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    從2016年全國(guó)高考第20題談起

    2017-06-20 18:31:16鄭志剛
    關(guān)鍵詞:換元

    鄭志剛

    【摘要】本文主要通過(guò)分離常數(shù)、反求、判別式法、均值不等式、換元、求導(dǎo)等方法來(lái)解決解析幾何中的分式型最值,將這類(lèi)最值題型進(jìn)行了仔細(xì)的分析和整理.

    【關(guān)鍵詞】分離常數(shù);反求;判別式法;均值不等式;換元;求導(dǎo)

    解析幾何中的最值問(wèn)題是考試的熱點(diǎn),涉及的知識(shí)點(diǎn)也很多,有一種題型也經(jīng)???,那就是分式型最值,比如,2016年全國(guó)卷第20題,不僅如此,2011年和2014年的全國(guó)卷第20題都是這種題型.常用方法有分離常數(shù)、反求、判別式法、均值不等式、換元、求導(dǎo)等.我們通過(guò)以下例子來(lái)分析具體應(yīng)該用什么方法,是否有通性通法.

    題型一 ax2+bcx2+d型,這種題型分子、分母齊二次,且不含一次項(xiàng).若定義域不是R,可以考慮分離常數(shù)或反求,分離常數(shù)后轉(zhuǎn)化成反比例函數(shù)類(lèi)型,利用數(shù)形結(jié)合求最值,反求則是用y來(lái)表示x2,利用x2的范圍反求出y的范圍.一般可以分離常數(shù)就可以反求,如果學(xué)生分離常數(shù)計(jì)算不過(guò)關(guān),且反比例函數(shù)掌握得不好,可以用反求法,更容易計(jì)算成功.若定義域?yàn)镽,則考慮判別式法.

    例1 (2016年全國(guó)卷第20題)x2+y2+2x-15=0的圓心為A,l過(guò)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于E.

    (1)求證|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程.

    (2)設(shè)E的軌跡方程為C1,l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ的面積范圍.

    分析 考慮到直線(xiàn)l的斜率可能不存在,同時(shí)直線(xiàn)l又剛好不與x軸重合(即斜率不為0),所以把直線(xiàn)l設(shè)成x=ty+1,留y運(yùn)算,同時(shí)弦長(zhǎng)公式用1+k2Δ|a|表示,其中|a|是二次項(xiàng)的系數(shù).這樣會(huì)比直線(xiàn)l用點(diǎn)斜式簡(jiǎn)單,一步到位,整理后的式子更簡(jiǎn)單,運(yùn)算量少,成功率高一些.

    解 ∵EB∥AC,∴|EB||AC|=|ED||AD|,

    ∵|AC|=|AD|,∴|EB|=|ED|,

    ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=4>|AB|=2,

    ∴E的軌跡為x24+y23=1(y≠0).

    (2)設(shè)直線(xiàn)l為x=ty+1,聯(lián)立橢圓x24+y23=1,得

    (3t2+4)y2+6ty-9=0,∴Δ>0,y1+y2=-6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,

    |MN|=1+t2|y1-y2|=1+t236t2+36(3t2+4)3t2+4=12(1+t2)3t2+4.

    設(shè)直線(xiàn)PQ為y=-t(x-1),所以圓心A到直線(xiàn)PQ的距離為d=|2t|1+t2,

    ∴|PQ|=216-d2=43t2+4t2+1,

    所以四邊形MPNQ的面積為

    12|MN|·|PQ|=24t2+13t2+4.

    解法一 分離常數(shù).

    t2+13t2+4=13(3t2+4)-133t2+4=13-133t2+4,

    ∵3t2+4≥4,∴-112≤-133t2+4<0,

    ∴14≤13-133t2+4<13,

    所以四邊形MPNQ的面積范圍為[12,83).

    解法二 反求.y=t2+13t2+4,∴3yt2+4y=t2+1,

    ∴t2=1-4y3y-1≥0,∴14≤y<13,

    所以四邊形MPNQ的面積范圍為[12,83).

    解法三 考慮到t∈R,用判別式法.y=t2+13t2+4,

    ∴3yt2+4y=t2+1,∴(3y-1)t2+4y-1=0.

    若3y-1≠0時(shí),Δ1=-4(4y-1)(3y-1)≥0,

    ∴14≤y<13;

    若3y-1=0時(shí),式子無(wú)意義.

    所以四邊形MPNQ的面積范圍為[12,83).

    解法四 換元.若把分母換元,則和分離常數(shù)運(yùn)算一致,若換分子,主要思維與分離常數(shù)也大同小異.具體如下:

    t2+1=m,m≥1,∴y=t2+13t2+4=m3m+1=13+1m.

    ∵m≥1,∴0<1m≤1,

    ∴14≤13+1m<13,

    所以四邊形MPNQ的面積范圍為[12,83).

    這道題解法眾多,但我覺(jué)得優(yōu)選反求,容易計(jì)算,容易得分.

    題型二 ax+bcx2+d或ax2+bcx+d型,這種分子與分母一個(gè)是一次方,一個(gè)是二次方,可以考慮用均值不等式解決,但一定要把一次方當(dāng)作整體換元后,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)勾函數(shù)再結(jié)合均值不等式解決.當(dāng)然如果定義域?yàn)镽,那么也可以考慮用判別式法.

