基于IMM-CKF的彈道再入目標(biāo)跟蹤研究

許登榮,程水英,包守亮

(電子工程學(xué)院,合肥 230037)

基于IMM-CKF的彈道再入目標(biāo)跟蹤研究

許登榮,程水英,包守亮

(電子工程學(xué)院,合肥 230037)

該文研究了彈道系數(shù)未知的彈道再入目標(biāo)的跟蹤問題。針對現(xiàn)有再入目標(biāo)跟蹤方法對彈道系數(shù)初值設(shè)定以及噪聲協(xié)方差的設(shè)置比較敏感的問題,采用了數(shù)值精度高、穩(wěn)定性好且計(jì)算量較小的求容積卡爾曼濾波(CKF)算法作為跟蹤濾波器,并分別設(shè)計(jì)了由不同彈道系數(shù)模型構(gòu)成的交互式多模型(IMM)算法以及由不同噪聲協(xié)方差模型組成的IMM算法。仿真結(jié)果表明,該文設(shè)計(jì)的兩種IMM算法都能顯著提高跟蹤精度以及對彈道系數(shù)估計(jì)的收斂速度。

彈道再入目標(biāo)跟蹤;交互式多模型算法;求容積卡爾曼濾波;彈道系數(shù)

0 引言

對彈道式再入目標(biāo)的跟蹤與識別是攻防對抗體系中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),有效精確的跟蹤不僅可以延長防御方的反應(yīng)時間而且可以提高攔截的準(zhǔn)確度[1]。其跟蹤的難點(diǎn)在于目標(biāo)的彈道系數(shù)未知,需要對彈道系數(shù)進(jìn)行實(shí)時估計(jì),而對彈道系數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性影響著目標(biāo)運(yùn)動模型的準(zhǔn)確性,進(jìn)而決定了估計(jì)的精度。通常的做法是將彈道系數(shù)擴(kuò)展為狀態(tài)向量的一個分量進(jìn)行聯(lián)合[2-3],但是該方法對彈道系數(shù)初值的設(shè)置以及過程噪聲協(xié)方差矩陣的設(shè)定都比較敏感。若先驗(yàn)信息不準(zhǔn)確或上述參數(shù)設(shè)置不合理都會導(dǎo)致濾波器的估計(jì)精度下降,甚至?xí)斐蔀V波器發(fā)散。因此,設(shè)計(jì)魯棒性強(qiáng)、精度高且穩(wěn)定性好的跟蹤算法是解決該問題的關(guān)鍵。

此外,再入彈道目標(biāo)的狀態(tài)方程和雷達(dá)的量測方程通常都是非線性的,再入目標(biāo)跟蹤是一個典型的非線性濾波問題,比較各種非線性濾波方法在彈道再入目標(biāo)跟蹤中的性能一直以來是一個研究熱點(diǎn)問題[4]。典型的非線性濾波方法有:擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無味卡爾曼濾波(UKF)[5-6]、粒子濾波(PF)[7]以及它們的改進(jìn)算法等。EKF在系統(tǒng)非線性較強(qiáng)時,估計(jì)偏差較大,容易造成濾波器發(fā)散,同時需要計(jì)算Jacobian矩陣,當(dāng)系統(tǒng)不連續(xù)可微分時自然失效。UKF的濾波精度和適用范圍要優(yōu)于EKF,但是對于高維的非線性系統(tǒng),UKF需要合理的選擇參數(shù)才能取得較好的濾波效果,對參數(shù)的選擇具有一定的依賴性[5]。而PF濾波計(jì)算量過大,難以滿足彈道再入目標(biāo)跟蹤的實(shí)時性要求。近年來,Arasaratmam和Haykin[8]提出的一種新的非線性濾波器——求容積卡爾曼濾波器(CKF),CKF采用3階球面-相徑容積規(guī)則來近似經(jīng)非線性系統(tǒng)分布函數(shù)傳遞的后驗(yàn)均值和協(xié)方差。與EKF相比,它避免了對非線性系統(tǒng)線性化的要求;而與UKF相比,CKF的容積點(diǎn)和權(quán)值由狀態(tài)向量的維數(shù)唯一確定,算法設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)更為簡單。同時計(jì)算量較小,因此,CKF一經(jīng)提出,就得到了廣泛的應(yīng)用[9-10]。

