復(fù)數(shù)概念教學(xué)的一種新設(shè)計(jì)

何嘉穎

摘 要 當(dāng)前的復(fù)數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀不甚理想，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常會(huì)有障礙。本文從數(shù)的歷史和學(xué)習(xí)數(shù)的過程出發(fā)，結(jié)合以往學(xué)習(xí)數(shù)的模式，及從激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需要考慮，給出復(fù)數(shù)概念教學(xué)的新設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞 復(fù)數(shù) 概念教學(xué) 新設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G422 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1數(shù)系的發(fā)展過程

活動(dòng)一：

（1）分別從數(shù)學(xué)史及學(xué)習(xí)數(shù)的過程回顧已學(xué)數(shù)的發(fā)展過程，同時(shí)體會(huì)數(shù)的發(fā)展和方程之間的聯(lián)系。

（2）從數(shù)學(xué)史體會(huì)數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。由于在實(shí)際生產(chǎn)中經(jīng)常出現(xiàn)三次方程，出于解決實(shí)際問題的需要。人們不斷探索三次方程的求根公式。在16世紀(jì)，卡當(dāng)給出了三次方程的求根公式。然而，在用求根公式解三次方程時(shí)，卡當(dāng)遇到了一個(gè)棘手的問題，進(jìn)而得到讓人覺得”荒唐”的結(jié)論。那么卡丹遇到了什么問題？

2復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建

2.1數(shù)與方程的關(guān)系

活動(dòng)二：從活動(dòng)1發(fā)現(xiàn)數(shù)的發(fā)展和方程之間有著密切的聯(lián)系。求解方程：，，。

分析：引導(dǎo)學(xué)生完成下表

求解方程有兩種方法：猜測(cè)驗(yàn)證法和公式法。在前兩個(gè)方程求解中兩種方法都得到相同的答案。然而，在第三個(gè)方程的求解中，兩種方法得到的結(jié)果不一樣。使用求根公式后方程無解，這個(gè)就是卡當(dāng)?shù)玫饺畏匠糖蟾胶笥龅降闹旅鼏栴}。

活動(dòng)三：

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？

分析：結(jié)合《推理與證明》的知識(shí)，分析出現(xiàn)這種情況的原因。猜測(cè)1：兩種求解三次方程的方法都是錯(cuò)誤的。（用猜測(cè)驗(yàn)證法得出的解一定是正確的， 排除猜測(cè)1）。

猜測(cè)2：使用求根公式時(shí)，出現(xiàn)了人為錯(cuò)誤，如公式抄錯(cuò)、運(yùn)算錯(cuò)誤（經(jīng)多次驗(yàn)證及復(fù)查，排除猜測(cè)2）。

猜測(cè)3：卡當(dāng)所給出的求根公式有錯(cuò)（把求根公式帶入三次方程后方程成立，排除猜測(cè)3）。

猜測(cè)4：推究方程從有解到無解的原因是出現(xiàn)了，由平方根中的數(shù)是非負(fù)的，進(jìn)而使得方程無解。

卡當(dāng)對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)及解決。

在排除各種情況后，為求解方程，卡當(dāng)做出了一個(gè)”荒唐”的決定，承認(rèn)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)。經(jīng)運(yùn)算，此時(shí)得到的解就和用猜測(cè)驗(yàn)證方法得到一樣。

2.2平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)的的思考

活動(dòng)四：從活動(dòng)3可看到承認(rèn)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)勢(shì)在必行。這和以前學(xué)習(xí)的知識(shí)有所沖突！我們來討論這兩個(gè)問題：

（1）在以前的學(xué)習(xí)中，為什么平方根中的數(shù)不可以是負(fù)數(shù)？

（2）當(dāng)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)時(shí)，如，這樣的數(shù)是實(shí)數(shù)嗎？如果不是，它是什么呢？

分析：

（1）回歸定義，就有，由實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，有。

（2）由“，有”的否定是“，有”。因此，這樣的數(shù)不是實(shí)數(shù)，而是存在于實(shí)數(shù)系之外的數(shù)。如。

2.3虛數(shù)單位的引入與純虛數(shù)的構(gòu)建

活動(dòng)五：從活動(dòng)4發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)屬于實(shí)數(shù)系之外。實(shí)數(shù)系之外有多少這樣的數(shù)？

分析：類似于，還有，；，等大量的例子?？梢园l(fā)現(xiàn)，，即是這類屬數(shù)的最基本單位。為寫法便利，歐拉引入了符號(hào)來簡(jiǎn)單表示，此時(shí)，。所以，這些數(shù)均可簡(jiǎn)單寫為，。

由于當(dāng)時(shí)的人們無法從現(xiàn)實(shí)中找到實(shí)際事物表示這些數(shù)，所以人們認(rèn)為它們是虛無縹緲的。因此，稱i稱為虛數(shù)單位，稱，為純虛數(shù)。

2.4虛數(shù)的構(gòu)建

活動(dòng)六：在活動(dòng)5中，找到了實(shí)數(shù)系之外的一類數(shù)，純虛數(shù)。除純虛數(shù)外，還有其他屬于實(shí)數(shù)系之外的數(shù)嗎？

分析：我們繼續(xù)從方程入手，在之前求解二次方程時(shí)，遇到△<0的情況我們便不再求解。如，x2+x+1=0，△=4<0。結(jié)合新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可對(duì)方程解得x = = = €保勻徊皇鞘凳蛭鰨？，方程無實(shí)數(shù)解。因此€幣彩鞘凳抵獾氖植煌詿啃槭R虼耍丫哂行問絘+b（a，b，a，b≠0）的數(shù)稱為非純虛數(shù)。

2.5復(fù)數(shù)系的構(gòu)建以及數(shù)系擴(kuò)充

活動(dòng)七：現(xiàn)在我們所學(xué)的數(shù)大大的增多了，除實(shí)數(shù)外，還有純虛數(shù)及非純虛數(shù)。數(shù)學(xué)家通過方程對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充先告一段落。當(dāng)然數(shù)系的擴(kuò)充還沒有終止，除實(shí)數(shù)、純虛數(shù)及非純虛數(shù)外，還有其他數(shù)，但這將在更高深的數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)。現(xiàn)在，我們先提供一個(gè)更大的數(shù)系來包含實(shí)數(shù)、純虛數(shù)以及非純虛數(shù)，這個(gè)數(shù)系就是復(fù)數(shù)系。

分析：我們把純虛數(shù)以及非純虛數(shù)稱為虛數(shù)，虛數(shù)的形式是a+b（a，b，b≠0）。然后把虛數(shù)和實(shí)數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的形式是a+b（a，b）。

3結(jié)語

設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)有：從數(shù)的發(fā)展和學(xué)習(xí)數(shù)的過程引入；結(jié)合方程求解學(xué)習(xí)新知，如，求解三次方程，造成學(xué)生認(rèn)知沖突；參考實(shí)數(shù)概念學(xué)習(xí)的模式，使學(xué)生進(jìn)行新知的構(gòu)建。