《不等式及其解集》教學(xué)實錄與評析

鄭佩芳　劉小紅

一、創(chuàng)設(shè)情境，探索發(fā)現(xiàn)

師：今天，我很開心能夠和大家一起上這節(jié)課。大家知道我來自哪里嗎？

生：不知道。

師：先留個懸念吧，一會兒我請大家看一段視頻，同學(xué)們要認真看，因為我們將要完成導(dǎo)學(xué)案的第1題。（播放音樂視頻《坐上高鐵去賀州》）

師：同學(xué)們，現(xiàn)在你們知道我來自哪里了嗎？

生：賀州。

師：沒錯！賀州有很多漂亮的風(fēng)景區(qū)，口碑也很不錯，歡迎同學(xué)們邀上爸爸媽媽、親朋好友乘坐高鐵到賀州——我的家鄉(xiāng)來做客。

【評析】通過課前談話、播放視頻，學(xué)生對執(zhí)教老師從陌生到熟悉。

師：看完了視頻，請你們完成導(dǎo)學(xué)案第1題。

課件出示導(dǎo)學(xué)案第1題：五一勞動節(jié)快到了，小明準備和父母自駕去賀州市國家森林公園姑婆山游玩。

（1）若小明身高為a米，那么根據(jù)兒童門票身高新標準：①當a滿足 時，他可以免票；②當a滿足 時，他該買全票；③當a滿足 時，他該買半票。

（2）已知小明家到賀州市國家森林公園姑婆山的距離為30千米，他們11∶20從家里出發(fā)，汽車以x千米/時的速度勻速前進：①若該車計劃在中午12∶00準時到達，可列算式 ；②若該車計劃在中午12∶00之前到達，可列算式 ；③若該車超過中午12∶00到達，可列算式 。

（3）請你將以上這些式子進行分類，并說明理由。

針對問題1（1），學(xué)生列出算式：①a≤1.1；②a1.5，a≥1.5；③1.1a≤1.5。師板書算式并進行簡單分析：a1.5和a≥1.5哪一個正確？最終確定答案為a1.5。接下來，針對問題1（2）（3），教師引導(dǎo)學(xué)生回憶視頻中出現(xiàn)的兩個關(guān)鍵時間點11∶20和12∶00，（2）①可列算式（12-11）×60-20，經(jīng)計算得出答案為40分鐘，即[23]小時。兩名學(xué)生列出了式子[23]x=30，若該車12：00之前到達，應(yīng)有（2）②的答案[23]x[]30；若該車超過12：00到達，則有（2）③的答案[23]x30。教師指導(dǎo)學(xué)生從路程、速度、時間的關(guān)系去進行解釋。

【評析】學(xué)生在小學(xué)階段對不等量關(guān)系、數(shù)量大小的比較等已經(jīng)有所了解，導(dǎo)學(xué)案中的第1（1）（2）題，可起到復(fù)習(xí)鞏固舊知識和為學(xué)習(xí)新知做鋪墊的作用。

師：我們得出了以上這些算式，你可以將它們進行分類嗎？請說明理由。

學(xué)生獨立完成導(dǎo)學(xué)案中的探索發(fā)現(xiàn)第1（3）題，完成后進行展示。

生1：我把它們分成了兩大類，第一類是：a≤1.1，a1.5，1.1a≤1.5，[23]x30，[23]x30；第二類是[23]x=30。理由是根據(jù)算式的符號進行分類，[23]x=30是等式，其余含有“≤”“”“”符號的是不等式。

生2：我把這些算式分為三類，第一類是a1.5，[23]x30，[23]x30，第二類是[23]x=30，第三類是a≤1.1，1.1a≤1.5，理由是第一類是不等式，第二類是等式，第三類既不是不等式，又不是等式。

師：那它是什么？

生2：不知道。

師：這位同學(xué)不知道這一類式子是什么式子，那么我們這節(jié)課就來研究這一類式子吧。（引導(dǎo)學(xué)生歸納：用等號表示相等關(guān)系的式子叫做等式。）

師：你能類比等式的定義給這些式子下一個定義嗎？

生3：用不等號表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。

師：這位同學(xué)說的對不對呢？請同學(xué)們翻開課本第114頁，找到不等式的定義，并把它畫出來（板書課題，生齊讀課題）。

師：定義中有哪些關(guān)鍵詞？

生：不等號、不等關(guān)系。

師：把它們?nèi)ζ饋怼?/p>

【評析】學(xué)習(xí)了新的概念后，執(zhí)教老師引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，讓學(xué)生加深對概念的理解，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言描述概念，這樣做有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。

