基于分位數(shù)自回歸的路基沉降數(shù)據(jù)預(yù)測分析

王江榮，趙 睿，任泰明，袁維紅

（1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息處理與控制工程系，甘肅 蘭州 730060；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，甘肅 蘭州 730060）

基于分位數(shù)自回歸的路基沉降數(shù)據(jù)預(yù)測分析

王江榮1，趙 睿1，任泰明1，袁維紅2

（1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息處理與控制工程系，甘肅 蘭州 730060；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，甘肅 蘭州 730060）

高填方路基存在施工期穩(wěn)定控制和工后沉降控制問題。解決這兩個(gè)問題的關(guān)鍵在于及時(shí)準(zhǔn)確地預(yù)測出高填方路基的沉降量。通過對路基沉降時(shí)間序列分析，建立了自回歸AR(1)擬合預(yù)測模型。采取分位數(shù)回歸法和最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)和比較分析，結(jié)果表明分位數(shù)回歸法在模型參數(shù)估計(jì)時(shí)有明顯的優(yōu)勢，預(yù)測精度遠(yuǎn)高于多變量灰色MGM( )模型和基于最小二乘估計(jì)的自回歸AR(1)模型。工程實(shí)例分析表明，分位數(shù)自回歸模型具有很好的預(yù)測和應(yīng)變能力，完全可以用于路基沉降數(shù)據(jù)預(yù)測分析。

路基沉降；分位數(shù)回歸；AR(p)模型；預(yù)測分析

高填方路基存在施工期穩(wěn)定控制和工后沉降控制問題。解決這兩個(gè)問題的關(guān)鍵在于及時(shí)準(zhǔn)確地預(yù)測出高填方路基的沉降量。目前，國內(nèi)外公路路基沉降預(yù)測主要采用回歸分析模型、統(tǒng)計(jì)模型和組合模型等[1-3]。這些數(shù)學(xué)模型往往具有統(tǒng)計(jì)特性, 并建立在觀測誤差的數(shù)學(xué)期望值為零 、各次觀測互相獨(dú)立、方差相等以及觀測誤差呈正態(tài)分布的假設(shè)基礎(chǔ)上。事實(shí)上，影響路基沉降的因素是多方面的[4-5]，監(jiān)測數(shù)據(jù)往往會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)大、異方差現(xiàn)象，致使這些假設(shè)缺乏合理性，在這種情況下如果采用最小二乘回歸法估算模型系數(shù)時(shí)穩(wěn)健性較差、模型預(yù)測誤差會(huì)較大，難以滿足實(shí)際工程需要。與傳統(tǒng)的回歸方法相比，分位數(shù)回歸以其高精度、高效率及穩(wěn)健性強(qiáng)等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于各類數(shù)據(jù)的預(yù)測分析中[6-8]，而且用分位數(shù)回歸法估計(jì)模型的參數(shù)時(shí)，對隨機(jī)誤差的分布不做任何要求。另外，傳統(tǒng)回歸法只能得到一個(gè)回歸方程，容易丟失數(shù)據(jù)信息，不能對預(yù)測量進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測，也不能精確描述自變量對預(yù)測量條件分布形狀的影響情況。分位數(shù)回歸能夠得到一組不同分?jǐn)?shù)下的回歸方程，能夠準(zhǔn)確描述自變量對不同部分的預(yù)測量分布產(chǎn)生的不同影響，全面捕獲預(yù)測量的分布特征。由于路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)是時(shí)間序列，數(shù)據(jù)具有相依性和相關(guān)性，可用時(shí)間序列分析法——自回歸AR(p)模型預(yù)測未來的沉降量，并利用分位數(shù)回歸進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到了不同分位點(diǎn)下的時(shí)間序列預(yù)測模型，由于在不同的分位點(diǎn)上預(yù)測的結(jié)果不同，可為決策者提供更加符合實(shí)際的選擇。另外，本文建立的基于分位數(shù)自回歸路基沉降預(yù)測模型與其他時(shí)間序列預(yù)測模型相比，可得到更加完整的路基沉降信息，預(yù)測精度更高。

1 分位數(shù)回歸理論

傳統(tǒng)的回歸方法實(shí)質(zhì)為均值回歸，KOENKER 等（1978）提出了分位數(shù)回歸（quantile regression）理論[9]，其實(shí)質(zhì)是對傳統(tǒng)以條件均值模型為基礎(chǔ)的最小二乘法的發(fā)展，能夠依據(jù)因變量Y的條件分位數(shù)對自變量X進(jìn)行回歸。該方法最大的優(yōu)勢在于保留了變量之間大部分信息的同時(shí)，在一定程度上消除了異方差問題。

