一種基于FFT的快速高精度的頻偏估計(jì)算法

蔡 青，陳海騰，徐 勇

（南京熊貓漢達(dá)科技有限公司，南京 210014）

一種基于FFT的快速高精度的頻偏估計(jì)算法

蔡 青，陳海騰，徐 勇

（南京熊貓漢達(dá)科技有限公司，南京 210014）

在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，低速率信號(hào)的傳輸和接收端的低信噪比會(huì)導(dǎo)致很大的頻率偏移。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出了一種基于快速傅里葉變換（FFT）的三譜線(xiàn)內(nèi)插算法。

快速傅里葉變換FFT；頻率估計(jì)；Quinn算法；Rife算法；克拉美-羅限

1 引言

由于衛(wèi)星通信設(shè)備需要適應(yīng)多種復(fù)雜度不同的通信環(huán)境，因此針對(duì)處于噪聲污染環(huán)境中的接收端設(shè)備而言，快速獲得高精度的頻率參數(shù)估計(jì)便顯得尤為重要。在衛(wèi)星通信過(guò)程中，為了修正移動(dòng)載體和衛(wèi)星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的多普勒頻移，衛(wèi)星通信設(shè)備通常采用載波同步技術(shù)對(duì)該頻差予以補(bǔ)償。基于鎖相環(huán)跟蹤的傳統(tǒng)載波同步算法因收斂速率慢，捕獲時(shí)間長(zhǎng)，并且頻偏估計(jì)精度容易受到信噪比的影響，其性能受到一定的限制[1]。近年來(lái)，基于FFT的載波頻率估計(jì)插值算法，因其速度快、精度高、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，在深海探測(cè)、雷達(dá)、振動(dòng)工程等領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)頻域估計(jì)算法的研究提出了很多方法。例如：最大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation，ML）算法，當(dāng)用ML算法對(duì)高斯白噪聲估計(jì)載波信號(hào)頻率，估計(jì)誤差可以達(dá)到CRLB。因此，ML算法是一種最優(yōu)估計(jì)，但其缺陷是信號(hào)搜索需非常大的計(jì)算量和時(shí)間；另一種算法則是將信號(hào)幅度譜的兩根最大譜線(xiàn)進(jìn)行插值估計(jì)頻率的方法（Rife算法），其缺陷是當(dāng)接近量化頻點(diǎn)時(shí)估計(jì)誤差相當(dāng)大，而改進(jìn)后的Rife算法仍然需要龐大的計(jì)算量；第三種是Quinn算法，即利用信號(hào)FFT主瓣內(nèi)幅度次大譜線(xiàn)與最大譜線(xiàn)的FFT系數(shù)復(fù)數(shù)值之比的實(shí)部進(jìn)行插值，其缺點(diǎn)是低信噪比條件下，當(dāng)信號(hào)頻率靠近DFT的量化頻率時(shí)，估計(jì)誤差較大。

上述算法都有各自?xún)?yōu)缺點(diǎn)，不能同時(shí)在獲得高穩(wěn)定性、高精度的同時(shí)兼具較低計(jì)算量，在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，通常需要快速的獲得更高的精度。本文提出利用FFT的復(fù)數(shù)結(jié)果，將最大峰值頻譜和相鄰兩側(cè)一個(gè)量化頻點(diǎn)的譜線(xiàn)進(jìn)行插值算法，在僅比Rife和Quinn算法計(jì)算增量不多的情況下，獲得更高的估計(jì)準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

2 Triple_IN算法的原理

假設(shè)該檢測(cè)信號(hào)為單頻率的復(fù)正弦信號(hào)x(t)=A*exp[j(2πf0+θ) ]+z(t)，式中信號(hào)的振幅、頻率和初始相位值分別為A、f0和θ。z(t)表示均值為零、方差為2σ2的高斯白噪聲。若采樣時(shí)長(zhǎng)T=N?fs，頻譜分辨率是?f=1?T，其中fs是采樣頻率，N是待采樣點(diǎn)數(shù)。采樣序列為