師：在小學(xué)階段，我們常見的不等號有哪些？

生：，，≥，≤，≠。

師：（板書常用不等號）這是我們學(xué)過的不等號，用不等號表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。這位同學(xué)，剛才你分出的第三類式子，現(xiàn)在有答案了嗎？

生2：有了。

【評析】執(zhí)教老師讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象出不等式的過程，用類比的方法引出不等式的概念，再從定義出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生解決學(xué)習(xí)中遇到的問題，整個教學(xué)過程思路清晰，體現(xiàn)了較強的教學(xué)組織能力。

師：生活中有很多這樣的不等關(guān)系，同學(xué)們可以說一說生活中不等關(guān)系的例子并用不等式表示出來嗎？請同學(xué)們完成導(dǎo)學(xué)案第2題。

生討論交流，學(xué)習(xí)小組進行展示。（過程略）

師：同學(xué)們列舉了很多生活中的案例，這說明數(shù)學(xué)就來源于我們的生活。我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)，又該怎么做呢？

生：服務(wù)于生活。

【評析】執(zhí)教老師請學(xué)生說一說生活中的案例，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，讓學(xué)生知道生活中處處有數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，從而體會數(shù)學(xué)的意義。

二、乘勝追擊，再得新概念

師：繼續(xù)回到小明的問題上來，姑婆山的廟會12點開始，小明跟爸爸說要在12點之前到達姑婆山。請問爸爸開車的速度應(yīng)該滿足什么條件？請看導(dǎo)學(xué)案第3（1）（2）題。

3.根據(jù)第1（2）②題的結(jié)論，知有不等式[23]x30。請思考下面兩個問題。

（1）下列哪些數(shù)能夠使不等式[23]x30成立？42 45 48 51

（2）請你再寫出兩個使得這個不等式成立的x的值，這樣的值有多少個？

學(xué)生四人小組交流后展示。

生1：[23]×42和[23]×45的算式值分別是28、30，因此，當x等于42、45時，不等式不成立；[23]×48和[23]×51的算式值分別是32、34，所以當x等于48、51時，不等式成立。

生2：[23]×54和[23]×57的算式值分別是36、38，值都大于30，因此，當x等于54、57時，小明也可以提前到達姑婆山。

師：像這樣的值有多少個呢？

生2：無數(shù)個。

師：同學(xué)們有不同的答案嗎？

生：（齊）沒有。

師：我有個疑惑，第一位同學(xué)說第（1）題是用代入法得到答案的，算式值分別是48、51，能夠使不等式成立。我們在上冊學(xué)習(xí)了方程，使方程成立的未知數(shù)的值稱之為方程的解，48能夠使這個不等式成立，那么我們可以類比方程的解的定義給48一個名稱嗎？

生：（齊）不等式的解。

師：不等式的解有多少個？

生：（齊）無數(shù)個。

師：我們把無數(shù)個解聚集在一起，是不是也可以給它一個名稱呢？可以叫做什么？

生：解集。

師：對，這是不等式的解集。通過這兩道題，我們得出了兩個定義，這兩個定義是類比哪一個知識點得到的呢？

生：方程。

師板書數(shù)學(xué)思想方法——類比。

【評析】執(zhí)教老師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

師：請同學(xué)們在課本中分別找出不等式的解以及不等式的解集的定義，把它們畫出來。

師：剛才我們得出了兩個定義，發(fā)現(xiàn)了x45這個不等式的解集，那么不等式的解和不等式的解集一樣嗎（課件出示問題）？

生：（齊）不一樣。

生1：不等式的解只有一個，而不等式的解集有無數(shù)個。

生2：我不同意。不等式的解有無數(shù)個，不等式的解集就是把所有的解匯聚在一起。

師：這位同學(xué)總結(jié)得很到位，掌聲鼓勵。

【評析】執(zhí)教老師及時對學(xué)生進行鼓勵和肯定，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，能夠促使他們更加積極地參與到學(xué)習(xí)活動中。

