉慶嶺，田守嶒*，李根生，沈忠厚，許爭鳴，龐照宇，王友文

中國石油大學(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249

在石油工業(yè)中，纖維被廣泛應用于提高鉆井液和壓裂液的固相運移能力，研究顆粒在含纖維流體中的沉降速度可以為纖維鉆井液及壓裂液性能評價與優(yōu)化設計提供依據(jù)。本文針對球形顆粒在含纖維冪律流體中的沉降速度進行研究，擬建立一個考慮不同雷諾數(shù)與纖維濃度的顆粒沉降速度預測模型。開展了球形顆粒在含纖維冪律流體中沉降速度全參數(shù)實驗，考慮的變量參數(shù)有：顆粒粒徑、顆粒密度、基液流變性及纖維濃度。結(jié)果表明：在實驗條件下，加入纖維使基液的表觀黏度有少量增加；隨著纖維濃度的增大，顆粒沉降速度逐漸降低，表明纖維對顆粒產(chǎn)生一個機械阻力作用，定義為纖維阻力。與黏性阻力系數(shù)類似，本文定義無因次纖維阻力系數(shù)來定量表征纖維阻力的大小；定義與顆粒沉降速度無關(guān)的阿基米德數(shù)為總阻力系數(shù)(纖維阻力系數(shù)與流體阻力系數(shù)之和)與顆粒雷諾數(shù)的函數(shù)。基于實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在實驗沉降速度下，顆粒雷諾數(shù)與無因次阿基米德數(shù)在雙對數(shù)坐標系中符合線性關(guān)系，據(jù)此擬合得到了最終的顆粒沉降速度預測模型。與實驗數(shù)據(jù)相比，該模型平均相對誤差為12.39%，符合精度要求。該模型適用的雷諾數(shù)范圍為(0.002～324)，纖維濃度范圍為(0.02%～0.1%)。本研究對纖維在石油工程中的應用具有一定的指導意義。

球形顆粒；纖維；冪律流體；沉降實驗；沉降速度；預測模型

0 引言

纖維在石油工業(yè)中應用廣泛。在大斜度井及水平井鉆井過程中，巖屑清潔十分困難，鉆井液攜巖能力差會降低機械鉆速，增大扭矩，并造成卡堵和鉆頭磨損等問題[1]。纖維在鉆井液中充分分散后，能夠在不增加鉆井液黏度的情況下顯著增強其攜巖能力，減少井下復雜工況和事故的發(fā)生[2-3]。在水力壓裂過程中，一方面，壓裂液攜砂能力不足會導致裂縫閉合前支撐劑集中在裂縫底部，不能完全充填裂縫，影響產(chǎn)能[4]；另一方面，壓裂施工后排液時，支撐劑回流現(xiàn)象普遍，不僅降低儲層的改造效果，而且支撐劑在高速返排液的攜帶下會沖蝕井口閥門和地面管線，影響安全生產(chǎn)[5-6]。支撐劑回流產(chǎn)生的管線沖蝕問題對于壓力高、流速快的氣井更為突出[7]。纖維在壓裂液中分散能夠避免支撐劑的快速沉降，促進支撐劑完全均勻分布到整個裂縫中，提高產(chǎn)能[8]。壓裂液返排過程中，纖維與支撐劑之間相互作用形成空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，增強支撐劑的內(nèi)聚力，從而將將支撐劑穩(wěn)定在原始位置，預防支撐劑的回流[9]。

研究顆粒在含纖維流體中的沉降速度可以為纖維鉆井液及壓裂液性能評價與優(yōu)化設計提供依據(jù)。國內(nèi)外學者對于顆粒在純冪律流體中的沉降規(guī)律進行了大量研究，提出了多種模型，如Chhabra模型[10]，Kelessidis模型[11]，Shah模型[12]等。然而，針對顆粒在含纖維冪律流體的沉降問題國內(nèi)外研究較少，并且主要為定性研究，缺乏定量評價。

筆者采用室內(nèi)實驗方法，測試球形顆粒在不同粒徑、密度、纖維濃度與不同基液流變性條件下的沉降速度，進而對實驗數(shù)據(jù)進行回歸分析，最終得到了考慮不同顆粒雷諾數(shù)與纖維濃度的顆粒沉降速度預測模型。

1 實驗裝置及方法

1.1 實驗裝置

如圖1所示，進行實驗的沉降裝置為有機玻璃圓筒，其內(nèi)徑為200 mm，高度為1 500 mm。使用高速攝影(Phantom v310)記錄顆粒沉降過程，記錄頻率為100楨/秒。

