享受思維“沖浪”逐層認(rèn)識(shí)“全等”

文／姜鴻雁

經(jīng)過七年級(jí)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們一定對(duì)一些平面幾何圖形有了初步認(rèn)識(shí)，比如線段、角、三角形、平行線等，也初步明白了幾何研究的對(duì)象是圖形，知道了既要研究圖形的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用，還要研究圖形與圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等。這些是幾何學(xué)習(xí)的“原材料”。我們?cè)诎l(fā)現(xiàn)全等、證明全等、應(yīng)用全等、圖形變換、構(gòu)造全等的思維沖浪過程中，將逐步深入認(rèn)識(shí)全等三角形。

一、發(fā)現(xiàn)全等——識(shí)圖能力的考驗(yàn)

識(shí)圖能力的培養(yǎng)從我們進(jìn)入幾何大門的那一刻便已開始。全等三角形的學(xué)習(xí)，對(duì)同學(xué)們識(shí)圖能力的要求隨之提高。例如，如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，且CE=CA，CF=CB，∠ACE=∠FCB=60°，連接AF、BE相交于點(diǎn)P，分別交CE、CF于點(diǎn)M、N。

圖1

同學(xué)們能看出圖中有幾對(duì)全等三角形嗎？怎樣識(shí)圖不易遺漏呢？首先，我們要會(huì)給線段或角找到“家”，也就是一條線段或一個(gè)角是哪個(gè)或哪些三角形中的元素。比如，線段AC既在△ACE中，還在△ACF、△ACM中；∠1既在△ACF中，又在△ACM中。其次，要關(guān)注“深藏”的等角或等邊。比如，本題中“藏著”的∠ACE=∠MCN=∠FCB=60°。最后，你一定遇到過公共角、對(duì)頂角、直角（都相等）、公共邊、線段中點(diǎn)（平分線段）等這些全等的“自然資源”吧？

識(shí)圖不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對(duì)生活中的一些現(xiàn)象，也要能抽象成數(shù)學(xué)圖形。比如，在生活中，我們常?？吹饺藗冇么竽粗钢讣夂椭兄钢讣鉁y(cè)量兩點(diǎn)間的距離，這個(gè)距離叫作“拃”（如圖2）。你看到其中的幾何圖形了嗎？同學(xué)們要慢慢學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

圖2

二、證明全等——推理能力的提升

歐幾里得的巨著《幾何原本》，是從五個(gè)公理出發(fā)，通過一個(gè)個(gè)嚴(yán)密的推理建成幾何的大廈，體現(xiàn)了推理的力量，彰顯了數(shù)學(xué)的理性。因此，僅在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)全等三角形還不夠，我們還需要運(yùn)用全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）加以證明，才具有說服力。例如，在圖1中，用“SAS”證得△ACF≌△ECB，由它生發(fā)的∠1=∠2是△ACF≌△ECB的一個(gè)性質(zhì)，也是△ACM≌△ECN的判定條件之一，其他全等三角形的證明也水到渠成。

生活中，人們?yōu)槭裁茨苡谩皰€”測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離呢？看了圖3，相信你一定會(huì)恍然大悟！學(xué)習(xí)是“知其然，知其所以然”的過程，同學(xué)們要慢慢學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界。

圖3

三、應(yīng)用全等——應(yīng)用意識(shí)的覺醒

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、面積相等……這些性質(zhì)是證明兩條線段相等、兩個(gè)角相等的有力“武器”，同時(shí)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他重要幾何定理的保障。例如，在圖1中，只有先由△ACF≌△ECB證得∠1=∠2，才能證明△ACM≌△ECN。本題還可以通過求∠EPA證明CM=CN，動(dòng)手試試，相信你一定行！

根據(jù)圖1中的已知條件，結(jié)合小學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，你一定能猜到△ACE、△CBF是等邊三角形。但是它們?yōu)槭裁词堑冗吶切?？依?jù)什么定理？未來，同學(xué)們將以全等三角形為依托，學(xué)習(xí)與等邊三角形有關(guān)的定理，所以說，全等三角形是幾何大廈中的一塊重要的“奠基石”。

在實(shí)際生活中，全等三角形也有廣泛的運(yùn)用。同學(xué)們要慢慢學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的“語言”（比如，圖形及圖形之間的關(guān)系）表達(dá)世界。

四、圖形變換——靜中見動(dòng)的智慧

平移、翻折、旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，不變的是形狀與大小，變換前后的兩個(gè)圖形全等。因此，我們看到的一對(duì)對(duì)全等三角形是靜止的，但也是靈動(dòng)的。

例如，在圖1中，CA、CE是等邊△ACE的兩條邊。我們既可以把CA看成繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到CE，也可以把△ACF看成繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ECB。你還能看出其他全等三角形的變換方式嗎？以后我們還將學(xué)習(xí)以平面直角坐標(biāo)系為依托，從“數(shù)”的角度刻畫“形”的變換。

未來，我們還要學(xué)習(xí)只改變圖形大小，不改變圖形形狀的變換——相似變換。例如，在圖1中，我們可以認(rèn)為等邊△ACE是繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，并按一定比例縮小得到等邊△FCB。全等是相似的特例，學(xué)好全等可以為未來學(xué)習(xí)相似奠定基礎(chǔ)。

五、構(gòu)造全等——從無到有的創(chuàng)見

再看圖1，連接PC，你能證明PC平分∠APB嗎？顯然∠APC、∠BPC無論放在哪兩個(gè)三角形中，都沒有全等，怎么辦？構(gòu)造全等！如圖4，作CH⊥AF、CG⊥BE，垂足分別為H、G。CH、CG還可以看成△ACF、△ECB對(duì)應(yīng)邊AF、BE上的高（又是識(shí)圖能力的考驗(yàn)），相信同學(xué)們一定能想到用“HL”證明Rt△PHC≌Rt△PGC。因此，構(gòu)造全等是基于對(duì)已知條件、待求目標(biāo)以及全等變換等因素綜合分析的結(jié)果。

圖4

發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、變換、構(gòu)造，由淺到深的思維歷程不僅僅是我們學(xué)習(xí)全等三角形所要經(jīng)歷的，也是認(rèn)識(shí)、研究其他幾何圖形需要經(jīng)歷的。同學(xué)們，你們將從全等三角形這章開始，插上幾何學(xué)習(xí)騰飛的翅膀！