師：（總結(jié)）不等式的解是不等式的解集中的一個數(shù)。接下來，請同學(xué)們看這道題（課件出示題目）。

練習(xí)題：下列說法正確的是（ ）

A. x=3不是2x1的解。

B. 2x1的解是x=3。

C. x=3是2x1的解。

D. x=3是2x1的解集。

生1：答案是C。把x=3代入算式發(fā)現(xiàn)，選項A是錯的，選項B的解不止一個，選項D的解集由很多個解組成，這是它的解而不是解集。

全體學(xué)生表示贊同該同學(xué)的說法。

師：看來同學(xué)們已經(jīng)能夠區(qū)分不等式的解和不等式的解集了。我們在學(xué)習(xí)方程時，把求方程的解的過程叫做解方程，那么求解不等式的解集的過程，應(yīng)該把它叫做什么呢？

生：解不等式。

師：請同學(xué)們在課本中找到解不等式的定義。

生齊讀解不等式的定義，師板書概念。

師：剛才我們得出了爸爸開車的車速要大于45千米/時才能準時到達目的地，為了安全起見，我們平時開車的車速可不能太快。

【評析】在講解不等式的解集時，執(zhí)教老師提到了開車時車速不能太快，把課堂教學(xué)延伸到了現(xiàn)實生活中的交通安全教育，發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人功能。

師：如何表示一個不等式的解集呢？請同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案第3（3）題。

生交流討論，師巡視指導(dǎo)，四人小組進行展示。

生1：表示所有的值，我有兩個方法：一是通過計算得出x45，這個不等式成立；二是利用數(shù)軸，這是表示45的點（手指數(shù)軸），大于它的點表示的都是x的值。

教師詢問小組內(nèi)其他成員的意見。

生2：表示45的這個點不能畫成實心，應(yīng)該是空心的圓圈。

生3：可以用文字表示為“x大于45”。

師：其實，用數(shù)學(xué)式子表示更為簡潔、直觀。你還有別的表示方法嗎？

生搖頭表示沒有。

師：我有一個疑問，剛才這位同學(xué)說用數(shù)軸來表示x的值，另一位同學(xué)說要用實心的點表示，但有同學(xué)提出要用空心的圓圈表示，這是為什么？

生2：因為空心的圓圈表示x45，實心的點表示x≥45。

師：為什么等于要用實心的點表示，不等于要用空心的圓圈表示呢？

生2：因為空心的點表示x大于45，實心的點表示x等于45。

師：（追問）為什么“等于”要用實心的點表示，“不等于”要用空心的圓圈表示？

生2：（撓撓頭）老師，你來講吧。

全班學(xué)生大笑。

師：（笑）看來我提出的問題還是得由我來解決。在上冊學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，我們知道數(shù)軸上的每一個實心的點都表示一個數(shù)，那么包含了45這個數(shù)就應(yīng)該用實心的點來表示，不包含45這個數(shù)又要怎么處理呢？這個數(shù)能取嗎？

生：不能。

師：所以我們就得把它挖掉，用一個空心的圓圈來表示。我還有一個問題。為什么大于45，數(shù)軸的方向往右邊走呢？

生3：因為右邊是正方向，往左邊走的話，數(shù)會變得越來越小。

師：在數(shù)軸上，越往右邊的數(shù)越大，那么，問題又來了，如果x小于45，我們該怎么畫呢？

生：（齊）往左邊畫。

師：45這個點怎么處理？

生：畫成空心的圓圈。

師：如果是x≥45呢？

生：（齊）畫成實心的點。

師：方向呢？

生：往右邊。

師：如果是x≤45呢？

生：實心的點，往左邊畫。

師：我明白了。你們明白了嗎？

生表示明白。

師：由這個小組的展示我們發(fā)現(xiàn)，不等式的解集有多少種表示方法？

師生共同歸納總結(jié)得出兩種方法，師板書：有兩種表示方法，一種是用數(shù)學(xué)算式表示，一種是用圖形表示。

師：將數(shù)與形結(jié)合起來，也就用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（板書：數(shù)形結(jié)合）問題又來了，既然我們可以用數(shù)軸表示不等式的解集，那么畫數(shù)軸有哪些步驟？你能歸納出來嗎？

生思考后，師生共同歸納得出用數(shù)軸表示解集的步驟。（1）畫數(shù)軸；（2）定界點；（3）定方向，用數(shù)軸表示不等式的解集，記住以下規(guī)律：大于向右畫，小于向左畫；有等號（≥，≤）畫實心點，無等號（，）畫空心圓圈。