圖1 實驗裝置Fig. 1 Experimental setup

1.2 實驗材料

實驗所使用的球形顆粒材質(zhì)為鋁(Al)、鈦(Ti)、鋼(St) 3種，密度分別為2 680 kg/m3、4 450 kg/m3和 7 960 kg/m3，顆粒直徑為1～10 mm。使用不同材質(zhì)的顆粒一方面為了擴大顆粒的雷諾數(shù)范圍(0.002～324)，另一方面為了能使所建立的模型對不同密度的顆粒均具有適用性。實驗使用羧甲基纖維素(CMC)水溶液作為冪律流體基液，質(zhì)量濃度范圍為0.75%～1.75%，流變參數(shù)如表1所示。實驗使用的纖維為美國FORTA公司生產(chǎn)，長度為3.175 mm，比重為1。

1.3 實驗方案和步驟

實驗為全參數(shù)實驗，變量為：顆粒密度、顆粒直徑、CMC濃度和纖維濃度。實驗研究[3]及現(xiàn)場應用[8]表明，流體中加入少量的纖維(質(zhì)量濃度≤0.1%)即可達到所需的固相運移效果。纖維含量超過臨界值時會使得表觀懸浮液黏度顯著升高[13]。因此，本實驗測試選用的纖維濃度范圍為0.02%～0.1%。實驗方案如表2所示，共需進行630(3×7×5×6)組實驗。實驗步驟如下：

(1)將所需的CMC粉末與清水在容器中混合，使用攪拌器以300 r/min的轉(zhuǎn)速均勻攪拌至充分溶解，然后靜置水化12 h。

(2)將一定質(zhì)量的纖維加入CMC溶液中，邊加邊低速攪拌，直至纖維充分分散，形成穩(wěn)定的懸濁液。

(3)使用流變儀(Hakke Rheostress 6000)測試流變參數(shù)。

(4)將配置好的實驗溶液倒入沉降裝置，靜置15 min待氣泡排出。

(5)顆粒在進行沉降實驗前應首先在測試流體中浸泡12 h，以確保在實驗過程中顆粒和流體能夠充分接觸。進行沉降實驗時，顆粒應從圓筒容器中心液面之下投入。整個實驗過程中溫度應保持恒定。

表1 不同濃 度CMC溶液的流變性Table 1 Rheological properties of fl uids with different CMC concentrations

1.4 數(shù)據(jù)處理方法

高速攝影的記錄范圍設置為距圓筒上端700 mm以下到下端300 mm以上，在這個范圍內(nèi)既能確保顆粒已經(jīng)達到沉降速度，又能避免壁面的邊界效應對沉降速度的影響。如圖2所示，在高速攝影記錄范圍內(nèi)，T時刻到T+ΔT時刻范圍內(nèi)球形顆粒下降了ΔL距離，則顆粒的沉降速度為V=ΔL/ΔT。每組實驗至少重復三次，直至有三組數(shù)據(jù)平均相對誤差小于5%。

表2 實驗方案Table 2 Experimental scenarios

2 實驗結(jié)果和討論

2.1 纖維對流體流變性的影響

圖3所示為0.75% CMC溶液不同纖維濃度下流變性測試及冪律擬合曲線，相關(guān)性系數(shù)R2均大于0.99，表明含纖維懸浮液流變方程符合冪律模式。選用剪切速率γ=511 s-1，由公式(1)計算不同纖維濃度下表觀黏度。擬合得到的冪律指數(shù)和計算得到的表觀黏度如表3所示。對比不同纖維濃度下的表觀黏度，發(fā)現(xiàn)纖維質(zhì)量濃度小于等于0.06%時，表觀黏度相對于基液有上下波動，但變化較小，相對改變量Δμn小于3%；纖維質(zhì)量濃度為0.08%和0.10%時，表觀黏度相對于基液有少量增加，相對改變量Δμn分別等于9.09%和9.92%。

