建模思想在棱錐外接球問題中的應用淺析
——借用長方體解決多面體外接球問題

廣東廣州市第四十一中學 謝衛(wèi)煌

新課標提出：“在教學中，應注重讓學生在實際問題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律……”。即在教學中，要讓學生“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)學問題過程”，在數(shù)學活動中體會數(shù)學、了解數(shù)學、認識數(shù)學。甚至我們還要學會欣賞數(shù)學那“抽象”的“冰冷”的美，所以在數(shù)學教學中應該強調(diào)建模思想滲透，讓學生經(jīng)歷“問題情景——數(shù)學建?！蠼狻忉屌c應用”的基本過程。

初看概念，一個是多面體，一個是長方體，兩個不同的概念，怎么可以聯(lián)系起來呢？我們首先來看最簡單的多面體即三棱錐與四棱柱的關(guān)系。首先，我們追究一下三棱錐的概念：一個底面是三角形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做三棱錐。再看四棱柱，一個四棱柱（長方體是特殊四棱柱）可以分割成三個三棱錐，從這一點可以看出，三棱錐可以由四棱柱分割而來，可以看出三棱錐與四棱柱之間的關(guān)系，也就是說，三棱錐與四棱柱還是有著緊密的聯(lián)系的，正因為這種緊密的聯(lián)系，才讓三棱錐的外接球問題可以嘗試著用四棱柱去解。是否可以由此遷移，其他多面體外接球問題也可以借助直棱柱來解決呢？值得反思與探討，這里，我們只研究多面體與最簡單、最特殊的直棱柱即長方體之間的關(guān)系。同時，通過對全國高考卷試題的分析發(fā)現(xiàn)，多面體的外接球問題是高考的熱點與高頻考點，所以研究“借用直四棱柱解決多面體外接球問題”的方法具有非常現(xiàn)實而迫切的意義！具體來說：就是把多面體置身于長方體（含正方體）中，把長方體作為母體，建立數(shù)學模型，通過求它們的外接球半徑，從而求多面體外接球半徑，很多問題可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。這里首先引入兩個公式，設正方體棱長為a，外接球半徑為R，則；設長方體的棱長分別為a,b,c，外接球半徑為R，則

一、三棱錐

1.正四面體

問題：一個棱長為2的正四面體，求其外接球的表面積？

如圖1所示，把正四面體置身于正方體中，即可轉(zhuǎn)化為求棱長為1的正方體的表面積，迎刃而解。

2.三棱兩兩垂直

例1：已知三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=2,PB=PC=1，求三棱錐P-ABC外接球的體積？

如圖2所示，把三棱錐P-ABC置身于棱長分別為2，1，1的長方體中即可。

3.四個面是直角三角形

例2（2017年廣州市一模第10題）：《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑, PA⊥平面ABC,PA=AB=2，AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上, 則球O的表面積為（ ）

（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π

如圖3所示，同樣可借長方體的“殼”，求三棱錐外接球表面積。該三棱錐實際上就是長方體的一部分即三棱錐P-ABC,底面△ABC是直角三角形，從而可求,從而選C。

4.底面是直角三角形

例如：如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯

視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（ ）

A.B.8π C.9πD.

解析：把該三視圖對應的幾何體還原并指置身于

直棱柱中，如圖4，發(fā)現(xiàn)底面是△ABCD直角邊分別為

5.對棱相等

這種三棱錐的外接球問題其實已經(jīng)相對復雜，但如果建模，構(gòu)造長方體，轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題，思維敏捷，效率高效，可以達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村“的美好境界。

如在三棱錐A-B C D中，已知求三棱錐A-BCD的外接球的表面積？

解析：如圖5所示，把A-BCD置身于長方體中，設棱長分別為a,b,c，使各面對角線滿足條件即可，則由，從而利用公式得到：所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=17π。

二、四棱錐

例4：如圖6所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）

A. 8π B.12π C.16π D.32π

解析：經(jīng)三視圖還原幾何體可知該幾何體為一個底面邊長為一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，把它置身于一個正方體內(nèi)（如圖，正對的為面PBD），很快即可以由公式得到從而選A。

三、其它多面體

例5：一個長方體被一個平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖10所示，則該幾何體的體積為（ ）

A. 24 B. 48 C. 72 D.9 6

要求該幾何體的體積，首先需要還原幾何體，這個問題的背景是“幾何體由長方體產(chǎn)生”，所以，結(jié)合三視圖，只要先畫一個長為6，寬為4，高為4的長方體，在該長方體中可以較快得到多面體從而迅速求得該幾何體的體積為48.

通過對本題的研究，學生真正經(jīng)歷了一次徹頭徹腦的“問題情景——數(shù)學建?！蠼狻忉屌c應用”的基本過程，真正領(lǐng)略建模思想的數(shù)學意義，讓多面體的外接球問題具備了廣袤無垠的生機，并得到高效解決，從而收獲學生濃厚的信心。對于全國卷來說，考查能力要求提高了，對于多面體外接球問題，牽涉到由三視圖還原幾何體、如何找多面體外接球半徑，知識點多，還要求具備較強的空間想像能力，對于理科生來說，已經(jīng)不容易，對于文科生來說，更是難點，所以，作為教師，應該充分調(diào)動學生思維，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，充分利用轉(zhuǎn)化思想，使問題得到簡化與高效。建模思想在解決多面體外接球問題中的意義，不僅僅在于化復雜多面體為特殊幾何體，還在于這種思想在“還原幾何體”中的應用。所以，借用長方體解決復雜多面體外接球問題具有重大的意義！