關(guān)于Gauss數(shù)環(huán)Z[i]元素分類的討論

張立國

(沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110159)

關(guān)于Gauss數(shù)環(huán)Z[i]元素分類的討論

張立國

(沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110159)

由環(huán)構(gòu)造域是代數(shù)理論研究的基礎(chǔ)問題之一，針對Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的構(gòu)造域問題作初步的探討。討論Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的理想(a+bi)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用其對Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的元素進(jìn)行分類，為研究Gauss數(shù)環(huán)Z[i]構(gòu)造域的問題提供一些新的思路。

同余；理想；同構(gòu)

由環(huán)構(gòu)造域是近世代數(shù)理論研究的基礎(chǔ)問題。通常由環(huán)構(gòu)造域的方法有兩種：一是由整數(shù)環(huán)Z構(gòu)造有理數(shù)域Q的方法一般化；二是找到有單位元的交換環(huán)R的最大理想H，利用同余關(guān)系構(gòu)造出商域R/H。對于Gauss數(shù)環(huán)Z[i]而言，根據(jù)第一種方法得到了Gauss數(shù)域Q[i]，第二種方法需要討論Gauss數(shù)環(huán)Z[i]理想的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。本文針對Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的相關(guān)問題作初步的探討。討論Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的主理想(a+bi)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用其對Gauss數(shù)環(huán)Z[i]的元素進(jìn)行分類，為后續(xù)相關(guān)研究奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，Z[i]={x+yi|x、y∈Z}為Gauss數(shù)環(huán)，I=(a+bi)為主理想。設(shè)R是環(huán)，x、y∈R，則x≡y(modI) 當(dāng)且僅當(dāng)x-y∈I。剩余類[x+yi]={u+vi|?u+vi∈Z[i]，u+vi≡x+yi}。R/I為剩余類組成的集合。

2 理想I=(a+bi)的結(jié)構(gòu)與元素性質(zhì)

設(shè)a、b∈N不全為零，顯然I=(a+bi)是高斯數(shù)環(huán)Z[i]的主理想。

命題1 若u+vi∈I，則v≡0(modd)，其中d=(a,b)。

證明 由于Z[i]為有單位元的交換環(huán)，則I={(a+bi)(x+yi)|?x、y∈Z}。若u+vi∈I，因此a+bi|u+vi，即存在x、y∈Z，使得u+vi=(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i，從而v=ay+bx。又因d=(a,b)，因而d|v，所以v≡0(modd)。

命題2 設(shè)u∈N∩I，則u為α=(a2+b2)/d的倍數(shù)，其中d=(a,b)，即α為I中最小正整數(shù)。

證明 由于d=(a,b)，則d|a,d|b,因此(a2+b2)/d=(a+bi)[(a-bi)/d]，因此(a2+b2)/d∈N∩I。若u∈N∩I，據(jù)I的構(gòu)成可知，存在x、y∈Z，使得u=(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i，因此有方程組

因a、b不全為零，故a2+b2≠0。根據(jù)克萊姆法則得

命題3 設(shè)(a,b)=d，若s、t為方程ax+by=d一組整數(shù)解，則β=(at-bs)+di∈I。

證明 若(a,b)=d，則存在s、t∈Z，使得as+bt=d。因此(at-bs)+di=(at-bs)+(as+bt)i=(a+bi)(t+si)，故(at-bs)+di∈I。

定理1I中的每個(gè)元素都可以表示為α、β的線性組合。

證明 設(shè)γ=u+vi∈I。由命題1可知，v≡0(modd)，則存在n∈N，使得v=nd，因而γ-nβ=(u+vi)-n((as-bt)+di)=u-n(as-bt)∈I。據(jù)命題2可知，u-n(as-bt) 為α的倍數(shù)，那么存在m∈N，使得γ-nβ=u-n(as-bt)=mα，因此γ=mα+nβ，即γ為α、β的線性組合。

結(jié)合理想的定義與根據(jù)定理1可知，高斯數(shù)環(huán)Z[i]的主理想I=(a+bi)的結(jié)構(gòu)為{mα+nβ|m、n∈Z}，其中α為I中的最小正整數(shù)，β=(as-bt)+di∈I，其中s、t為方程ax+by=d一組整數(shù)解。

