關(guān)于“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”教學(xué)的幾點(diǎn)思考

劉華為+吳燕頻

【摘要】在“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”的教學(xué)中，堅持兩“線”齊抓，即一方面以“構(gòu)成角的明線”為突破口，通過線的變化理清知識脈絡(luò)，借助線的本質(zhì)屬性剖析突破教學(xué)難點(diǎn)；另一方面，以“能力暗線”為抓手，把能力培養(yǎng)有機(jī)地融于教學(xué)各環(huán)節(jié)之中，力求“潤物細(xì)無聲”之妙，則必然能起到事半功倍之效，極大地提高課堂效率.

【關(guān)鍵詞】三線八角；教學(xué)難點(diǎn)；觀察能力

“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”是建立在“兩線四角”基礎(chǔ)上，著重研究“三線八角”中非共頂點(diǎn)角的位置關(guān)系，既是對“對頂角與鄰補(bǔ)角”的應(yīng)用與延伸，又為學(xué)習(xí)平行線的判定和性質(zhì)作好鋪墊，并為今后進(jìn)一步解決線的平行與角的相等問題奠定了基礎(chǔ).因此，它是初中幾何入門教學(xué)中非常重要的一節(jié)，不僅肩負(fù)著保護(hù)好學(xué)生初學(xué)幾何的好奇心與熱情之重任，而且對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的良好思維習(xí)慣和幾何圖形觀察能力也有舉足輕重之舉，理當(dāng)引起高度重視.下面筆者基于多年的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與教學(xué)實踐，從如何深入剖析教材和科學(xué)安排上談幾點(diǎn)體會，以求拋磚引玉.

1以“線”為線，理清知識脈絡(luò)

本節(jié)雖然研究的是角但關(guān)鍵在于線，因此從線入手，通過線的變化，把舊知復(fù)習(xí)、新知學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)有機(jī)地串為一體（如圖1），可起到事半功倍之效.

在圖1中，首先由圖1①復(fù)習(xí)“對頂角和鄰補(bǔ)角”的概念與性質(zhì)，然后增加直線c得圖1②構(gòu)造“三線八角”依次引入“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”的概念，明確“三線八角”中有“四對同位角、兩對內(nèi)錯角和兩對同旁內(nèi)角”基本事實；而圖1③、圖1④和圖1⑤則通過增加交點(diǎn)或增線減線，加強(qiáng)“由線找角”（確定被截線與截線后找出所有同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角）和“由角找線”（確定相關(guān)角是由哪兩條直線被哪一條直線所截而成）的練習(xí)，在鞏固新知的同時，突出對學(xué)生幾何圖形觀察能力的培養(yǎng).具體操作時不妨從正反兩方面入手，先讓學(xué)生找出各圖中所有“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”（其關(guān)鍵是明確哪兩條直線被哪一條直線所截且共有多少種情形），再從中挑出一些有代表性的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，讓學(xué)生說明其構(gòu)成的被截線與截線.當(dāng)然，不同圖形的側(cè)重點(diǎn)可有所不同，如圖1④主要訓(xùn)練學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽取基本圖形的觀察與分析能力，圖1⑤則通過對交點(diǎn)處角的減少，打破學(xué)生對圖1②的思維定勢，提升靈活處理問題的應(yīng)變能力.

當(dāng)然，圖1的意義不僅僅在于通過線的變化“串活”了課堂，關(guān)鍵還在于為學(xué)生理清了知識脈絡(luò)，形成了系統(tǒng)化導(dǎo)學(xué)圖.面對圖1，學(xué)生知道要學(xué)什么和學(xué)會什么，更易理清各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別，并可順勢依據(jù)線的變化對內(nèi)容作進(jìn)一步的拓展與探究，以提升自己的發(fā)展性學(xué)力.

2以“線”為本，突破教學(xué)難點(diǎn)

