雙星問題小議

黑龍江省柴河林業(yè)局第一中學 溫慧妍

兩顆質量可以相比的星體相互圍繞著旋轉的現(xiàn)象，叫雙星。雙星問題是萬有引力定律在天文學上應用的重要內容之一，亦是高中物理的難點問題之一，由于高中研究的天體運動基本都是一個天體圍繞另一個天體做勻速圓周運動的情況，而雙星則是兩個天體依靠彼此之間的萬有引力圍繞一個共同的圓心各自做勻速圓周運動，與其它天體問題屬于不同模型，兩者分析、解決問題的思路不一樣，而很多學生已習慣于前者的思維模式，局限于前者的思維定勢很難跳出來，故而不能正確地處理雙星問題。下面我針對這種情況對雙星問題進行詳細論述。

一、要明確雙星中的兩個關系

1.雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的向心力相等

雙星中兩顆子星相互繞著旋轉可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供。由于力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的。

2.雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的運動參量T、ω、v的關系

兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動周期T是相等的，角速度ω也是相等的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比。

【例1】兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是：

A、它們做圓周運動的角速度之比與其質量成反比。

B、它們做圓周運動的線速度之比與其質量成反比。

C、它們做圓周運動的半徑與其質量成正比。

D、它們做圓周運動的半徑與其質量成反比。

解析：兩子星繞連線上的某點做圓周運動的周期相等，角速度也相等。由v=ωr得線速度與兩子星圓周運動的半徑是成正比的。因為兩子星圓周運動的向心力由兩子星間的萬有引力提供，向心力大小相等，由可知：所以它們的軌道半徑與它們的質量是成反比的。而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的質量也是成反比的。正確答案為：BD。

二、要明確雙星問題中的兩種解法

設雙星的兩子星的質量分別為M1和M2，相距L ，M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度為ω，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：

分析思路：

2.①②兩式相加（先約掉M1、M2），再與L=r1+r2聯(lián)立可求得兩天體的總質量M、角速度ω、周期T、總質量M與ω2的比值，兩天體的總質量M與T2的乘積MT2等。具體如下：

故而可得兩天體的總質量M、角速度ω、周期T、總質量M與ω2的比值等。

這樣，學生頭腦中只需記住這兩個關系式，根據(jù)題目的實際情況代入求解。這樣，學生記憶起來簡單、清晰，便于學生理解、掌握此類模型，從而輕松處理相應問題。

【例2】（2008·寧夏）天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為L，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量．（引力常量為G）

解：設兩顆恒星的質量分別為M1、M2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度為ω， 根據(jù)題意有

【例3】(2010·全國Ⅰ卷)如右圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常數(shù)為G

(1)求兩星球做圓周運動的周期；

(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比．(結果保留3位小數(shù))

解：(1)設兩個星球A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r1、r2，運行周期為T.則有

①②兩式相加（先約掉M1、M2）與③聯(lián)立解得

(2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉所圍繞的中心O不在地心，月球做圓周運動的周期可由④式得出

式中，M’ 和m’ 分別是地球與月球的質量，L′是地心與月心之間的距離．若認為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運動，月球繞地心運動的周期為T2則