“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計

邊紅霞

一、教學(xué)分析

單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，對它的研究需要濃墨重彩，因?yàn)椴粌H它是函數(shù)最精彩的內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要素材.為此我采用的方法是由直觀到抽象、由特殊到一般的思維方法，通過觀察、思考、歸納，凝練出單調(diào)性的概念，從中讓學(xué)生感知概念形成的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（一）學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法的基礎(chǔ)上，僅有對一次、二次函數(shù)的認(rèn)識，學(xué)生對函數(shù)中兩個變量間相互依賴關(guān)系僅僅是初步了解，若直接引入會很抽象，因此，我采用從實(shí)例引入，從已知自然過渡到未知.

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：掌握函數(shù)增減性的概念及應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖助數(shù)的過程，在這個過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程.

2.能力目標(biāo)：在探索過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、抽象思維及推理判斷能力.初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡單問題.

3.情感目標(biāo)：在參與過程中體驗(yàn)成功和挫折，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性概念及其幾何意義.

難點(diǎn)：利用定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性.

（四）教學(xué)方法

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)采用探究式的教學(xué)方法，利用啟發(fā)、合作探究、由淺入深進(jìn)行教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以熟悉的問題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主動參與的積極性.教會學(xué)生清晰地思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?，并順利地完成書面表達(dá).

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境 揭示課題

（課前放幻燈片展示數(shù)學(xué)之奧妙：數(shù)學(xué)正沿著它自己的道路無拘無束地前進(jìn)著，這并不是因?yàn)樗惺裁床皇芊杉s束之類的種種許可證，而是因?yàn)閿?shù)學(xué)本來就具有一種由其本性所決定的并且與其存在相符合的自由——數(shù)學(xué)家Hankel）

教師：數(shù)學(xué)本身是奧妙無窮的，而函數(shù)是其最華美的樂章，對函數(shù)的研究伴隨高中乃至大學(xué)的整個學(xué)習(xí)過程，今天我們開始研究函數(shù)的性質(zhì).何謂性質(zhì)，就是在事物的變化過程中始終保持不變的特征，那么函數(shù)具有哪些特征呢？

問題1 隨著自變量的變化，函數(shù)值呈現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？

教師：觀察下面兩個圖，分析有怎樣的變化規(guī)律？

圖1 易縣中學(xué)2010年以來高考二本上線人數(shù)

圖2 全國耕地面積的變化

學(xué)生1：圖1說明我校高考二本上線人數(shù)，從2010年起逐年增加.

學(xué)生2：圖2說明全國耕地面積在逐年減少.

教師：對，兩個圖直觀地表現(xiàn)了函數(shù)值隨著自變量的變化有著一定的變化規(guī)律，或增或減.

問題2 函數(shù)的圖像呈現(xiàn)出怎樣的變化趨勢？

教師：觀察以下三個函數(shù)的圖像，看隨x的增大，y的值有怎樣的變化？

學(xué)生3：函數(shù)y=x+1中函數(shù)值隨自變量的增大而增大，圖像呈上升趨勢；函數(shù)y=-x+1中函數(shù)值隨自變量增大而減小，圖像呈下降趨勢.

學(xué)生4：函數(shù)y=x2在原點(diǎn)左側(cè)呈下降趨勢，在原點(diǎn)右側(cè)呈上升趨勢.

教師：很好！從上面的觀察分析可以看出，不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖像的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映.今天我們研究函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性.

（二）歸納總結(jié) 探究新知

教師：如何用數(shù)學(xué)符號語言來描述這種“上升”與“下降”呢？

學(xué)生交流討論，讓學(xué)生體會概念形成的過程：觀察→思考→討論→歸納.

教師：回憶學(xué)習(xí)過的集合，若證明一個集合滿足某種屬性，應(yīng)證明集合中的每個元素都滿足，而對無限集，我們不可能一一列舉，這樣就有了一個非常巧妙的方法——任取，任意就代表了所有，這是數(shù)學(xué)概念最經(jīng)典的一種描述.

1.師生共同總結(jié)：（板書）增（減）函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說f（x）在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，D為其單調(diào)區(qū)間.

問題3 怎樣確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？

教師：根據(jù)上面函數(shù)圖像，確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間？

學(xué)生5：函數(shù)在（-∞，-2）上單調(diào)減，在（-2，0）上單調(diào)增，在區(qū)間0，32上單調(diào)減，在32，+∞上單調(diào)增.

教師：很好！注意，單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，比如，此函數(shù)在R上不具有單調(diào)性，但在各區(qū)間上單調(diào).

2.函數(shù)單調(diào)性定義：如果函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫作y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

問題4 在定義中為什么強(qiáng)調(diào)：對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2.

教師：觀察反比例函數(shù)的圖像，確定其單調(diào)性.

學(xué)生6：反比例函數(shù)是減函數(shù)，區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

學(xué)生7：我覺得不對，雖然在兩側(cè)呈現(xiàn)下降，但在整個定義域中不是單調(diào)減函數(shù).

教師追問：為什么？

學(xué)生8：如果從原點(diǎn)左側(cè)任選一個變量x1，從原點(diǎn)右側(cè)任選一個變量x2，顯然x1

學(xué)生9：這個單調(diào)區(qū)間寫的也不對.它的單調(diào)減區(qū)間應(yīng)該是兩個：（-∞，0）和（0，+∞）.

學(xué)生10：反比例函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是減函數(shù).

教師：很好！這道題充分說明了定義中兩個變量一定要在區(qū)間中任?。涣硪环矫?，研究函數(shù)的單調(diào)性時，一定要指出是在哪個區(qū)間上，對于幾個相同單調(diào)性的區(qū)間也不能簡單地并在一起.（在這個討論過程讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?/p>

（三）質(zhì)疑答辯 發(fā)展思維

問題5 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（題略）.

（通過例題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，初步了解函數(shù)思想，并用其解決實(shí)際問題）

（四）總結(jié)規(guī)律 升華結(jié)論

利用定義證明函數(shù)f（x）在給定區(qū)間D上單調(diào)性的一般步驟：

（1）任取x1，x2∈D，且x1

（五）教學(xué)思考

這節(jié)課是對函數(shù)性質(zhì)的探究發(fā)現(xiàn)過程，在教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)得淋漓盡致.通過圖形觀察函數(shù)特征，通過特征總結(jié)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的演變，最后把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，概括出結(jié)論.學(xué)生體驗(yàn)了概念形成的全過程，鍛煉了觀察、分析、總結(jié)問題的能力，同時也培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).