合理構(gòu)造函數(shù)解決高考導(dǎo)數(shù)壓軸題

盧賢慧

函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和求解問(wèn)題，它是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律，所以只要有變量的問(wèn)題就可以利用函數(shù)思想.在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀(guān)點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段.即通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來(lái)解決.所以，構(gòu)造輔助函數(shù)在代數(shù)、幾何等問(wèn)題中是非常常見(jiàn)的.

本文以2016年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第21題壓軸題為例，讓我們一起體會(huì)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，化含參問(wèn)題為已知問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而解決函數(shù)難題.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

二、賞 析

本題考查到了函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)及方程根的問(wèn)題.在解決含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要對(duì)參數(shù)分情況討論.研究發(fā)現(xiàn)教育部考試中心所提供的參考答案不易想到，本題第二問(wèn)參考答案采用分類(lèi)討論的方法解決.作為文科學(xué)生，對(duì)分類(lèi)討論的技巧較難掌握，學(xué)生往往會(huì)感到困難，討論時(shí)常常因遺漏情況而導(dǎo)致解答不全面，難以做到不重不漏，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)在有限的時(shí)間內(nèi)解決這類(lèi)問(wèn)題是有困難的.但分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)能輕松地解決此類(lèi)問(wèn)題.筆者根據(jù)這類(lèi)問(wèn)題的共性和特點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的范圍，嘗試使用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分離變量，構(gòu)造不同的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方式解答，均得到了比較簡(jiǎn)捷的解法.

三、解法探究

解法1 變量分離直接構(gòu)造參數(shù)函數(shù)解題

可利用題設(shè)條件把參數(shù)分離出來(lái)直接構(gòu)造單個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)圖像解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到a=-（x-2）ex（x-1）2（x≠1），

令h（x）=-（x-2）ex（x-1）2，則h′（x）=-（x2-4x+5）ex（x-1）3，

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）<0，所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減.

且易知當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h（x）>0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）∈R.

要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，只需a>0.

此法根據(jù)已知條件進(jìn)行參數(shù)分離，把參數(shù)直接分離.但是很多題目是可以分離參數(shù)的，只是分離后新的函數(shù)并不太好處理，有的需要用到零點(diǎn)定理，有的需要多次求導(dǎo)，有的還需要用羅比達(dá)法則，等等.

本題也可根據(jù)條件把零點(diǎn)問(wèn)題變成由方程分離出來(lái)構(gòu)造兩個(gè)基本函數(shù)，作出函數(shù)圖像解決問(wèn)題.

解法2 構(gòu)造一次函數(shù)解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到-a（x-1）=（x-2）exx-1（x≠1）.

令h（x）=（x-2）exx-1，g（x）=-a（x-1），

則h′（x）=（x2-3x+3）ex（x-1）2，顯然h′（x）>0.

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增.

且易知當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h（x）>0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）∈R.

要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則需要函數(shù)h（x）=（x-2）exx-1與函數(shù)g（x）=-a（x-1）的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)g（x）=-a（x-1）過(guò)定點(diǎn)（1，0），所以只需-a<0，∴a>0.

解法3 構(gòu)造二次函數(shù)解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到（x-2）ex=-a（x-1）2.

令g（x）=（x-2）ex，h（x）=-a（x-1）2.

則g′（x）=（x-1）ex，

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）<0，所以g（x）在（-∞，1）單調(diào)減遞；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，所以g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增.

易知g（x）=（x-2）ex在R上連續(xù)，且當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）∈R.

要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則需要函數(shù)g（x）=（x-2）ex與函數(shù)h（x）=-a（x-1）2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)h（x）=-a（x-1）2必須是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以-a<0，a>0.

解法4 構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，得到ex-a=（x-1）2x-2=（x-2+1）2x-2=（x-2）+1x-2+2（x≠2）.

令g（x）=ex-a，h（x）=（x-2）+1x-2+2，

作出兩個(gè)函數(shù)g（x），h（x）的圖像，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)勾函數(shù)的變化趨勢(shì)，易知要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，只需a>0.

四、解題反思

函數(shù)的高考?jí)狠S題越來(lái)越難，而且含有參數(shù)，很多人發(fā)現(xiàn)，高考題給出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)答案都看不懂，連答案都看不懂的題目，怎么會(huì)做呢？不過(guò)高考給出的標(biāo)準(zhǔn)答案基本沒(méi)有采用分離參數(shù)的方法，參數(shù)討論的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)自然不好把握，但是很多題目是可以分離參數(shù)的.構(gòu)造新函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法，但是有時(shí)簡(jiǎn)單地構(gòu)造函數(shù)對(duì)問(wèn)題求解帶來(lái)很大麻煩甚至是解決不了問(wèn)題的，那么怎樣合理地構(gòu)造函數(shù)就是問(wèn)題的關(guān)鍵.要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)，尤其是抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問(wèn)題，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)的圖像力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問(wèn)題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問(wèn)題解決的突破口，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明確化.