3 高斯數(shù)環(huán)Z[i]元素分類

定理2 設(shè)D={x+yi|x=0,1,…,α-1，y=0,1,…,d-1}，則D中元素關(guān)于I互不同余。

證明 設(shè)0≤x1、x2≤α-1；0≤y1、y2≤d-1，使得x1+y1i≡x2+y2i(mod I)，則(x1-x2)+(y1-y2)i∈I。由命題1可知，y1-y2≡0(modd)，從而y1=y2，因而x1-x2∈I。據(jù)命題2有x1-x2為α的倍數(shù)，于是x1=x2，所以x1+ y1i=x2+ y2i。

定理3 Z[i]中任一元素必與D中某一元關(guān)于I同余。

證明 設(shè)γ=u+vi∈Z[i]，若v=nd+y,0≤y

由定理3與定理4可以得到如下結(jié)論：

定理4 剩余類環(huán)Z[i]/I恰由一切形如[x+yi]的剩余類構(gòu)成，其中x=0,1,…,α-1；y=0,1,…,d-1，且I在Z[i]的指數(shù)αd=a2+b2。

例1 寫出Z[i]/(2+4i)所有元素。

解 由于a=2、b=4，則d=(2,4)=2，于是α=(a2+b2)/d=10，從而(2+4i)在Z[i]指數(shù)為αd=20，因此Z[i]/(1+i)共有20個(gè)元素。Z[i]/(1+i)的元素分別為

[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]，

[i]，[1+i]，[2+i]，[3+i]，[4+i]，[5+i]，[6+i]，[7+i]，[8+i]，[9+i]。

結(jié)合定理4和例1，不難發(fā)現(xiàn)有如下結(jié)論：

定理5 設(shè)a，b∈N，則Z[i]/(a+bi)=Z[i]/(b+ai)。

定理6 設(shè)D={x+yi|x=0,1,…,α-1，y=0,1,…,d-1}，則D為環(huán)，且與Z[i]/I同構(gòu)，即Z[i]/I?D。

由引理1、定理2與定理4不難證明定理6成立。

定理7 設(shè)I=(a+bi)，則存在Z[i]的子環(huán)S,使得Z[i]/I?S。

同理可證(2)

定理10 設(shè)I=(a+bi)，若a2+b2為素?cái)?shù)，則I為Z[i]的最大理想。

證明 若a2+b2為素?cái)?shù)，則(a2+b2)為整數(shù)環(huán)Z的最大理想。而Z[i]與Z同態(tài)，且(a2+b2)是I的同態(tài)象，根據(jù)定理9可知，所以I為Z[i]的最大理想。

定理11 設(shè)I=(a+bi)，若a2+b2為素?cái)?shù)，則Z[i]/(a+bi)為域。

4 結(jié)束語

高斯數(shù)環(huán)Z[i]是有單位元的交換環(huán)，其結(jié)構(gòu)性質(zhì)比整數(shù)環(huán)Z復(fù)雜。通過本文取得結(jié)論可以看到，高斯數(shù)環(huán)Z[i]具有許多很好的結(jié)論，同時(shí)也有許多性質(zhì)需要進(jìn)一步的研究，例如(a+bi)為高斯數(shù)環(huán)Z[i]最大理想的判定條件等。

[1]王湘浩.近世代數(shù)[M].大連：大連工學(xué)院出版社，1988.

[2]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Discussion of the Number of Guass ringZ[i] Eement Classification

ZHANG Liguo

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The ring tectonic domain is one of the basic problems in the study of algebraic theory research.It is a preliminary discussion on the construction domain of Guass number ringZ[i].Firstly,the structural characteristics about (a+bi) the ideal of Guass number ringZ[i] is discussed,the element classification of Guass number ringZ[i] is given by the ideal structure characteristics,and provides some new ideas for the study of the problems in the construction domain of Guass number ringZ[i]. Key words： congruence;ideal;isomorphic

2016-09-21

張立國(1970—)，男，副教授，碩士.研究方向：模糊拓?fù)鋵W(xué)。

1003-1251(2017)03-0098-03

O153.3

A