生活中的函數(shù)問(wèn)題

文/陳和金 周奕生

智慧數(shù)學(xué)

生活中的函數(shù)問(wèn)題

文/陳和金 周奕生

責(zé)任編輯：王二喜

以生活為背景，考查函數(shù)的應(yīng)用是中考命題的重點(diǎn).這類問(wèn)題需要構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)圖象和性質(zhì)解答.常見(jiàn)的問(wèn)題有如下幾種.

一、情景中的函數(shù)圖象問(wèn)題

圖1

例1（2016年南充卷）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發(fā)一直勻速前行，小明后出發(fā)．家到公園的距離為2500m，圖1是小明和爸爸所走的路程s（m）與步行時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象．請(qǐng)解答：

（1）直接寫出小明所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明出發(fā)多少時(shí)間與爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不變的情況下，小明希望比爸爸早20min到達(dá)公園，則小明在步行過(guò)程中停留的時(shí)間需作怎樣的調(diào)整？

解析：（1）小明所走路程s與時(shí)間t的圖象是折線OABC，因此，求其函數(shù)關(guān)系式時(shí)應(yīng)按自變量的取值范圍分段討論.

（2）由圖象可知：小明第三次與他爸爸相遇是在小明出發(fā)30min后，因此，欲知小明與爸爸第三次相遇的時(shí)間，需要求出爸爸所走的路程s、時(shí)間t的函數(shù)圖象與s=50t-500的交點(diǎn)．

設(shè)s=mt+n，把點(diǎn)（0，250）和（25，1000）代入，得

所以小明出發(fā)37.5min時(shí)，與爸爸第三次相遇.

（3）小明的爸爸到達(dá)公園需要的時(shí)間：30t+250=2500，解得t=75，

所以小明的爸爸到達(dá)公園需要75min．

由圖1可知，按原方案小明到達(dá)公園需要的時(shí)間是60min，75-60=15，他希望比爸爸早20min到達(dá)公園，則小明在步行過(guò)程中停留的時(shí)間需減少5min．

評(píng)注：解決情景圖象問(wèn)題的步驟：閱讀問(wèn)題情景→觀察函數(shù)圖象→確定兩點(diǎn)坐標(biāo)→運(yùn)用待定系數(shù)法求值.由于圖象是折線，要注意自變量的取值范圍，分段解決．

二、售價(jià)與銷售量的反比例函數(shù)問(wèn)題

例2（2016年德州卷）某中學(xué)組織學(xué)生到商場(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，他們參與了某種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作.已知該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為120元，為尋求合適的銷售價(jià)格進(jìn)行了4天的試銷，試銷情況如表所示：

第1天第2天第3天第4天售價(jià)x（元/雙）150 200 250 300銷售量y（雙）40 30 24 20

（1）觀察表中數(shù)據(jù)，x，y滿足什么函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場(chǎng)計(jì)劃每天的銷售利潤(rùn)為3000元，則每雙鞋的售價(jià)應(yīng)定為多少元？

解析：（1）運(yùn)動(dòng)鞋每天的售價(jià)和銷售量的乘積，都等于6000，因此，xy=6000.

（2）每雙鞋的利潤(rùn)為（x-120）元．由題意得（x-120）y=3000，

解得x=240．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=240是原方程的根．

答：若商場(chǎng)計(jì)劃每天的銷售利潤(rùn)為3000元，則每雙鞋的售價(jià)應(yīng)定為240元．

評(píng)注：售價(jià)越高，銷售量越小，需要找到銷售量與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系．

三、調(diào)運(yùn)方案中的一次函數(shù)問(wèn)題

例3（2016年荊門卷）A城有某種農(nóng)機(jī)30臺(tái)，B城有該種農(nóng)機(jī)40臺(tái)，現(xiàn)要將這些農(nóng)機(jī)全部運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司．已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺(tái)，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺(tái)，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元/臺(tái)和200元/臺(tái)，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150元/臺(tái)和240元/臺(tái)．

（1）設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)x臺(tái)，運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）現(xiàn)該運(yùn)輸公司要求運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用不低于16 460元，則有多少種不同的調(diào)運(yùn)方案？將這些方案設(shè)計(jì)出來(lái)；

（3）現(xiàn)該運(yùn)輸公司決定對(duì)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī)，從運(yùn)輸費(fèi)中每臺(tái)減免a元（a≤200）作為優(yōu)惠，其他費(fèi)用不變.如何調(diào)運(yùn)，使總費(fèi)用最少？

解析：（1）由A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī)x臺(tái)，A城余下的（30-x）臺(tái)運(yùn)往D鄉(xiāng)，C鄉(xiāng)還需（34-x）臺(tái)，即B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī)為（34-x）臺(tái)，B城剩下的40-（34-x）臺(tái)運(yùn)往D鄉(xiāng)，即B城運(yùn)往D鄉(xiāng)（6+x）臺(tái)．

由題意，可得

W=250x+200（30-x）+150（34-x）+240（6+x）=140x+12 540，

農(nóng)機(jī)數(shù)量是非負(fù)數(shù)，所以x的取值范圍為0≤x≤30.