而δ為信號(hào)真實(shí)頻率與頻率粗估計(jì)值得差值相對(duì)?f的倍數(shù)即估計(jì)誤差精度，該值在[-0.5,0.5]的范圍內(nèi)。根據(jù)的最大幅度頻譜的|X(k) |所對(duì)應(yīng)頻率索引m'，殘余頻偏δ，則估計(jì)位置m0=m'+δ，所以實(shí)際估值頻率為

現(xiàn)利用幅度譜S(k)=|X(k) |進(jìn)行多項(xiàng)式頻率插值以提高估計(jì)頻率的精度，設(shè)二次多項(xiàng)式S(k)=Ak2+Bk+C近似于幅度譜的值，則k0及相鄰量化頻點(diǎn)位置為(k0-1,S(k0-1))，(k0,S(k0))， (k0+1,S(k0+1))，即得

此處要求估計(jì)位置m'必須在[1,N?2]范圍內(nèi)，估計(jì)精度范圍δ∈[-0.5,0.5]。該算法的均方根誤差（RMSE）在-5dB信噪比條件下達(dá)到CRLB的漸近線(xiàn)（Asymototic CRLB，ACRB）的1.1812倍，具備非常高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

3 算法的仿真和性能分析

為了準(zhǔn)確和可靠的評(píng)估各載波頻率估計(jì)算法的性能，以高斯白噪聲下的估計(jì)范圍內(nèi)，不同條件下的MATLAB中進(jìn)行算法建模，每次進(jìn)行10萬(wàn)次的蒙特卡洛仿真。根據(jù)公式（1）的載波信號(hào)，輸入信噪比SNR=A2/2σ2，設(shè)置參數(shù)：初始相位θ設(shè)為固定π?3，fs為5e3赫茲，N值為1024，且設(shè)定初始頻率f0=((212+δ)*fs) ?N，δ為[-0.5,0.5]內(nèi)步進(jìn)為0.025的共41個(gè)離散頻率值。當(dāng)N》1時(shí)，頻率無(wú)偏估計(jì)值的最低方差下限CRLB可以近似為ACRB為

本文根據(jù)頻率估值歸一化頻率的R MSE與RMSE{ACRB}的對(duì)比來(lái)衡量綜合算法估計(jì)值的精確性。

3.1 估計(jì)性能分析

Triple_IN算法的應(yīng)用必須符合奈奎斯特采樣定理，即2f0≤fs。假設(shè)采樣頻率fs=1?T，則頻率估計(jì)范圍即f0≤|fs?2|。如圖1可知，在δ的變化范圍內(nèi)，SNR在{-8dB，-5dB，0dB，5dB}條件下反映本算法歸一化頻率估計(jì)性能的穩(wěn)定性。

如圖1所示，在殘余頻偏δ的變化范圍內(nèi)，估值性能趨于穩(wěn)定，而伴隨信噪比的陡降，當(dāng)SNR=-8dB時(shí)，在0.45≤|δ|≤0.5時(shí)仍逼近ACRB的1.2898倍，說(shuō)明其穩(wěn)定性不受信噪比影響。在[-10dB, 10dB]范圍內(nèi)，|δ|取{0，0.05，0.15，0.25，0.35，0.45}條件下，進(jìn)一步觀察該算法可靠性。

如圖2所示，隨著信噪比的增大，估值頻率的RMSE越趨于ACRB曲線(xiàn)，而隨著信噪比的降低，|δ|越大越偏離ACRB。但即使在信噪比低于-5dB時(shí)，|δ|越大性能有較大的差異性，所以-5dB是該算法的門(mén)限。所以，在一定信噪比下，本算法性能在噪聲干擾下敏感度低。