設(shè)Y為實(shí)值隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(y)=P(Y≤y)，對任意0＜τ＜1有：

則稱Q(τ)為Y的τ分位數(shù)，當(dāng)τ取0.5時(shí)，即為中位數(shù)回歸。中位數(shù)常常和均值共同來反映數(shù)據(jù)的位置信息。最小二乘回歸是通過最小化殘差平方和來估算模型參數(shù)值，即：

式中，yi(1,2,…,n)為Y的一組隨機(jī)樣本；ξ為擬合值（模型的計(jì)算值）；β?（向量）是模型的參數(shù)估計(jì)值。分位數(shù)回歸則是通過最小化樣本值與擬合值的加權(quán)誤差絕對值之和來估算模型參數(shù)，即

式（3）還可以表示為：

分位數(shù)回歸優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下3個(gè)方面[10]：

1）分位數(shù)回歸對時(shí)間序列模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)不做任何要求，使得所建模型具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力。

2）分位數(shù)回歸的模型參數(shù)估計(jì)值不易受數(shù)據(jù)列中異常點(diǎn)（離群值）的影響，使得建立的模型具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性（魯棒性）。

3）分位數(shù)回歸對不同的分位點(diǎn)，都能估計(jì)出相應(yīng)模型的參數(shù)值，進(jìn)而得到不同的回歸方程，使得數(shù)據(jù)中的大部分信息都能被提取出來。

2 時(shí)間序列模型

對平穩(wěn)的時(shí)間序列建模，通常采用自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)模型：

1）當(dāng)θ1=θ2=…=θq=0時(shí)，模型即為自回歸模型AR(p)：

2）當(dāng)β0=β1=…=βp=0時(shí)，模型為移動(dòng)平均模型MA(q)：

在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用時(shí)間序列模型的ACF、PACF統(tǒng)計(jì)特性識(shí)別模型，具體見表1。

表1 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性表

另外，還可以利用AKAIKE給出的信息準(zhǔn)則法識(shí)別模型，即AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q) 的AIC值最小者可作為時(shí)間序列預(yù)測模型。

3 工程實(shí)例

3.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)源自京哈（G102線）公路長春至德惠路段的K1144+240斷面上的1個(gè)監(jiān)測點(diǎn)A，觀測以15 d為1個(gè)周期，在A處共測12個(gè)周期，所得數(shù)據(jù)見表2[11]。在12個(gè)周期的累計(jì)沉降數(shù)據(jù)序列中取前9個(gè)數(shù)據(jù)（序號1-9）用于建模，后3個(gè)數(shù)據(jù)（序號10-12）用于檢驗(yàn)預(yù)測值的準(zhǔn)確性。

3.2 數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

利用EViews6．0軟件對表1中的建模數(shù)據(jù)列（序號1～9）進(jìn)行單位根法平穩(wěn)性檢驗(yàn)，得到檢驗(yàn)的P值為0.004 8，檢驗(yàn)T統(tǒng)計(jì)量-5．527 624小于1%、5%及10%的顯著性水平下的臨界值，所以可認(rèn)為建模數(shù)據(jù)列是平穩(wěn)的。因此可采用時(shí)間序列自回歸 AR(p)模型 、平均移動(dòng)MA(q)模型和自回歸平均移動(dòng)ARMA(p,q)模型對沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及預(yù)測。

表2 A點(diǎn)觀測數(shù)據(jù)

觀測建模數(shù)據(jù)列的自相關(guān)系數(shù)ACF和偏自相關(guān)系數(shù)PACF圖的特征（ACF和PACF圖由軟件EViews6．0獲得,在此略去），ACF具有一階拖尾性，PACF具有一階截尾性；另外采用AIC信息準(zhǔn)則法求得模型AR(1)、MA(1)和ARMA(1,1) 的AIC值分別為4．628 535、8．178 238和4．854 747，按AIC值最小原則選取時(shí)間序列模型。 AR(1)模型滿足上述兩方面的特性和要求，所以選AR(1)模型作為本文路基沉降時(shí)間序列預(yù)測模型。

3.3 基于分位數(shù)自回歸模型參數(shù)估計(jì)