不等式的解集一般來說有以下4種情況（a表示一個具體的數(shù)）：（1）xa；（2）xa；（3）x≥a；（4）x≤a。四種情況都可用數(shù)軸表示。

【評析】執(zhí)教老師從問題出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，得出三個概念，再引導(dǎo)學(xué)生思考如何表示不等式的解集的問題，突出了教學(xué)重點，突破了教學(xué)難點。在這個教學(xué)過程中，執(zhí)教老師恰當引導(dǎo)，用層層遞進的問題帶動了學(xué)生的思考，師生互動融洽，學(xué)生思維活躍，使觀課者對接下來的教學(xué)充滿了期待。此外，學(xué)習(xí)了新知后，師生共同歸納得出結(jié)論并形成文字，強化了記憶，使學(xué)生對所學(xué)知識有了更深刻的理解。

三、小試牛刀

用不等式表示圖中所表示的解集。

教師以“開小火車”的方式讓學(xué)生口答，引導(dǎo)學(xué)生找出回答錯誤的原因。

【評析】執(zhí)教老師設(shè)置這道練習(xí)題，讓學(xué)生對不等式的解集的內(nèi)涵有了更深刻的理解，也讓學(xué)生對用數(shù)軸表示不等式的解集的方法掌握得更熟練。

四、總結(jié)反思，感悟提升

師：這節(jié)課你學(xué)到了什么？掌握了哪些數(shù)學(xué)思想？有什么困惑？

生：我有個問題，約等號是不等號嗎？

師：約等號是不等號嗎？關(guān)于這個問題，同學(xué)們先交流討論，下節(jié)課老師再為大家解答。

【評析】執(zhí)教老師在學(xué)生暢所欲言的時候，課件呈現(xiàn)一棵樹不斷生長出枝葉（以本節(jié)課所學(xué)知識為枝葉），直至長成茂盛的大樹，這樣有助于學(xué)生回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，形成知識結(jié)構(gòu)，提高歸納總結(jié)能力和反思能力。

五、布置作業(yè)，分層落實

必做題：課本第115頁練習(xí)1、2、3。

選做題：已知關(guān)于x的不等式x1+a的解集如下圖所示，則a的取值是多少？

【評析】設(shè)計有梯度的練習(xí)題，讓不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生都能“摘到果子”獲得成功，從而體驗到學(xué)習(xí)的快樂。

【總評】

這是鄭老師在《廣西初中課程數(shù)學(xué)資源庫建設(shè)》第一期優(yōu)秀成果展示活動中的一節(jié)課例展示。在這節(jié)展示課中，師生配合默契，學(xué)生積極參與，課堂教學(xué)高潮迭起，讓人產(chǎn)生一種意猶未盡的感覺，主要體現(xiàn)在以下兩個方面。

一、情境設(shè)計巧妙、新穎

鄭老師對教材進行了巧妙的改編，制作了微視頻，將數(shù)學(xué)問題融入視頻中，還原了知識發(fā)生、發(fā)展的過程。視頻之后的談話，拉近了師生之間的距離，增進了師生之間的情感。這樣的教學(xué)設(shè)計，在教學(xué)伊始就緊緊地吸引住了學(xué)生，讓學(xué)生在輕松愉悅的情境中進入學(xué)習(xí)狀態(tài)，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和動手能力。整節(jié)課的教學(xué)以情境中的問題為主線，讓學(xué)生體會到了這是一個為解決問題而學(xué)習(xí)新知的過程，從而對數(shù)學(xué)有了更深刻的領(lǐng)悟。

二、經(jīng)歷真實的探究、創(chuàng)造、協(xié)作與問題解決過程

教學(xué)中，鄭老師為學(xué)生提供了充分參與數(shù)學(xué)活動的時間與空間，學(xué)生大膽發(fā)言，教師適時指導(dǎo)，師生在互動交流中得出結(jié)論，從而發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。例如，當學(xué)生碰到問題時，鄭老師及時給予點撥、引導(dǎo)，但又不是包辦代替；當學(xué)生的探究不夠深入時，鄭老師把自己定位為學(xué)生的角色，站在學(xué)生的角度提出問題，引發(fā)學(xué)生的思考，放大了師生共同作為學(xué)習(xí)者的特征，使師生進入教中有學(xué)、學(xué)中有教的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

（責(zé)編 歐孔群）