3.2 與經(jīng)典算法的估計(jì)性能比較

首先，將Triple_IN算法跟經(jīng)典Quinn、Rife算法在SNR{-8dB，5dB}條件下與ACRB進(jìn)行估計(jì)性能比較。從圖3與圖4的仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)在0≤|δ|≤0.25時(shí)，Rife算法性能差距大，而Triple_IN算法在此時(shí)卻可以逼近ACRB，但在0.25≤|δ|≤0.5時(shí)逐漸偏離理論曲線(xiàn)；Quinn正好與Triple_IN算法相反，在偏離量化頻點(diǎn)時(shí)精度越高。同時(shí)，相對(duì)經(jīng)典算法可以看出本算法在信噪比變化下的曲線(xiàn)相對(duì)平穩(wěn)，而其他經(jīng)典算法曲線(xiàn)抖動(dòng)變化大即相對(duì)可靠性較低。

圖1 Triple_IN算法|δ|在[0, 0.5]內(nèi)各信噪比下的RMSE

圖2 SNR在一定范圍內(nèi)各殘余頻偏δ下的RMSE

圖3 Triple_IN與各經(jīng)典算法在5dB下的RMSE比較

圖4 Triple_IN與各經(jīng)典算法在-8dB下的RMSE比較

圖5 SNR在[-10, 5]dB范圍內(nèi)殘余頻偏δ下各經(jīng)典算法的比較

在|δ|=0.15和0.45的條件下進(jìn)一步比較三者性能，仿真如圖5所示。發(fā)現(xiàn)Rife算法對(duì)噪聲最為敏感，Quinn算法接近量化頻點(diǎn)時(shí)在噪聲影響下曲線(xiàn)有明顯變化，兩者的性能在信噪比門(mén)限下都不如Triple_IN算法可靠性高。

4 計(jì)算量比較

如表1所示，Rife算法運(yùn)算量小，但是算法本身的缺陷也較為明顯。相比于Quinn算法，本算法少1次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，計(jì)算量小很多。雖然Quinn精度上略高于該算法，但在低信噪比的性能的穩(wěn)定性和0≤|δ|≤0.25的估計(jì)準(zhǔn)確性Triple_IN算法具有更高的表現(xiàn)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)研究經(jīng)典頻率估計(jì)插值算法的性能，提出了一種穩(wěn)定度和精度較高、計(jì)算量較小的Triple_IN算法。頻率的估計(jì)精度與信噪比及待觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，通過(guò)仿真結(jié)果分析，該算法在同等的低信噪比條件下，估計(jì)精度要遠(yuǎn)高于Rife算法，略低于Quinn算法。從估值效果即穩(wěn)定性上該算法具有顯著優(yōu)勢(shì)，其估值曲線(xiàn)不隨|δ|和SNR值的變化而明顯變化。運(yùn)算量較Quinn算法節(jié)約一個(gè)復(fù)數(shù)乘法器，在FPGA工程實(shí)現(xiàn)過(guò)程中降低了復(fù)雜度，提高了計(jì)算精度。本算法已成功應(yīng)用于實(shí)際研發(fā)項(xiàng)目且收效良好，故具備一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

表1 各經(jīng)典算法計(jì)算量大小的比較

[1] 譚曉衡，張毛．一種高精度的改進(jìn)FFT頻偏估計(jì)算法[J]．重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010.7, 24(7): 72-75

[2] Rife D C and Boorstyn R R, Single tone parameter estimation from discrete-time obser-vations[J], IEEE Trans. Inf. Theory, 1974, 20(5): 591–598.

[3] Rife D C and Boorstyn R R, Multiple tone parameter estimation from discrete-time obser-vations[J], Bell Syst Tech J, 1976, 55(9): 1389–1410.

[4] Rife D C and Vincent G A. Use of the Discrete Fourier Transform in the measurement of Frequencies and Levels of tones[J]. Bell Syst Tech, 1978, 52(2):1285-1290.

[5] Quinn B G. Estimation of frequency, amplitude and phase from the DFT of a time series [J]. IEEE Trans. on SP. 1997, 45(3): 814-817.

[6] Quinn B G. Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients [J]. IEEE Trans-SP, 1994, 42(5): 1264-1268.