其中：τ為剪切應力，Pa；γ為剪切速率，s-1。

2.2 纖維對顆粒沉降速度的影響

如圖4所示，取出部分含纖維流體，選用高速攝影高放大倍數(shù)鏡頭拍攝，發(fā)現(xiàn)纖維細絲分散在流體中，相互交叉纏繞，呈現(xiàn)穩(wěn)定的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。如圖5所示，對于不同直徑的顆粒，隨著纖維濃度的增加，顆粒沉降速度均平緩下降,表明分散在流體中的纖維網(wǎng)絡對顆粒施加了附加的阻力作用，定義為纖維阻力，且隨著纖維濃度的升高，阻力逐漸增大。實驗中還發(fā)現(xiàn)，CMC濃度大于等于1.25% 時，隨著纖維濃度的增加，粒徑較小的鋁顆粒(dp=1 mm，2 mm)逐漸趨向于完全懸浮，其原因在于纖維網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)相當于使流體產(chǎn)生了靜切力[14]，粒徑較小的鋁顆粒浮重較小無法克服靜切力，因而懸浮在含纖維流體中，沉降速度為零。

圖2 球形顆粒沉降過程中捕捉圖片F(xiàn)ig. 2 The settle-capture photographs of sphere

圖3 0.75% CMC溶液不同纖維濃度下流變性測試Fig. 3 Rheologies of 0.75% CMC fl uids with different fi ber concentrations

表3 0.75%CMC溶液不同不同纖維濃度下冪律指數(shù)和表觀黏度Table 3 Fitted power-law parameters and apparent viscosity of 0.75% CMC fl uids with different fi ber concentrations

圖4 纖維網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)微觀圖像Fig. 4 The microscope image of fi ber network structure.

3 沉降速度計算模型

3.1 顆粒受力分析

如圖6所示，球形顆粒在含纖維流體中自由沉降時，受到三個力的作用：一是顆粒在流體中的浮重，F(xiàn)w0(重力與浮力之差)；第二是流體作用于顆粒表面的阻力，稱為流體阻力Fdv；第三類是纖維作用于顆粒表面的阻力，定義為纖維阻力Fdf。

顆粒在流體中的浮重，F(xiàn)w0，只取決于顆粒的重度和流體的重度，與顆粒速度無關(guān)，其表達式為：

其中：dp為顆粒直徑，m；ρp為流體密度，kg/m3；ρf為流體密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2。

顆粒受到的總阻力為纖維阻力和流體阻力之和：

體阻力表達式為：

其中：v為顆粒瞬時速度，m/s；Cdv為流體阻力系數(shù)。

Rida Elgaddaf i等[15-16]通過實驗研究表明，纖維阻力與流體阻力存在共性，纖維阻力Fdf可以表達為與流體阻力Fdv類似的形式。與流體阻力系數(shù)Cdv形式類似，本文定義纖維阻力系數(shù)Cdf表達式為：

定義總阻力系數(shù)Cdt為纖維阻力系數(shù)與流體阻力系數(shù)之和：

將公式(4)、(5)、(6) 帶入公式(3)，得到顆粒所受的總阻力Fdt表達式為：

顆粒受到的總阻力Fdt與顆粒浮重FW0相等時，顆粒加速度為0，達到沉降速度，即v=V，聯(lián)立公式(2)和(7)，從而得到顆粒達到沉降速度V時的總阻力系數(shù)表達式：

3.2 模型建立

對于冪律流體，顆粒雷諾數(shù)Rep表達式為：

Chahabra等[10]通過將顆粒在純冪律流體中達到沉降速度時的雷諾數(shù)Rep與流體阻力系數(shù)Cdv結(jié)合，提出一個與顆粒沉降速度無關(guān)的無因次數(shù)，稱之為阿基米德數(shù)，用Ar表示：

通過對400多組實驗數(shù)據(jù)進行擬合，最終回歸得到顆粒在純冪律流體中的沉降速度預測方程，如式(11)所示，與實驗數(shù)據(jù)平均相對誤差為14.1%，

圖5 不同纖維濃度下顆粒沉降速度Fig. 5 Settling velocity vs. fi ber concentration in test fl uids.

本文借鑒該模型處理方法，將顆粒在含纖維冪律流體中達到沉降速度V時顆粒雷諾數(shù)Rep與總阻力系數(shù)Cdt結(jié)合得到：

將式(8)、(9)帶入式(12)，最終得到與顆粒沉降速度無關(guān)的阿基米德數(shù)Ar表達式：

基于實驗測得的顆粒沉降末速V，根據(jù)公式(9)計算顆粒雷諾數(shù)Rep，并計算對應的阿基米德數(shù)Ar。如圖7所示，在雙對數(shù)坐標系中，阿基米德數(shù)Ar與顆粒雷諾數(shù)Rep符合線性關(guān)系，擬合曲線可由方程(14)表示，平均相關(guān)系數(shù)R2為0.99。不同的CMC濃度和纖維濃度Cf組合條件下，參數(shù)A和B的擬合結(jié)果分別為表4(a)、4(b)所示，平均相對誤差為10.4%，