    例2 (2011年全國(guó)卷第20題)

    在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線(xiàn)y=-3上,M點(diǎn)滿(mǎn)足MB與OA共線(xiàn),MA·AB=MB·BA,M點(diǎn)的軌跡方程為曲線(xiàn)C.

    (1)求曲線(xiàn)C方程.

    (2)P為C上的動(dòng)點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處的切線(xiàn),求O到l的距離的最小值.

    解 (1)設(shè)M(x,y),B(x,-3),A(0,-1),

    ∴MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).

    因?yàn)镸A·AB=MB·BA,∴(-x,-4-2y)(x,-2)=0,

    所以曲線(xiàn)C的方程為y=14x2-2.

    (2)設(shè)P(x0,y0)為曲線(xiàn)C:y=14x2-2上一點(diǎn),

    ∵y′=12x,∴切線(xiàn)的方程為y-y0=12x0(x-x0),

    ∴x0x-2y+2y0-x20=0,則d=|2y0-x20|x20+4.

    ∵y0=14x20-2,

    ∴d=12x20+4x20+4=12x20+4+4x20+4≥2,

    所以O(shè)到l距離的最小值為2,這里換元x20+4=t,∴d=12·t2+4t,對(duì)勾函數(shù)y=t+4t求最值,利用均值不等式順利解決.

    例3 (2014年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ第20題)

    已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線(xiàn)AF的斜率為233,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

    (1)求E的方程.

    (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)三角形OPQ的面積最大時(shí),求l方程.

    解 (1)設(shè)F(c,0),由條件知2c=233,∴c=3,

    ∵ca=32,∴a=2,∴b=1,

    ∴E的方程為x24+y2=1.

    (2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)不合題意,所以設(shè)直線(xiàn)l為y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線(xiàn)l:y=kx-2代入橢圓x24+y2=1,得

    (1+4k2)x2-16kx+12=0,∴Δ>0,

    ∴k2>34,x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2,

    ∴|PQ|=1+k2|x1-x2|=41+k24k2-31+4k2.

    又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離為d=21+k2,

    ∴S=12·d·|PQ|=44k2-31+4k2.

    設(shè)4k2-3=t,t>0,

    ∴S=12·d·|PQ|=4tt2+4=4t+4t.

    ∵t+4t≥4,t=2,即k=±72時(shí)等號(hào)成立,

    ∴當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),l方程為y=72x-2或y=-72x-2.

    以上兩題非常相似,主要都是把根號(hào)當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行換元,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)勾函數(shù),利用均值不等式解決.

    題型三 ax2+bx+cdx2+ex+f型,分子、分母都是二次方,并且式子比較復(fù)雜,這種題型考慮換元、均值不等式、分離常數(shù)、求導(dǎo)等.這種題型難度較高,因題而異,具體題目具體分析,實(shí)在不行那就求導(dǎo).若定義域?yàn)镽,則考慮判別式法.

    例4 已知圓O:x2+y2=1的切線(xiàn)與橢圓C:x2+3y2=4相交于A,B兩點(diǎn).

    (1)求橢圓的離心率.

    (2)求證OA⊥OB.

    (3)求三角形OAB的面積最大值.

    解 (1)∵a2=4,b2=43,∴c2=83,∴ca=63.

    (2)顯然切線(xiàn)斜率不存在時(shí),OA與OB垂直.切線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)切線(xiàn)為y=kx+m,

    ∴|m|1+k2=1,∴m2=1+k2,A(x1,y1),B(x2,y2)將切線(xiàn)代入橢圓x2+3y2=4,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-4=0,Δ>0,x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3m2-41+3k2,

    ∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=4m2-4k2-41+3k2=0,

    ∴OA⊥OB.

    (3)因?yàn)橹本€(xiàn)AB與圓O相切,則圓O半徑為三角形OAB的高,當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)面積為2.當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)

    |AB|=1+k2|x1-x2|=21+k29k2+13k2+1

    =29k4+10k2+19k4+6k2+1=21+4k29k4+6k2+1

    =21+49k2+1k2+6.

    ∵9k2+1k2≥6,∴|AB|≤423,S≤223.

    換元3k2+1=m,

    ∴|AB|=23m2+4m-43m2=21+43m-43m2.

    ∵0<1m≤1,當(dāng)1m=12時(shí)面積取最大值.

    綜上所述,題型一考慮分離常數(shù)或反求,題型二考慮均值不等式,題型三考慮換元、均值不等式、分離常數(shù)或求導(dǎo),分子分母中較高次方為二次方,定義域又是R,考慮判別式法.多比較多歸納整理,將有助于提高解析幾何的得分率,加深對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用,經(jīng)過(guò)這樣的總結(jié)和梳理后,對(duì)解析幾何分式型函數(shù)求最值有一定的提升與突破.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]陳海平.圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題研究[D].楚雄:楚雄師范學(xué)院,2006.

    [2]尹彬.例說(shuō)圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題中的求解思路[J].數(shù)學(xué)大世界(高中輔導(dǎo)),2004(11):15-16.

    [3]曹思才.圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2004(02):9-13.

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