建立數(shù)學(xué)模型，解決初中數(shù)學(xué)實(shí)際問題

廣東省韶關(guān)市新豐縣梅坑中學(xué) 許小史

經(jīng)過多年的課堂教學(xué)實(shí)踐，讓我深深體會(huì)到數(shù)學(xué)教育的根本仼務(wù)，在于教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該教育自己的學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決，即建立數(shù)學(xué)模型。也許很多教師都會(huì)問：“為什么自己的學(xué)生這么笨，解決實(shí)際問題的能力這么差”，其實(shí)這些問題跟我們平時(shí)的教學(xué)有很大的關(guān)系，正因?yàn)槲覀儧]有對(duì)學(xué)生進(jìn)行建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)訓(xùn)練，沒有培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，因此，學(xué)生解決問題的能力得不到提高，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。所以，本人認(rèn)為，我們數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的建模能力。把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是絕大多數(shù)初中學(xué)生的難題，只有在教學(xué)中有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，才能幫助學(xué)生克服這一難題，釋放出學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題的強(qiáng)大動(dòng)力。那如何構(gòu)造數(shù)學(xué)模型呢？

一、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知

在課堂教學(xué)中，要想培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際應(yīng)用問題的意識(shí)，成功建立起數(shù)學(xué)模型，就必須讓學(xué)生首先認(rèn)知數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型，也就是把一個(gè)實(shí)際問題中某些事物的主要特征，主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言，近似地反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程。一切數(shù)學(xué)概念、各種數(shù)學(xué)公式、方程式、各種函數(shù)關(guān)系式等都叫做數(shù)學(xué)模型。

建立數(shù)學(xué)模型的方法是把實(shí)際問題構(gòu)造成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，從而解決問題的一種數(shù)學(xué)方法，通常分以下三個(gè)步驟。

第一，把實(shí)際問題的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。

例1.連接著漢口集家咀和漢陽南岸咀的江漢三橋（晴川橋），它尤如一道美麗的彩虹跨越漢江，是江城武漢的一道靚麗景觀，橋的拱肋ABC視為拋物線的一部分，［橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的距離均為5米（不考慮系桿的粗細(xì)），］拱肋的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長度為42米。

（1）求橋的拱肋所對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式；

（2）正中間系桿OC的長？

分析：運(yùn)用建模思想，將實(shí)際問題中的信息語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，抽象歸納其中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出數(shù)學(xué)圖形，從而運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以解決。

數(shù)學(xué)建模：

第二，對(duì)所得到的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出所需的解答。

模型求解：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c.

∵點(diǎn)B(140，0)，F(xiàn)(70，42)在該拋物線上.

第三，聯(lián)系實(shí)際問題，對(duì)所得的答案進(jìn)行深入的討論，給出實(shí)際問題的答案。

二、數(shù)學(xué)模型的常見類型

在課堂教學(xué)中，我把初中階段常見的數(shù)學(xué)模型分為四類：①三角函數(shù)、函數(shù)模型；②方程、不等式模型；③幾何模型；④統(tǒng)計(jì)模型。下面以課堂教學(xué)中的案例進(jìn)行分類說明。

三、明確學(xué)生數(shù)學(xué)建模障礙，尋找解決方法

第一，初中數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題中，常常有許多其他知識(shí)領(lǐng)域的名詞術(shù)語，由于學(xué)生與外界接觸較少，對(duì)這些名詞術(shù)語感到陌生，不知其意，從而就無法讀懂題，無法正確理解題意，更談不上解決問題。比如對(duì)實(shí)際生活中的方向角、坡角、采光度、利率、利息、利潤、打折等概念不理解，影響了學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。針對(duì)學(xué)生此方面的障礙，我通過讓學(xué)生運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)及教師講解的兩種方式，將這些名詞的意思完全弄明白后，教師再分析講解，從而順利建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。

第二，數(shù)學(xué)建模方法是利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種腦力勞動(dòng)，許多學(xué)生，特別是農(nóng)村中學(xué)生不具備良好的心里品質(zhì)，所以缺乏對(duì)解決實(shí)際問題的信心。針對(duì)此建模障礙，數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，注重學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練，如數(shù)學(xué)語言、閱讀理解等。具體講，應(yīng)做好以下幾個(gè)方面的教學(xué)。

1.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)，品嘗成功的喜悅，著力培養(yǎng)學(xué)生的自信心

在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)實(shí)際問題的教學(xué)，使學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，并在此過程中獲得足夠的自信。例如，教學(xué)儲(chǔ)蓄存款利息計(jì)算方法時(shí)，可以組織學(xué)生到銀行去實(shí)地調(diào)查，并向?qū)W生提出問題：如何選擇儲(chǔ)蓄存款的期限定利率，假設(shè)向銀行存款5000元，試計(jì)算3年后可得的利息金額，存款方式分別為：①1年定期，每年到期后本息轉(zhuǎn)存；②先存2年定期，到期后本息轉(zhuǎn)存；③3年定期，整存整取。以上幾種存款方式，哪種所得的利息最多？請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)討論所得結(jié)論。這次調(diào)查使學(xué)生突破了對(duì)存款利率、利息計(jì)算的心理恐懼，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算出了存款得息最多的方式，且多數(shù)學(xué)生能用數(shù)學(xué)原理去解釋和說明。從上面的例子可以看出，在教學(xué)中要注意聯(lián)系身邊的事物，為學(xué)生創(chuàng)造體驗(yàn)數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，就能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的信心。

2.培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力

通過閱讀有助于學(xué)生探究能力和自學(xué)能力的培養(yǎng)，受自身閱讀分析能力、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度以及數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力的影響，許多學(xué)生無法把實(shí)際問題與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來。例如，馬航MH370失聯(lián)后，我國政府積極參與搜救，某日，我國兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處：①求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；②若救助船A、若救助船B分別以40海里/時(shí)，30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)P處。根據(jù)課堂調(diào)查，學(xué)生閱讀了以上題目后，問其想到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)，建立怎樣的數(shù)學(xué)模型來解決問題，許多學(xué)生答不出來。我認(rèn)為原因在于學(xué)生存在把主要語言換成數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換障礙，從而無法將實(shí)際問題建立起數(shù)學(xué)模型，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)閱讀，作為數(shù)學(xué)教師，不僅要重視培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，還要交給學(xué)生科學(xué)有效的閱讀方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)閱讀的重要性。

總之，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，就是培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)具有重要的作用。我們平時(shí)在教學(xué)中要加以重視，并給予學(xué)生正確的引導(dǎo)。