在復(fù)雜圖形中如何判斷兩角的類別（是否為同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角）是本節(jié)的一大難點(diǎn)，對此大多數(shù)同仁偏愛引導(dǎo)學(xué)生從形狀著手，通過在圖形中畫英文字母“F”識別同位角、畫英文字母“Z”識別內(nèi)錯角、畫英文字母“U”識別同旁內(nèi)角（如圖2）.如此處理雖然直觀形象，在一定程度上提升了學(xué)生的辨別能力，但由此生成的一些負(fù)遷移也不得不引起我們重視，如錯把圖3中的圖3①兩角當(dāng)成一對同位角（因為勾畫出的形狀太象英文字母“F”了），而又認(rèn)不出圖3②中的內(nèi)錯角（因為勾畫出的形狀太不象英文字母“Z”了），甚至不相信圖3③中的兩角是同旁內(nèi)角（因為勾畫出的形狀顯然不是英文字母“U”）.究其根源主要是以英文字母對號入座的識別方法有點(diǎn)過于注重表象而忽視本質(zhì)的剖析，導(dǎo)致學(xué)生依葫蘆畫瓢時產(chǎn)生認(rèn)知偏差而出錯.筆者的教學(xué)體會是務(wù)必以“線”為本從概念剖析入手，即先明確構(gòu)成兩角的邊所在的直線中哪兩條是被截線哪一條是截線，再依據(jù)定義逐一判斷.具體地說就是先找出組成兩角的四條邊，確定有沒有兩條邊所在的直線共線，若有，則共線直線就是截線，另兩條邊所在的直線是被截線，然后依據(jù)定義再判定兩角究竟是同位角、內(nèi)錯角還是同旁內(nèi)角就易如反掌了；若沒有任何兩邊所在的直線共線，則此兩角就不可能是三類角中的任何一個（如圖3中的①）.上述透過現(xiàn)象看本質(zhì)的處理方法不僅為學(xué)生識別兩角類別提供了簡易而又科學(xué)的操作模式，而且“由角找線”時也多了有效的定線的依據(jù)，可謂一箭雙雕.

如此處理的優(yōu)越性還在于為后續(xù)學(xué)習(xí)平行線的判定與性質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ).如圖4，由∠1=∠2和BD平分∠ABC總有部分學(xué)生得出AB∥CD；而由∠1=∠2和AD∥BC也有部分學(xué)生得出BD平分∠ADC.進(jìn)一步調(diào)查得知，這都是被字母“Z”過于形象化的結(jié)果.學(xué)生自以為找到“Z”即可，至于究竟是哪個“Z”就不太在意了（甚至有學(xué)生認(rèn)為“同位角、內(nèi)錯角一定相等”，因為字母“F”與“Z”已深深刻在腦海里，而且是那么的直觀、形象與鮮活）.但自從筆者采用以線為本突出概念的教學(xué)策略后，學(xué)生再也不犯“亂點(diǎn)鴛鴦譜”之錯，因為在掌握正確定線（會找被截線與截線）的前提下，在運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)定理解決問題時只需強(qiáng)調(diào)被截線平行便可一勞永逸了.

3以“觀察”為主，突出能力培養(yǎng)

研究“三線八角”除了學(xué)習(xí)“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”知識外，還要兼顧學(xué)生觀察能力的培養(yǎng).因此課堂上可多設(shè)計情境放手讓學(xué)生觀察，逐步提練“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”的本質(zhì)特征，進(jìn)而生成概念，并會依據(jù)概念的本質(zhì)特征在復(fù)雜的圖形中找對找全三類角，以力求達(dá)到把新知學(xué)習(xí)與觀察能力培養(yǎng)有機(jī)地融為一體的教學(xué)最高境界.

首先，巧借概念生成，滲透觀察意識.在學(xué)習(xí)同位角時，常規(guī)的處理方式是請學(xué)生先觀察∠1與∠5（如圖5）有什么位置特征，再給出定義.但由于缺乏對圖形特征觀察的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生不知從哪些角度去觀察，導(dǎo)致觀察往往流于形式，概念只能從教師口中“生成”.對此筆者的處理策略是“先入為主”，直接告訴學(xué)生：在圖5的8個角中，關(guān)于非共頂點(diǎn)的兩角組合里有一些是同位角，請仔細(xì)觀察圖5并指出哪些角是同位角.先亮出“同位角”名稱的意義在于學(xué)生可顧名思義得出“同位角就是位置相同的角”，如此一來觀察就會有的放矢.當(dāng)然，經(jīng)過一番觀察、分析和思辨式的討論，學(xué)生得出∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8分別是一對同位角也就水到渠成了，然后再引導(dǎo)學(xué)生借助這些角與被截線和截線的位置關(guān)系刻畫“同位”二字，順勢歸納出“在被截線的同向上截線的同側(cè)的兩個角叫做同位角”的概念.毋庸置疑，如此處理不僅使觀察落到了實處，而且概念還是學(xué)生自己歸納總結(jié)的，理解與運(yùn)用起來當(dāng)然也就更加得心應(yīng)手了.