依據(jù)分位數(shù)回歸的思想，構(gòu)造損失函數(shù)為：

式中，p=1，n=9為建模數(shù)據(jù)列長度。則AR(1)模型的參數(shù)估計(jì)值

3.4 分位數(shù)自回歸AR(1)模型預(yù)測分析

表3 不同分位點(diǎn)下AR(1)對應(yīng)系數(shù)估計(jì)值

可以看出各個(gè)分位點(diǎn)對應(yīng)著不同的系數(shù)，由此得到了時(shí)間序列分位數(shù)模型。接下來對模型的殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，如果殘差是白噪聲序列，則表明模型是合適的。用 Ljung-Box 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲序列，結(jié)果如表4所示。

表4 Ljung-Box檢驗(yàn)的p值

表中的p值均很大，不能拒絕原假設(shè)（原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列，即互不相關(guān)序列），說明這些殘差序列都是白噪聲，因此建立的模型是顯著有效的。用得到的模型對表1中序號10～12的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測和分析，結(jié)果見表5。

表5 不同分位點(diǎn)對應(yīng)的路基沉降量預(yù)測值/mm

從表5可以看出，AR(1)在0．1、0．3、0．5、0．7、0．9 5個(gè)分位數(shù)下的預(yù)測結(jié)果，其精度均高于基于最小二乘的AR(1)模型yt=29.937 12+0.747 708yt-1（t=2,3,…），尤其以0．5分位下的預(yù)測精度最高，誤差絕對值之和的平均值為0．626 7，其精度遠(yuǎn)高于基于最小二乘AR(1)模型的預(yù)測精度。所以本文取AR(1)模型在0．5分位時(shí)建立的分位數(shù)回歸模型作為最終的預(yù)測模型yt=2.924 393+0.928 138yt-1（t=2,3,…），該模型對建模數(shù)據(jù)列的擬合程度和殘差情況如圖1所示，除了有一個(gè)異常點(diǎn)外，其他擬合效果都很好（沒有受異常點(diǎn)的影響）。另外，文獻(xiàn)[11]采用多變量灰色模型MGM(1,3) 對表2中的測試數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果為（30．34，31．56，33．38），其誤差絕對值之和的平均值為1．046 7，顯然預(yù)測精度不如本文模型。由此表明，將分位數(shù)回歸用于路基沉降量預(yù)測分析完全可行，能夠滿足工程需要。這里需要指出的是如果采集到的沉降數(shù)據(jù)列非平穩(wěn)時(shí)，可采用差分等方法將數(shù)據(jù)平穩(wěn)化，再用本文方法建模。

圖1 分位點(diǎn)0.5的自回歸模型擬合效果圖

4 結(jié) 語

分位數(shù)回歸拓展了平穩(wěn)時(shí)間序列模型（ARMA)參數(shù)估計(jì)方法，而且按不同分位點(diǎn)可得多組估計(jì)量，使得模型在沉降量預(yù)測時(shí)有更多選擇。由于分位數(shù)回歸時(shí)對模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)不做任何假設(shè)，同時(shí)具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)適應(yīng)能力，對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性要求不高（近似平穩(wěn)即可），使得模型的應(yīng)用范圍更加廣泛。另外，可利用Eviews6．0軟件和MATLAB等軟件方便地完成模型的建立和最終模型的選取。工程實(shí)例表明，基于分位數(shù)回歸的AR模型預(yù)測結(jié)果優(yōu)于基于最小二乘估計(jì)的AR模型，也優(yōu)于多變量灰色時(shí)間序列預(yù)測模型MGM( )，為路基沉降數(shù)據(jù)分析研究提供了一種新思路、新方法。需要指出的是不同的分位點(diǎn)（可分為低分位和高分位）代表了不同的路基沉降發(fā)展水平，按施工期和工后期的不同狀態(tài)選擇不同分位數(shù)下的預(yù)測模型會(huì)更符合實(shí)際，效果會(huì)更佳，對此需要進(jìn)一步研究。

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P258

B文章編號：1672-4623（2017）06-0081-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.06.025

王江榮，教授，主要從事基路沉降、控制理論與應(yīng)用方面的研究。

2016-02-02。

項(xiàng)目來源：蘭州市科學(xué)技術(shù)局計(jì)劃項(xiàng)目（蘭財(cái)建發(fā)[2015]85號）；蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院科技資助項(xiàng)目（院發(fā)〔2015〕69號）；甘肅省科技廳項(xiàng)目 ( 1204GKCA004 )；甘肅省財(cái)政廳專項(xiàng)資金立項(xiàng)資助項(xiàng)目（甘財(cái)教[2013]116號）。