旋轉(zhuǎn)曲面及其方程

黃振華，祝秋文，胡清華

(1.湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002；2.湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002；3.黃石市第十四中學(xué)，湖北 黃石 435002)

旋轉(zhuǎn)曲面及其方程

黃振華1，祝秋文2，胡清華3

(1.湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002；2.湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002；3.黃石市第十四中學(xué)，湖北 黃石 435002)

求旋轉(zhuǎn)曲面的方程，是大一新生在學(xué)習(xí)過(guò)程中較為疑惑的。討論了旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸與母線的不同位置求解方程的基本思想與方法。

旋轉(zhuǎn)曲面；旋轉(zhuǎn)軸；母線；方程

《空間解析幾何》是師范大學(xué)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，一般在新生入學(xué)第一學(xué)期就開(kāi)設(shè)了此課程。為大學(xué)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起到基礎(chǔ)作用，對(duì)學(xué)生今后從事的教育工作也具有指導(dǎo)性作用。因此，搞好解析幾何課程的教學(xué)是適應(yīng)高等教育培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高素質(zhì)人才的需要。然而，在解析幾何課程教學(xué)的過(guò)程中，部分學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面及其方程的學(xué)習(xí)覺(jué)得有一定的難度。本文將對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面方程的求解方法進(jìn)行討論，以降低新生學(xué)習(xí)之難度。

1 旋轉(zhuǎn)曲面的概念

定義[1]在空間，一條曲線Γ繞著定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面叫旋轉(zhuǎn)曲面，曲線Γ叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線l叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸。

母線Γ上任一點(diǎn)M1在旋轉(zhuǎn)時(shí)形成一個(gè)圓，這個(gè)圓是通過(guò)點(diǎn)M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸l的平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線。稱之為緯圓或緯線。

在通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸l的平面上，以l為界的每個(gè)半平面都與旋轉(zhuǎn)曲面交成一條平面曲線，這些平面曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。

經(jīng)線繞著旋轉(zhuǎn)軸l旋轉(zhuǎn)一周與母線繞著旋轉(zhuǎn)軸l旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面相同。所以，經(jīng)線可以當(dāng)做母線，而母線不一定是經(jīng)線。

2 旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法

2.1 不論旋轉(zhuǎn)軸與母線的位置關(guān)系時(shí)的求法

此情況下求旋轉(zhuǎn)曲面的方程，是學(xué)生感覺(jué)到比較困難的。關(guān)鍵是對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面要有充分的理解，關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面，當(dāng)然可按照定義理解為母線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而生成，還可理解為以旋轉(zhuǎn)軸為連心線且垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平行圓疊加生成。求旋轉(zhuǎn)曲面的方程，以后者理解思想居常見(jiàn)，具體求法有：

(1)

(2)

(3)

其中k,r為參數(shù)，要想此組平行圓疊加生成所求的旋轉(zhuǎn)曲面，就必須使此組平行圓與母線Γ相交，由(3)與母線Γ的方程可得到關(guān)于參數(shù)k,r的關(guān)系式G(k,r)=0，此式G(k,r)=0與(3)聯(lián)立便可消去參數(shù)k,r，即可得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程F(x,y,z)=0。

兩種解法都是運(yùn)用平行圓疊加生成旋轉(zhuǎn)曲面的思想，不同點(diǎn)就是：解法1是運(yùn)用圓心在旋轉(zhuǎn)軸上且過(guò)母線上任一點(diǎn)的平行圓，讓此點(diǎn)遍歷整個(gè)母線而疊加生成旋轉(zhuǎn)曲面；解法2則是運(yùn)用圓心在旋轉(zhuǎn)軸上的平行圓，其大小未定，讓此組平行圓與母線相交，也就是確定平行圓的大小后疊加生成旋轉(zhuǎn)曲面。

解法1 設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上一點(diǎn)，則過(guò)M1(x1,y1,z1)的緯圓方程是

由于M1(x1,y1,z1)在母線上，所以有x1=y1且z1=1，消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz+2x+2y+2z-3=0

得(x+y+z)2-2(x+y+z)-2(x2+y2+z2)+3=0,

所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程即為x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz+2x+2y+2z-3=0 .

2.2 當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為某一坐標(biāo)軸時(shí)的求法

x2+y2=x2(z)+y2(z)即為所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

以其它坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸，可同樣解決。

x2+z2=(1-y2)+(1-y2)2, 即x2+z2=(1-y2)+(2-y2)

x2+y2=z+(1-z), 即x2+y2=1(0≤z≤1)

當(dāng)然，也可由2.1的兩種解法解出。

2.3 當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸與母線共面時(shí)的求法

這時(shí)的母線一定是平面曲線，設(shè)旋轉(zhuǎn)軸與母線在某一坐標(biāo)面上，若旋轉(zhuǎn)曲面的母線為

對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸與母線在其它坐標(biāo)面，旋轉(zhuǎn)軸為其它坐標(biāo)軸時(shí)，可類似得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

同理可證明其他形式的結(jié)果。

因此，為了方便，求一條平面曲線繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面的方程時(shí)，總可取此平面為某個(gè)坐標(biāo)平面，此直線為這個(gè)坐標(biāo)面的某一坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出旋轉(zhuǎn)曲面的方程。由于旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線也可作為母線與原母線生成同一旋轉(zhuǎn)曲面，故此求旋轉(zhuǎn)曲面的方程的方法也是常用的。

注意 2.2和2.3求旋轉(zhuǎn)曲面的方程時(shí)，一定要注意前提條件。

[1]呂林根.許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社.2006.

[2]呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)[M].北京:高等教育出版社.2006.

[3]楊 靜.旋轉(zhuǎn)曲面及其方程[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8:24～25.

Rotation surface equation

HUANG Zhen-hua1,ZHU Qiu-wen2,HU Qing-hua3

(1.School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Hubei Huangshi,435002;2.College of physics and Electronic Science,Hubei Normal University,Hubei Huangshi,435002;3.No.14 Middle School of Huangshi city,Hubei Huangshi,435002)

Solving rotation surfaces equation is a puzzled problem for freshman. This article discuss the solving methods for different positions of rotation axis of rotation surface and generatrix.

rotation surface;rotation axis;generatirx;equation

2016—06—16

黃振華(1960— )，湖北黃石人，副教授，主要研究方向?yàn)閹缀?

O182.2

A

2096-3149(2017)02- 0083-04

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.02.018