初中數(shù)學(xué)最值問題舉例解析

翟永強(qiáng)

初中數(shù)學(xué)有關(guān)最值問題，中考題中最為常見，這類問題的題型廣泛，因而，解決問題的方法也要因題而異.下面結(jié)合近年來全國各地的中考試題，列舉一些題型和解題方法，以供師生參考.

一、利用對(duì)稱性求最值

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可以求出兩條線段之和的最小值.若兩條線段在某條直線的同側(cè)時(shí)，可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將在某條直線同側(cè)的兩條線段轉(zhuǎn)化成在該直線異側(cè)的兩條線段，進(jìn)而求出最值.

例1 如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為.

解析 連接DE，交AC于點(diǎn)P，連接BD.

∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴DE的長即為PE+PB的最小值.

∵AB=4，E是BC的中點(diǎn)，∴CE=2.

在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2=42+22=25.

二、利用一次函數(shù)求最值

對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，k值的正負(fù)影響函數(shù)的增減性，k<0時(shí)，圖像從左向右下降，函數(shù)的值y隨x的增大而減小，k>0，圖像從左向右上升，y隨x的增大而增大.在求最值問題時(shí)，要注意x的取值范圍.

例2 某學(xué)校為了改善辦學(xué)條件，計(jì)劃購置一批電子白板和一批筆記本電腦，經(jīng)投標(biāo)，購買1塊電子白板比買3臺(tái)筆記本電腦多3 000元，購買4塊電子白板和5臺(tái)筆記本電腦共需80 000元.

（1）求購買1塊電子白板和1臺(tái)筆記本電腦各需多少元？

（2）根據(jù)該校實(shí)際情況，需購買電子白板和筆記本電腦的總數(shù)為396，要求購買的總費(fèi)用不超過2 700 000元，并且購買筆記本電腦的臺(tái)數(shù)不超過購買電子白板數(shù)量的3倍，該校有哪幾種購買方案？

（3）上面的哪種購買方案最省錢？按最省錢方案購買需要多少錢？

解析 （1）設(shè)購買1塊電子白板需要x元，1臺(tái)筆記本電腦需要y元，由題意得等量關(guān)系：①買1塊電子白板的費(fèi)用=買3臺(tái)筆記本電腦的費(fèi)用+3 000元，②購買4塊電子白板的費(fèi)用+5臺(tái)筆記本電腦的費(fèi)用=80 000元.由等量關(guān)系可得方程組，解方程組可得答案.

（2）設(shè)購買電子白板a塊，則購買筆記本電腦（396-a）臺(tái)，由題意得不等關(guān)系：①購買筆記本電腦的臺(tái)數(shù)≤購買電子白板數(shù)量的3倍；②電子白板和筆記本電腦總費(fèi)用≤2 700 000元，根據(jù)不等關(guān)系可得不等式組，解不等式組，求出整數(shù)解即可.

（3）由于電子白板貴，故少買電子白板，多買電腦，根據(jù)（2）中的方案確定買的電腦數(shù)與電子白板數(shù)，再算出總費(fèi)用.

三、利用二次函數(shù)求最值

1.建立二次函數(shù)關(guān)系式后，利用配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出函數(shù)的最大值.

例3 如圖，在一個(gè)矩形空地ABCD上修建一個(gè)矩形花壇AMPQ，要求點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)Q在AD上，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上.若AB=6 m，AD=4 m，設(shè)AM的長為x m，矩形AMPQ的面積為S平方米.

（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？請(qǐng)求出最大值.

解析 （1）由△PQD∽△BAD得DQDA=PQBA，把AQ用x表示，即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）把函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的最值原理即可求出答案.

例4 （1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的兩根為x1，x2.求證：x1+x2=-p，x1·x2=q.

（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（-1，-1），設(shè)線段AB的長為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值，并求出最小值.

解析 （1）∵a=1，b=p，c=q，p2-4q≥0，

∴x1+x2=-ba=-p，x1·x2=ca=q.

（2）把（-1，-1）代入y=x2+px+q，得p-q=2，即q=p-2.

設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A，B的坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0）.

∵d=|x1-x2|，

∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4.

∴當(dāng)p=2時(shí)，d2的最小值是4.

2.利用二次函數(shù)的增減性和自變量的實(shí)際意義求最值：實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值受自變量取值范圍的限制，當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在這個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，可直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)來求；當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在這個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的增減性，求自變量取值范圍兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為該函數(shù)的最值；求最值時(shí)，還要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，如，商品數(shù)量只能為整數(shù)、人數(shù)為整數(shù)等，通過計(jì)算比較才能確定最值.

例5 某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件.試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大；

（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元，請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由.

解答 （1）由題意得，銷售量=250-10（x-25）=-10x+500，則w=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10 000；

（2）w=-10x2+700x-10 000=-10（x-35）2+2 250.

∵-10<0，∴函數(shù)圖像開口向下，w有最大值，

∴當(dāng)x=35時(shí)，wmax=2 250，故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤最大.

（3）方案A利潤高.理由如下：

方案A中，20

因?yàn)閍=-10<0，對(duì)稱軸為x=35，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，故當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，此時(shí)wA=2 000；

方案B中，x-20≥25，又-10x+500≥10，

故x的取值范圍為：45≤x≤49，

∵函數(shù)w=-10（x-35）2+2 250，對(duì)稱軸為x=35，

∴當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值，此時(shí)wB=1 250，

∵wA>wB，∴方案A利潤更高.

關(guān)于最值問題，不勝枚舉，本文僅以幾道習(xí)題進(jìn)行分析、解答和歸類，希望有助于備考的師生！