綜合算法各方面的性能,該文采用CKF作為彈道再入目標(biāo)的跟蹤濾波器。同時為了解決彈道系數(shù)未知時彈道再入目標(biāo)跟蹤的問題,文中采用IMM算法與CKF算法相結(jié)合的方法,在仿真分析的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了適用于彈道再入目標(biāo)跟蹤的IMM算法的模型集。仿真結(jié)果表明,在彈道系數(shù)未知時,采用文中設(shè)計(jì)的IMM算法能實(shí)現(xiàn)對彈道再入目標(biāo)更高精度的跟蹤,同時算法的穩(wěn)定性和魯棒性也得到了提高。

1 彈道再入目標(biāo)的運(yùn)動方程及量測方程

1.1 彈道再入目標(biāo)運(yùn)動方程

彈道再入目標(biāo)重返大氣時,受到的作用力主要有地球重力和空氣動力。對于非機(jī)動再入目標(biāo),空氣動力表現(xiàn)為大氣阻力,其方向與目標(biāo)速度的方向相反。假設(shè)地球是一個標(biāo)準(zhǔn)的球體,并忽略地球的旋轉(zhuǎn)。設(shè)p=[xyz]T為目標(biāo)在雷達(dá)站東北天(ENU)坐標(biāo)系中的位置矢量,v=[vxvyvz]T為目標(biāo)在ENU坐標(biāo)系中的速度矢量,則目標(biāo)在ENU坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程為:

(1)

(2)

式(2)按Euler逼近法離散化得:

xk+1=xk+Tf1(xk)+wk=f(xk)+wk

(3)

式中:T表示采樣間隔;wk為離散時間的過程噪聲,其協(xié)方差矩陣為:

(4)

式中:?為Kronerker積,I3為3×3的單位矩陣;q是目標(biāo)加速度過程噪聲的方差;qα表示阻力參數(shù)的過程噪聲方差。

1.2 量測方程

反導(dǎo)雷達(dá)的量測在球坐標(biāo)中獲得,量測方程為:

(5)

式中:xk、yk、zk是目標(biāo)k時刻在雷達(dá)ENU坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo);zk=[R,A,E]T是k時刻雷達(dá)的觀測值,其中R為目標(biāo)到雷達(dá)的距離,A為方位角,E為俯仰角;vk是零均值的高斯白噪聲序列,其協(xié)方差矩陣為Rk。

2 求容積卡爾曼濾波算法

將式(3)和式(5)的狀態(tài)方程和量測方程重寫如下:

(6)

式中:xk∈Rnx、zk∈Rnz,nx=7為狀態(tài)向量的維數(shù),nz=3為狀態(tài)向量的維數(shù)。f(·)、h(·)為非線性函數(shù)。

彈道再入目標(biāo)跟蹤實(shí)際上是對上述離散的非線性系統(tǒng)的遞推估計(jì)問題。由于式(6)所表示系統(tǒng)的非線性較強(qiáng),且綜合考慮工程應(yīng)用和濾波器的性能,文中采用CKF作為跟蹤濾波器,現(xiàn)將其算法步驟總結(jié)如下。

2.1 初始化

(7)

式中:m=2nx,記nx維單位向量為e=[1,0,…,0]T,符號[1]表示對e中元素進(jìn)行全排列和取反所生成的點(diǎn)集,即:

(8)

該點(diǎn)集稱為完整全對稱點(diǎn)集,[1]i表示點(diǎn)集中的第i個點(diǎn)。

2.2 時間更新

1)對k-1時刻的狀態(tài)協(xié)方差矩陣Pk-1|k-1進(jìn)行Cholesky分解,即:

(9)

2)計(jì)算狀態(tài)求容積點(diǎn)

(10)

3)計(jì)算經(jīng)非線性函數(shù)傳播后的求容積點(diǎn)

(11)

4)狀態(tài)的一步預(yù)測

(12)

5)狀態(tài)協(xié)方差的一步預(yù)測

(13)

2.3 量測更新

1)矩陣分解

(14)

2)計(jì)算量測求容積點(diǎn)

(15)

3)計(jì)算傳播后的求容積點(diǎn)

Zi,k|k-1=h(Xi,k|k-1)

(16)

4)量測的一步預(yù)測

(17)

5)計(jì)算新息協(xié)方差

(18)

6)計(jì)算互協(xié)方差

(19)

7)計(jì)算增益

(20)

8)狀態(tài)更新

(21)

9)協(xié)方差更新

(22)

3 IMM-CKF算法設(shè)計(jì)

對彈道再入目標(biāo)跟蹤的難點(diǎn)在于難以對目標(biāo)運(yùn)動進(jìn)行準(zhǔn)確的建模,對于防御方而言,目標(biāo)的彈道系數(shù)通常是未知的,或只能知道其所在大致的區(qū)間,因而需要對其進(jìn)行估計(jì),而在估計(jì)收斂之前,目標(biāo)的運(yùn)動模型是不準(zhǔn)確的。在系統(tǒng)狀態(tài)方程不確定或含有未知參數(shù)時,采用多模型估計(jì)方法通常能取得比較好的性能。在所有的多模型估計(jì)方法中,IMM算法通過合理的假設(shè),一般被認(rèn)為是一種最有效的混合估計(jì)方案,并得到了廣泛的應(yīng)用。文中采用IMM算法實(shí)現(xiàn)對再入目標(biāo)的跟蹤,首先根據(jù)彈道系數(shù)大致分布的范圍,構(gòu)造了由3個不同彈道系數(shù)初值{βi,(i=1,2,3)}濾波器作為模型集的IMM算法。另外考慮到過程噪聲協(xié)方差的設(shè)置同樣會影響彈道系數(shù)估計(jì)的收斂速度,文中也同時設(shè)計(jì)了由3個不同過程噪聲協(xié)方差{qα,i,(i=1,2,3)}濾波器組成的IMM算法。在濾波過程中,IMM算法通過各模型之間進(jìn)行交互的同時更新各模型的模型概率來實(shí)現(xiàn)對未知參數(shù)更迅速的估計(jì),從而獲得更高的濾波精度。

IMM估計(jì)算法的步驟如下。

步驟1 模型條件重初始化

(23)

(24)

其中:

(25)

步驟2 模型條件濾波

步驟3 模型概率更新

(26)

式中:

(27)

步驟4 估計(jì)融合

(28)

(29)

4 仿真分析

設(shè)計(jì)一條標(biāo)準(zhǔn)的再入彈道軌跡,目標(biāo)的再入速度為3 000 m/s,再入角為39°,初始時刻目標(biāo)在雷達(dá)ENU坐標(biāo)系的位置為(130 km,50 km,95 km),目標(biāo)的彈道系數(shù)為常值5 000 kg/m2。采用四階龍格庫塔積分法外推生成標(biāo)準(zhǔn)彈道,圖1為目標(biāo)在雷達(dá)ENU坐標(biāo)系中的彈道曲線,圖2、圖3分別是再入目標(biāo)的加速度和速度變化曲線。假設(shè)雷達(dá)跟蹤數(shù)據(jù)率為10 Hz,雷達(dá)的測距精度為σR=50 m,測角精度σA=σE=1 mrad,且量測噪聲服從高斯分布,整個跟蹤過程中雷達(dá)的測距和測角精度保持不變。