從表4(a)、4(b)可以看出，參數(shù)A、B隨纖維濃度Cf和CMC濃度變化而變化，不同的CMC濃度可由無因次流性指數(shù)n表征。因而，A、B為流性指數(shù)n和纖維濃度Cf共同確定的二元函數(shù)，即：

其中：f、g均為函數(shù)符號。

圖6 球形顆粒在含纖維冪律流體中自由沉降示意圖Fig. 6 Schemadic diagram of sphere settling in fi ber containing power-law fl uid

圖7 不同纖維濃度和CMC濃度條件下顆粒雷諾數(shù)Rep隨阿基米德數(shù)Ar變化Fig. 7 Ar number vs. Repwhen particles reach settling velocity

首先確定參數(shù)A、B和纖維濃度之間的函數(shù)關(guān)系。圖8所示為參數(shù)A和B隨纖維濃度Cf變化及最小二乘擬合曲線。 A隨纖維濃度Cf的增加線性下降，平均相關(guān)性系數(shù)R2為0.97。B隨纖維濃度Cf的增加線性增大，平均相關(guān)性系數(shù)R2為0.95。擬合曲線可分別由公式(17)、(18)表示，A1，A2，B1和B2均為關(guān)于流性指數(shù)n的一元函數(shù)。

表4 不同測試流體下參數(shù)A和B擬合結(jié)果Table 4 Fitting results of parameter A and B for different test fl uids (a)參數(shù)A擬合結(jié)果

表5 參數(shù)A1和A2線性擬合值Table 5 Fitting results of parameters A1and A2

表6 參數(shù)B1和B2線性擬合值Table 6 Fitting results of parameters B1and B2

圖9 參數(shù)A1和A2隨n變化Fig. 9 Parameter A1and A2vs. n

不同CMC濃度條件下，線性擬合參數(shù)A1，A2的值如表5所示，平均相對誤差為3.73%，最大相對誤差為5.95%。

不同CMC濃度條件下，線性擬合參數(shù)B1，B2的值如表6所示，平均相對誤差為2.61%，最大相對誤差為5.94%。

然后，基于表5和表6，分別擬合參數(shù)A1、A2、B1、B2與流性指數(shù)n的函數(shù)關(guān)系。圖9所示為A1和A2隨n變化及最小二乘擬合曲線，相關(guān)性系數(shù)R2分別為0.96和0.99，得到公式(19)、(20)，

圖10所示為B1和B2隨n變化及最小二乘擬合曲線，相關(guān)性系數(shù)R2分別均為0.93，得到公式(21)、(22)，綜合公式(14)、(17)、(18)、(19)、(20)、(21)、(22)，最終得到沉降速度預測公式：

圖10 參數(shù)B1和B2隨n變化Fig. 10 Parameter B1and B2vs. n

圖11所示為根據(jù)預測模型計算得到的沉降速度與實驗測得的沉降速度對比，平均相對誤差為12.39%，最大相對誤差為36.73%。分析認為誤差來源有兩方面：一方面為測量產(chǎn)生的誤差。顆粒沉降速度較小時，沉降時間較長，易受環(huán)境影響，不易獲得準確的沉降速度；另一方面為數(shù)據(jù)擬合過程產(chǎn)生的誤差?；趯嶒灁?shù)據(jù)擬合得到的經(jīng)驗模型，同樣存在一定的偏差。

3.3 算例

算例所采用的顆粒和流體性質(zhì)如表7所示。將基礎參數(shù)代入公式(23)，計算得到：A=-2.533 9，B=2.057 4，Ar=3.053 9，從而V=0.012 2 m/s。實驗測得該顆粒沉降速度為0.011 6 m/s，與實驗數(shù)據(jù)相比，模型預測相對誤差為5.17%。

圖11 預測沉降速度與實驗沉降速度對比Fig. 11 Comparison of measured and predicted settling velocity calculated using explicit equation.

