函數(shù)思想在解題中的應用

【摘 要】在中學數(shù)學教學的過程中，方程和函數(shù)有著十分重要的戰(zhàn)略地位，兩者之間關系密切，在數(shù)學解題中能夠發(fā)揮出十分重要的作用。本文在對函數(shù)概念進行介紹的基礎上，對函數(shù)思想在解題中的應用進行深入的分析和探討，以期為中學數(shù)學的解題提供一定的方法參考。

【關鍵詞】函數(shù)思想；方程；不等式

在數(shù)學思想方法中，函數(shù)思想是其中十分重要的內(nèi)容，在高中數(shù)學的學習中起到了至關重要的作用，函數(shù)代表的不僅僅是我們學習中抽象的理論知識，更反映出了自然界中量之間的依存和相互轉(zhuǎn)化關系，函數(shù)明確的反映出了兩個變量之間的關系，從某種意義上來說，函數(shù)就是將現(xiàn)有的已知條件轉(zhuǎn)化為專業(yè)的數(shù)學語言，構造函數(shù)關系，再利用我們構造的函數(shù)關系來解決實際的問題。

1函數(shù)的概念

函數(shù)代表的是變量之間的關系，從變量的角度分析，函數(shù)可以闡述為兩個變量x和y之間的關系，在x的某一取值范圍內(nèi)，y會隨著x的變化呈現(xiàn)出規(guī)律化的變化，在這一對應關系中，因變量y就被稱為是自變量x的函數(shù)，其表示形式為：y=f（x）。

函數(shù)有許多性質(zhì)，包括奇偶性、單調(diào)性、周期性等。將函數(shù)所具有的這些性質(zhì)與其他的數(shù)學知識聯(lián)系起來，可以幫助學生更好地學好數(shù)學，并利用函數(shù)的概念或者性質(zhì)，快速且方便地解答數(shù)學問題。

2函數(shù)思想在解題中的應用

2.1以函數(shù)為載體，實現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程、不等式之間關系緊密，對函數(shù)的研究與應用依賴于不等式和方程，例如，在求函數(shù)的定義域和值域時，就是利用不等式知識進行求解的。證明函數(shù)單調(diào)性時，利用的也是不等式知識。同時，在進行方程和不等式的性質(zhì)研究時，也需要函數(shù)思想的指導，這三者之間是密不可分的。例如在求解方程時，就相當于是在求函數(shù)f（x）的零點，在解題的過程中，要將學到的知識活學活用，注意不同知識間的交叉互換，培養(yǎng)自己的融匯交叉意識，從而對知識有一個整體的把握。

例1設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩根x1、x2滿足0

證明：根據(jù)題意可知，

∵x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

∴

∴

∵ax2<1

∴

由上題的解題過程可以看出，這是一道求解二次方程的根的分布區(qū)間的問題，解答這一類問題時，要將題目中給出的已知條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）-x=0求解的問題來解答，通過二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化，構建簡化的函數(shù)或方程形式，將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式進行解答，這種解題方式可以很好的培養(yǎng)學生的函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，提高學生的解題能力。

2.2以函數(shù)為載體，促進函數(shù)與角的轉(zhuǎn)化

在進行三角函數(shù)問題求解時，要將角的變化與函數(shù)值的變化緊密地聯(lián)系起來。由于角與三角函數(shù)之間有著緊密的依存關系，因此，可以從函數(shù)的角度對角進行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，則k的取值范圍是多少。

通過對例題的分析我們可以發(fā)現(xiàn)，這一類方程的解題方法一般是將方程中包含的等式轉(zhuǎn)換為不等式來求解，然后根據(jù)建立的不等式組有解這一解題條件，對k的取值進行討論，從而求得k的取值范圍。這一類題解題較為簡便，但在解題的過程中容易忽略對k值的討論，使得答案有所遺漏，在解題中充分的利用函數(shù)思想，就會使解題變得簡單。

解：原方程可以等價為如下方程：

將上述方程再次等價為不等式組為

解出k為

∵

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

則

當θ∈（，0）時，

此時k<-1

當θ∈（0，）時，

此時0

所以k的取值范圍為k<-1或0

3結語

函數(shù)作為中學數(shù)學中的重要教學內(nèi)容，其在整個數(shù)學知識領域有著廣泛的應用，其思維邏輯方式新穎，解法多樣，因此也是歷年考試的重點內(nèi)容。通過對近年來高考試題的命題進行分析，函數(shù)在高考數(shù)學中占有非常大的比例，因此，靈活掌握函數(shù)的解題方法，學會知識的靈活運用，對于學生推理能力和論證能力的培養(yǎng)都有著重要的意義。

參考文獻：

[1]黃炎哲.函數(shù)思想在解題中的應用[J].科教導刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，趙國清.淺談函數(shù)思想在解題中的應用[J].保山師專學報.2005，05：40-43.

作者簡介：

喻繼葳（1979.9～），女，漢族，四川省南部縣，大學本科，中教一級，高中數(shù)學教育。