圖1 目標(biāo)的彈道曲線

圖2 目標(biāo)的加速度變化曲線

圖3 目標(biāo)的速度變化曲線

首先分析不同彈道系數(shù)初值對跟蹤精度以及收斂速度的影響。結(jié)合彈道再入目標(biāo)彈道系數(shù)可能的范圍,設(shè)計(jì)了如下3個CKF濾波器和IMM估計(jì)器:

求容積卡爾曼濾波器1(CKF1):導(dǎo)彈系數(shù)初值為3 000 kg/m2,過程噪聲協(xié)方差矩陣的q=0.1 m2·s-4,qα=10-12。

求容積卡爾曼濾波器2(CKF2):導(dǎo)彈系數(shù)初值為6 000 kg/m2,過程噪聲協(xié)方差矩陣的q=0.1 m2·s-4,qα=10-12。

求容積卡爾曼濾波器3(CKF3):導(dǎo)彈系數(shù)初值為9 000 kg/m2,過程噪聲協(xié)方差矩陣的q=0.1 m2·s-4,qα=10-12。

采用上述3個不同彈道系數(shù)初值的CKF算法以及由上述3個濾波器作為模型集的IMM算法(IMM1算法)分別對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。IMM算法的模型初始概率及概率轉(zhuǎn)移矩陣分別為:

采用兩點(diǎn)初始化的方法,Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)50次。圖4～圖6分別給出了各算法的位置、速度以及彈道系數(shù)估計(jì)的均方根誤差曲線。

圖4 位置均方根誤差

圖5 速度均方根誤差

仿真結(jié)果表明,總體來說,濾波器的彈道系數(shù)初值離真值越遠(yuǎn),跟蹤效果越差,尤其是當(dāng)目標(biāo)空氣阻力加速度增大時,彈道系數(shù)初值離真值較遠(yuǎn)的CKF算法估計(jì)誤差會明顯增大。而采用IMM算法可以有效的降低估計(jì)誤差,提高跟蹤的精度,表明降低了算法對彈道系數(shù)初值設(shè)置的敏感性,提高了算法的魯棒性。而從圖6可以看到,IMM算法對導(dǎo)彈系數(shù)估計(jì)的收斂速度最快,導(dǎo)致運(yùn)動模型更加的準(zhǔn)確,從而濾波精度最高。同時也不難發(fā)現(xiàn),彈道系數(shù)估計(jì)收斂速度越快的算法跟蹤誤差越小。

圖6 彈道系數(shù)均方根誤差

接下來分析濾波器設(shè)置不同過程噪聲協(xié)方差對跟蹤精度以及收斂速度的影響。設(shè)計(jì)了如下3個CKF濾波器和IMM算法:

求容積卡爾曼濾波器4、5、6(即CKF4、CKF5、CKF6)的導(dǎo)彈系數(shù)初值均為3 000 kg/m2,過程噪聲協(xié)方差矩陣的q均為0.1 m2·s-4,qα分別為10-8、10-11、10-12。采用上述3個不同過程噪聲協(xié)方差的CKF算法以及由上述3個濾波器作為模型集的IMM算法(IMM2算法)分別對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。并根據(jù)再入目標(biāo)運(yùn)動的特點(diǎn),IMM算法的模型初始概率及概率轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)置為:

同樣采用兩點(diǎn)初始化的方法,Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)50次。圖7～圖9分別給出了各算法的位置、速度以及彈道系數(shù)估計(jì)的均方根誤差曲線。