表7 顆粒和流體性質(zhì)Table 7 Fluid and sphere properties

4 結(jié)論

本文采用室內(nèi)實驗的方法，研究了球形顆粒在不同粒徑、密度、纖維濃度與CMC濃度條件下的沉降規(guī)律，進而通過對實驗數(shù)據(jù)進行回歸分析，最終得到了顆粒沉降速度預測模型，獲得了以下幾點認識：

(1)纖維質(zhì)量濃度≤0.06% 時，表觀黏度相對于基液有上下波動，但變化較小，相對改變量小于3%；纖維質(zhì)量濃度為0.08%和0.10%時，表觀黏度相對于基液有少量增加，相對改變量別等于9.09%和9.92%。

(2)球形顆粒沉降速度隨纖維濃度增大逐漸降低，表明纖維網(wǎng)絡對顆粒施加了附加的阻力作用，且隨纖維濃度的增加，附加阻力增大。

(3)定義了無因次纖維阻力系數(shù)來定量表征纖維阻力的大??；定義了與顆粒沉降速度無關(guān)的阿基米德數(shù)為總阻力系數(shù)(纖維阻力系數(shù)與流體阻力系數(shù)之和)與顆粒雷諾數(shù)的函數(shù)。基于實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)顆粒雷諾數(shù)與無因次阿基米德數(shù)符合冪律關(guān)系。

(4)通過回歸分析建立顆粒沉降時的雷諾數(shù)與無因次阿基米德數(shù)的關(guān)聯(lián)方程，最終得到了顆粒沉降速度預測模型。

(5)與實驗數(shù)據(jù)相比，該模型平均相對誤差為12.39%，最大相對誤差為36.73%。該模型適用的雷諾數(shù)范圍為(0.002～324)，纖維濃度范圍為(0.02%～ 0.1%)。

符號說明

符號

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Prediction model for settling velocity of solid spheres in fi ber containing power-law fl uids

LIU Qingling, TIAN Shouceng, LI Gensheng, SHEN Zhonghou, XU Zhengming, PANG Zhaoyu, WANG youwen
State Key Laboratory of Petroleum Resources and Prospecting, China University of Petroleum-Beijing, Beijing 102249, China

In petroleum industry, fi ber containing fl uids are widely used to improve solid transport capacity of drilling/fracturing fl uids. The settling velocity of particle in fi ber containing fl uids is studied to provide basis for the evaluation and optimization of the fi ber drilling/fracturing fl uid performance. The purpose of current study is to develop the prediction model, suitable for different particle Reynolds numbers and fi ber concentrations, for settling velocity of solid spheres in fi ber containing power-law fl uids. Settling tests were conducted in fi ber containing power-law fl uids, and 4 crucial factors were considered, involving fl uid rheology, sphere diameter, particle density and fi ber concentration. Results show that adding a small amount of fi ber makes a minor increase in the apparent viscosity of the base fl uids under the experimental condition, and sphere settling velocity drops slowly with fi ber concentration increasing. It indicates that an additional drag force, def i ned as fi ber frag force, is applied to the sphere by fi ber network. Similar to the def i nition of the viscous drag coeff i cient, the fi ber drag coeff i cient is def i ned to quantify the fi ber drag force. the dimensionless number known as Archimedes number is def i ned by combining total drag coeff i cient (sum of the fi ber drag coeff i cient and viscous drag coeff i cient) and Reynolds number. The Archimedes number and Reynolds number follows linear relationship in the log-log plot. Finally, the prediction model for settling velocity of solid spheres is obtained by the regression equation of the Archimedes number and particle Reynolds number. The model predicts settling velocity in good agreement with measured settling velocity, with average relative difference of 12.39%. The model is valid for a range of particle Reynolds number (0.002-324) and fi ber concentration (0.02%-0.1%). This study is with the guiding signif i cance for the better application of fi ber in petroleum engineering.

sphere; fi ber; power-law fl uid; settling experiment; settling velocity; prediction model

10.3969/j.issn.2096-1693.2017.02.028

(編輯 馬桂霞)

劉慶嶺, 田守嶒, 李根生, 沈忠厚, 許爭鳴, 龐照宇, 王友文. 球形顆粒在含纖維冪律流體中沉降速度預測模型. 石油科學通報, 2017, 02： 298-308

LIU Qingling, TIAN Shouceng, LI Gensheng, SHEN Zhonghou, XU Zhengming, PANG Zhaoyu, WANG Youwen. Prediction model for settling velocity of solid spheres in fi ber containing power-law fl uids. Petroleum Science Bulletin, 2017, 02： 298-308.doi：10.3969/ j.issn.2096-1693.2017.02.028

*通信作者, tscsydx@163.com

2017-01-17

國家自然科學基金石油化工聯(lián)合基金重點基金項目(U1562212)和國家自然科學基金面上項目(516742745)聯(lián)合資助