（2）調(diào)運(yùn)方案決定于自變量x的值，故只需要確定x的取值范圍．

根據(jù)題意，得140x+12 540≥16 460，解得x≥28，

又由（1），得0≤x≤30，所以28≤x≤30，

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=28，29，30，共有3種不同的調(diào)運(yùn)方案，分別是：

從A城調(diào)往C鄉(xiāng)28臺(tái)，D鄉(xiāng)2臺(tái)，從B城調(diào)往C鄉(xiāng)6臺(tái)，D鄉(xiāng)34臺(tái)；

從A城調(diào)往C鄉(xiāng)29臺(tái)，D鄉(xiāng)1臺(tái)，從B城調(diào)往C鄉(xiāng)5臺(tái)，D鄉(xiāng)35臺(tái)；

從A城調(diào)往C鄉(xiāng)30臺(tái)，D鄉(xiāng)0臺(tái)，從B城調(diào)往C鄉(xiāng)4臺(tái)，D鄉(xiāng)36臺(tái).

（3）根據(jù)題意，得W=（250-a）x+200（30-x）+150（34-x）+240（6+x），

整理，得W=（140-a）x+12 540，

①當(dāng)0＜a＜140時(shí)，即140-a＞0，

當(dāng)x=0時(shí)，W最小值=12 540元，

3.5.2 推進(jìn)區(qū)域能源市場(chǎng)建設(shè)。加快區(qū)域電力市場(chǎng)建設(shè)，通過(guò)發(fā)展輔助服務(wù)等方式擴(kuò)大跨省交易電量，增強(qiáng)區(qū)域電力余缺調(diào)劑能力，提高區(qū)域電網(wǎng)安全性能。充分發(fā)揮油氣交易平臺(tái)的輻射作用，支持企業(yè)用好國(guó)際、國(guó)內(nèi)兩個(gè)資源，加強(qiáng)地方在能源采購(gòu)上的話語(yǔ)權(quán)。

此時(shí)從A城調(diào)往C鄉(xiāng)0臺(tái)，調(diào)往D鄉(xiāng)30臺(tái)，從B城調(diào)往C鄉(xiāng)34臺(tái)，調(diào)往D鄉(xiāng)6臺(tái)；

②當(dāng)a=140時(shí)，W=12 540元，各種方案的費(fèi)用一樣多；

③當(dāng)140＜a≤200時(shí)，140-a＜0，

當(dāng)x=30時(shí)，W最小=16 740-30a，

此時(shí)從A鄉(xiāng)調(diào)往C鄉(xiāng)30臺(tái)，D鄉(xiāng)0臺(tái)，從B鄉(xiāng)調(diào)往C鄉(xiāng)4臺(tái)，D鄉(xiāng)36臺(tái)．

評(píng)注：方案設(shè)計(jì)常常涉及利潤(rùn)最大（成本最?。﹩?wèn)題，需要構(gòu)造利潤(rùn)（成本）與變量之間的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定最大值（最小值）．

四、營(yíng)銷利潤(rùn)中的二次函數(shù)問(wèn)題

例4（2016年濰坊卷）旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數(shù)．每天的營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下：當(dāng)x不超過(guò)100元時(shí)，觀光車能全部租出；當(dāng)x超過(guò)100元時(shí)，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會(huì)減少1輛．已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元．

（2）當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí)，每天的凈收入最多？

解析：（1）每天的凈收入=出租車的總收入-管理費(fèi)，總收入=每輛車的日租金×租出車的數(shù)量．50輛觀光車全部租出的總收入為50x，凈收入為50x-1100（元）．

由每天的凈收入為正，得50x-1100＞0，解得x＞22，

又x是5的倍數(shù)，所以每輛車的日租金至少為25元.

（2）設(shè)每天的凈收入為y元，由題意可知y與x之間是分段函數(shù)，需要分段求出函數(shù)的最大值，再比較得出答案．

當(dāng)0＜x≤100時(shí)，50輛觀光車能全部租出，所以y1＝50x-1100，

y1隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=100時(shí)，y1取最大值，最大值為50×100-1100=3900；

當(dāng)x=175時(shí)，y2取最大值，最大值為5025．

因?yàn)?025＞3900，故當(dāng)每輛車的日租金為175元時(shí)，每天的凈收入最多，為5025元．

評(píng)注：營(yíng)銷中的利潤(rùn)決定于銷售的單價(jià)和銷量，單價(jià)提高，銷售量就會(huì)減少，利潤(rùn)與銷售單價(jià)一般是二次函數(shù)關(guān)系.建立利潤(rùn)與銷售單價(jià)的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．