[7] 王旭東，劉渝，鄧振淼．基于修正Rife算法的正弦波頻率估計(jì)及FPGA實(shí)現(xiàn)[J]．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008. 30(4): 621-624

[8] 鄧振淼，劉渝，王志忠．正弦波頻率估計(jì)的修正Rife算法[J] ．?dāng)?shù)據(jù)采集與處理，2006, 21(4): 473–447

Ixia斬獲Cloud China 2017云帆獎(jiǎng) “云計(jì)算優(yōu)秀解決方案”

2016年5月12日，行業(yè)知名的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試、可視性和安全解決方案提供商Ixia宣布，在工業(yè)和信息化部主辦的第五屆中國(guó)國(guó)際云計(jì)算技術(shù)和應(yīng)用展覽會(huì)暨論壇（Cloud China 2017）中，憑借其業(yè)界領(lǐng)先的創(chuàng)新性產(chǎn)品 CloudLens?平臺(tái)獲得專(zhuān)家評(píng)審團(tuán)與大眾認(rèn)可，斬獲云帆獎(jiǎng)年度“云計(jì)算優(yōu)秀解決方案”。

云帆獎(jiǎng)創(chuàng)立于2015年，由工業(yè)和信息化部國(guó)際經(jīng)濟(jì)技術(shù)合作中心設(shè)立，過(guò)去兩年中，該獎(jiǎng)項(xiàng)致力于表彰和推動(dòng)中國(guó)云計(jì)算產(chǎn)業(yè)的創(chuàng)新發(fā)展與進(jìn)步，為普及云計(jì)算建設(shè)應(yīng)用起到了積極的引領(lǐng)作用。

當(dāng)前，云計(jì)算技術(shù)發(fā)展迅猛，各企業(yè)對(duì)云計(jì)算的應(yīng)用需求也與日俱增。 雖然云部署有諸多好處，但是訪(fǎng)問(wèn)和監(jiān)測(cè)虛擬流量卻充滿(mǎn)挑戰(zhàn)。 若無(wú)法對(duì)虛擬流量進(jìn)行精細(xì)操作，將導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)盲點(diǎn)，影響應(yīng)用性能或安全性。

Ixia 提供的可跨越所有云環(huán)境（公共云、私有云和混合云）的CloudLens? 平臺(tái)，通過(guò)采用情景感知和威脅情報(bào)結(jié)合的安全架構(gòu)，以擴(kuò)展虛擬探針和數(shù)據(jù)過(guò)濾來(lái)滿(mǎn)足云客戶(hù)期望的彈性需求，為用戶(hù)帶來(lái)前所未有的可視性。

Ixia中國(guó)區(qū)總經(jīng)理張煒表示：“我們十分榮幸此次能夠在Cloud China 2017云帆獎(jiǎng)的評(píng)選中贏得年度‘云計(jì)算優(yōu)秀解決方案’獎(jiǎng)項(xiàng)， 這無(wú)疑是Ixia在中國(guó)市場(chǎng)展現(xiàn)技術(shù)實(shí)力的又一力證！”

An Faster and High Accurate Frequency Offset Estimator Based on FFT

Cai Qing, Chen Haiteng, Xu Yong
（Nanjing Panda Handa Technology Co., LTD., Nanjing, 210014）

A low rate of signal in the satellite communication system and a low signal to noise ratio (SNR) at the receiving side results in a normalized large frequency offset. To solve this problem, this paper proposed a interpolation algorithm of the Triple spectral lines based on Faster Fourier Transform by comparing the computational complexity.

Faster Fourier Transform; Frequency Estimation; Quinn Algorithm; Rife Algorithm; Cramer-Rao Lower Bound

10.3969/J.ISSN.1672-7274.2017.05.004

TN92

A文章編碼：1672-7274（2017）05-0011-04

蔡 青，碩士，南京熊貓漢達(dá)科技有限公司高級(jí)工程師。

陳海騰，碩士，南京熊貓漢達(dá)科技有限公司工程師。

徐 勇，碩士，南京熊貓漢達(dá)科技有限公司工程師。