至于內(nèi)錯角（同旁內(nèi)角）的學(xué)習(xí)，筆者則是反其道而行之，直接請學(xué)生觀察∠3與∠5（∠4與∠5）有什么位置特征，并依據(jù)位置特征給它們起一個生動形象的名字.有了同位角的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生觀察出“兩角在被截線之間截線兩側(cè)（同旁）”的內(nèi)錯角（同旁內(nèi)角）位置特征已不是難事，雖然命名時未必能給出“內(nèi)錯角（同旁內(nèi)角）”的完美答案，但通過積極思考，對激發(fā)他們學(xué)習(xí)幾何的興趣和語言表達(dá)能力，甚至轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式必然大有裨益.

可喜的是由于放手讓學(xué)生觀察，課堂上總有學(xué)生指出“∠1與∠7”和“∠2與∠8”是外錯角、“∠1與∠8”和“∠2與∠7”是同旁外角（名稱也是學(xué)生自己給的）.雖然這些內(nèi)容超出了教材要求，但一方面認(rèn)識這兩個概念對學(xué)生理解“內(nèi)錯角”和“同旁內(nèi)角”有一定的反推作用，另一方面也說明學(xué)生的觀察意識確實被激活了，高效課堂也就自然生成.

其次，加大本質(zhì)剖析，糾正觀察視角.處理例習(xí)題時，無論是“以線找角”還是“以角找線”教師都切忌越俎代庖，一講到底，要大膽放手讓學(xué)生觀察、放手讓學(xué)生分析、放手讓學(xué)生說，針對存在的問題可通過反例引導(dǎo)學(xué)生積極反思，透過現(xiàn)象探求問題的本質(zhì)，直至找到正確的處理方式.如在圖形中勾畫英文字母（F、Z、U）的做法就只注重了表象，雖然直觀且有一定的積極意義，但切不可過度依賴.相反，通過觀察構(gòu)成兩角的邊是否有兩邊在同一條直線上來確定截線與被截線的做法才緊扣概念的本質(zhì)，是理性的觀察角度和科學(xué)的處理策略，值得推廣.

最后，適當(dāng)增加難度，提升觀察能力.鑒于“同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角”在后續(xù)的學(xué)習(xí)中主要用于判定兩線平行或平行下確定兩角相等或互補(bǔ)，而且中考對此三類角的考查也未予特別關(guān)注，故而不少同仁在不同場合大力倡導(dǎo)教學(xué)時不必引入復(fù)雜圖形，甚至只要學(xué)生會處理被截線平行下的相關(guān)問題即可.對此一刀切的觀點(diǎn)筆者不敢茍同，學(xué)生的學(xué)習(xí)不僅僅在于“應(yīng)試”或“應(yīng)對”，更重要的是通過知識載體的學(xué)習(xí)形成一定的學(xué)習(xí)能力（如豐富處理問題的應(yīng)變策略、強(qiáng)化解決問題的科學(xué)手段、完善探索問題的思維方式等），而且能力培養(yǎng)不是一蹴而就，需要一個長期的循序漸進(jìn)過程.因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)中，針對學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力，適當(dāng)引入如圖6類的稍復(fù)雜圖形，引導(dǎo)學(xué)生找全找對三類角，不僅對培養(yǎng)學(xué)生的觀察力大有裨益，而且還為今后處理復(fù)雜幾何圖形問題奠定基礎(chǔ).如此有百利而無一害之事又何樂而不為呢？這也不正是因材施教的魅力之所在嗎？

總之，備課時，教師若能做到以上三點(diǎn)，即：針對教學(xué)目標(biāo)要切實理清需要教什么及怎么教、需要學(xué)會什么和如何學(xué)，并用一根主線把知識串聯(lián)起來，進(jìn)行系統(tǒng)化的處理；針對教學(xué)難點(diǎn)，能透過現(xiàn)象抓住問題的本質(zhì)，精心設(shè)計而巧妙地突破難點(diǎn)；并能站在能力培養(yǎng)的高度統(tǒng)領(lǐng)教材，靈活處理，大膽地因材施教，則必然能吃透教材，得心應(yīng)手地駕馭教材，并把高效課堂真正地落到實處，從而造福學(xué)生.

例題選擇：從“淺層練習(xí)”走向“深度素養(yǎng)”江蘇省蘇州市2016年度"十三五"規(guī)劃課題"基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的初中數(shù)學(xué)思辯課堂的實踐與研究"（主持人：范建兵、金鑫）階段成果.