圖7 位置均方根誤差

圖8 速度均方根誤差

圖9 彈道系數(shù)均方根誤差

過程噪聲表征模型的不確定性程度,過程噪聲越大,不確定程度越高,調(diào)節(jié)作用越大,過程噪聲越小,模型不確定程度越低,調(diào)節(jié)作用也越小。仿真結(jié)果表明,若qα設(shè)置在合理范圍內(nèi),qα設(shè)置越大,對彈道系數(shù)估計(jì)的收斂速度也就越快。CKF4由于qα設(shè)置過大,導(dǎo)致對彈道系數(shù)估計(jì)的不確定性較大,幾乎不能估計(jì)出導(dǎo)彈系數(shù)的大小,因而在未在圖9中畫出彈道系數(shù)的均方根誤差曲線,且其位置和速度濾波的精度也不太高,波動較大。而CKF6算法和CKF5算法由于qα設(shè)置較小,雖然最后對彈道系數(shù)的估計(jì)比較精確,但是由于調(diào)節(jié)作用小,導(dǎo)致濾波器的收斂速度慢,因而當(dāng)空氣阻力增大時,位置估計(jì)和速度估計(jì)都出現(xiàn)較大的偏差。目標(biāo)再入時,剛開始空氣阻力較小,但會慢慢增大,不確定程度高,因而qα應(yīng)該設(shè)置一個較大的值;當(dāng)對彈道系數(shù)的估計(jì)越來越準(zhǔn)確時,qα應(yīng)該設(shè)置一個較小的值,以提高對彈道系數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。文中就是根據(jù)上述思想設(shè)計(jì)IMM2算法,可以看到,相對其他算法,IMM算法的跟蹤精度有了很大的提高,對彈道系數(shù)估計(jì)的收斂速度明顯增快。改變?yōu)V波器彈道系數(shù)的初值,仿真發(fā)現(xiàn),采用這種由不同過程噪聲協(xié)方差濾波器組成的IMM算法同樣有著很強(qiáng)的調(diào)節(jié)能力,對濾波器彈道系數(shù)初值設(shè)定的敏感程度低。

文中也對濾波器過程噪聲協(xié)方差設(shè)置不同的q值對跟蹤精度的影響進(jìn)行了分析,仿真發(fā)現(xiàn),對非機(jī)動再入,只要對q設(shè)置一個較小的值,就能保準(zhǔn)跟蹤的精度和收斂速度,濾波器對該參數(shù)不太敏感。但考慮到實(shí)際跟蹤中可能會受到一些隨機(jī)擾動的影響,IMM算法應(yīng)該考慮采用不同彈道系數(shù)初值、不同過程噪聲協(xié)方差矩陣(同時考慮q和qα)的濾波器的組合作為IMM算法的模型集,在保準(zhǔn)跟蹤精度的同時進(jìn)一步提高算法的魯棒性。

5 結(jié)論

針對彈道系數(shù)未知的彈道目標(biāo)的跟蹤問題,在仿真分析的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了由不同彈道系數(shù)初值模型構(gòu)成的IMM算法以及由不同阻力參數(shù)噪聲方差模型組成的IMM算法,仿真結(jié)果表明,兩種IMM算法都能有效減輕算法對彈道系數(shù)初值設(shè)定的敏感性,跟蹤精度以及對彈道系數(shù)估計(jì)的收斂速度都得到了顯著的提高。

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Research on Ballistic Reentry Target Tracking Based on IMM-CKF

XU Dengrong,CHENG Shuiying,BAO Shouliang

(Electronic and Engineering Institute, Hefei 230037, China)

The tracking of ballistic reentry target with unknown ballistic coefficient was studied in this paper. In view of the problems that the existing reentry target tracking method was both sensitive to the ballistic coefficient initialization and the noise covariance setting, the cubature kalman filter (CKF) algorithm which has high numerical accuracy, good stability and small computation quantity was adopted as filtering, then the IMM algorithms composed of models with different ballistic coefficient and different noise covariance were designed respectively. Computer simulation results showed that the two IMM algorithms designed in this paper could significantly improve the tracking accuracy and the convergence rate of the ballistic coefficient estimation.

ballistic reentry target tracking; interactive multiple model algorithm; cubature Kalman filter; ballistic coefficient

2016-04-20

許登榮(1991-),男,湖南邵陽人,碩士研究生,研究方向:雷達(dá)數(shù)據(jù)處理。

TN95

A