劍指圓錐曲線最值問題

■浙江省桐廬富春高級(jí)中學(xué) 張玉紅

劍指圓錐曲線最值問題

■浙江省桐廬富春高級(jí)中學(xué) 張玉紅

圓錐曲線最值問題,歷來是高考?？碱}型。此類問題涉及知識(shí)面較廣,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法,即通過曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)解析式,然后利用函數(shù)方法、不等式方法再進(jìn)行求解。下面舉例說明。

一、利用定義，直奔主題

例1 已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0),雙曲線C上一點(diǎn)P到F1,F2的距離差的絕對(duì)值等于2。

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知定點(diǎn)G(1,2),點(diǎn)D是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),求|D F1|+|D G|的最小值。

解析：(1)依題意,得雙曲線C的半實(shí)軸長為a=1,半焦距為c=2。

(2)由已知得|D F1|-|D F2|=2,即|D F1|=|D F2|+2。

所以|D F1|+|D G|=|D F2|+|D G|+ 2≥|G F2|+2,當(dāng)且僅當(dāng)G、D、F2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。

因?yàn)閨G F2|=,所以|D F2|+|D G|+2≥|G F2|+2=5+2。

故|D F1|+|D G|的最小值為5+2。

點(diǎn)評(píng)：利用雙曲線的定義,可以將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理。

二、函數(shù)思想，為你著想

圖1

解析：(1)y2=2p x(p＞0)的準(zhǔn)線為x=

故拋物線C的方程為y2=x。

又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上,所以t=1。

(2)由(1)知,點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1),從而n =m,即點(diǎn)Q(m,m)。

依題意知直線A B的斜率存在,且不為0。

設(shè)直線A B的斜率為k(k≠0),且A(x1,y1),B(x2,y2)。

所以Δ=4m-4m2＞0,y1+y2=2m, y1y2=2m2-m。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)法是探求解析幾何最值問題的首選方法,主要涉及二次函數(shù)、無理函數(shù)等,可利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求出它的最值。

三、數(shù)形結(jié)合，立竿見影

解析：如圖2,設(shè)過Q(4,3)的直線方程為y =k(x-4)+3,即k=

圖2

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合,挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征,并畫出圖形,從圖形中發(fā)現(xiàn)與圓錐曲線最值有關(guān)的信息,這類最值問題一般與曲線的切線有關(guān)。

四、三角換元，最值速現(xiàn)

(1)求x2+y2的最值;

(2)若四邊形A B C D內(nèi)接于橢圓E,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4,求四邊形A B C D面積的最大值。

(2)如圖3所示,易知A(5,0),C(0,4)。

設(shè)B(5 c o sθ,4 s i nθ)為橢圓上任一點(diǎn),

圖3

所以點(diǎn)B到直線A C的距離為：

同理可得,點(diǎn)D到直線A C的距離d2滿足：

點(diǎn)評(píng)：三角換元的目的是把目標(biāo)函數(shù)中兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)角變量,從而把原問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角函數(shù)最值問題。

(責(zé)任編輯 徐利杰)