聚焦數(shù)列熱點(diǎn)題型

■浙江省杭州市蕭山區(qū)第三高級(jí)中學(xué) 陳建華

聚焦數(shù)列熱點(diǎn)題型

■浙江省杭州市蕭山區(qū)第三高級(jí)中學(xué) 陳建華

數(shù)列是數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)內(nèi)容,高考對(duì)數(shù)列的考查非常全面,既有對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義以及性質(zhì)的考查,又有對(duì)數(shù)列與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的綜合考查,還把極限思想和數(shù)學(xué)歸納法融入等差數(shù)列、等比數(shù)列中進(jìn)行考查。新課標(biāo)高考關(guān)于數(shù)列考點(diǎn)的命題,主要有以下幾個(gè)方面：(1)對(duì)數(shù)列有關(guān)定義,等差數(shù)列、等比數(shù)列基本性質(zhì),基本運(yùn)算的考查,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬容易題;(2)由簡(jiǎn)單遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查化歸思想與幾種常見(jiàn)數(shù)列求和類型的熟練程度,常以解答題形式出現(xiàn),屬中檔題;(3)數(shù)列與其他知識(shí)的結(jié)合,有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的結(jié)合,以壓軸題形式出現(xiàn),其中以數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合最為常見(jiàn)。

考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的判定

例1 (2 0 1 5屆銀川一中高三第三次月考)已知數(shù)列的首項(xiàng)是等比數(shù)列。解析：因?yàn)?/p>

考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算與性質(zhì)的運(yùn)用

例2 (2 0 1 5屆四川省綿陽(yáng)市高三第一次診斷性考試)記公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及Sn。

解析：①根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差,從而求得an和Sn。

②若數(shù)列cn{}為單調(diào)遞減數(shù)列,則cn+1N*恒成立,由此得λ的取值范圍。

(1)由S3=9,a25=a3·a8,得：

解得a1=2,d=1。

若cn{}為單調(diào)遞減數(shù)列,則：

N*恒成立。

考點(diǎn)三 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

例3 設(shè)數(shù)列an{}為等差數(shù)列,且a5=1 4,a7=2 0,數(shù)列bn{}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1(n∈N*),求數(shù)列an{},bn{}的通項(xiàng)公式。

解析：根據(jù)已知條件求出公差,然后利用通項(xiàng)公式求出an,同時(shí)借助于數(shù)列的前n項(xiàng)和求出bn。

因?yàn)閿?shù)列an{}為等差數(shù)列,則a7-a5= 2d=6,故d=3。

所以an=a5+(n-5)d=1 4+(n-5)× 3=3n-1。由Sn=2n-1,得Sn-1=2n-1-1, n≥2,兩式相減得bn=2n-1(n≥2)。又b1= S1=1,也滿足上式,因此bn=2n-1。

考點(diǎn)四 數(shù)列的求和

例4 (2 0 1 5屆浙江省溫州十校高三上學(xué)期期中聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,a3=7,其前n項(xiàng)和為Sn, {bn} 為等比數(shù)列,b1=2,且b2S2=3 2。

(1)求an與bn;

解析：①直接由已知求得等差數(shù)列的公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解,再由b2S2=3 2求得等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;②求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,然后由裂項(xiàng)相消法求得,問(wèn)題等價(jià)于f(x)=x2+ a x+1的最小值大于或等于,由此式求得a的取值范圍。

(1)設(shè)an{}的公差為d,且d＞0,bn{}的公比為q,則an=3+(n-1)d,bn=2qn-1。

由題意知a3=3+2d=7。

S2b2=(6+d)·2q=3 2。

所以an=2n+1,bn=2n。

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+ 2),則

問(wèn)題等價(jià)于f(x)=x2+a x+1的最小值大于或等于

點(diǎn)評(píng)：在數(shù)列裂項(xiàng)求和時(shí),只需考慮分母的結(jié)構(gòu),只要分母可以分成同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng),就可以裂項(xiàng),而分子只起到平衡等式的作用。

(責(zé)任編輯 徐利杰)