斜面上最大靜摩擦力約束的動(dòng)態(tài)平衡典例分析

摘 要：最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力類似，與正壓力成正比.斜面上的物體對(duì)斜面的正壓力隨斜面傾角的緩慢增大而減小，隨之物體受到的最大靜摩擦力隨斜面傾角的緩慢增大而減小，物體的下滑力隨之逐漸增大，當(dāng)tanθ>μ時(shí)，物體沿斜面下滑，一旦在其他外力作用下物體緩慢下滑，保持動(dòng)態(tài)平衡，似靜似動(dòng)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.

關(guān)鍵詞：最大靜摩擦因數(shù)；動(dòng)摩擦因數(shù)；動(dòng)態(tài)平衡；正弦函數(shù)曲線

作者簡(jiǎn)介：李文科（1986-），男，甘肅會(huì)寧人，大學(xué)本科學(xué)歷.一級(jí)教師，主要研究教學(xué)難點(diǎn)突破.

本文以一道處于原長(zhǎng)的彈簧振子處在水平木板向上，隨木板逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)，滑塊（振子）隨木板逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)，相對(duì)木板靜止，所受靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力后，滑塊開(kāi)始向下緩慢滑動(dòng)壓縮彈簧，在最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力的前提下，滑塊似動(dòng)非動(dòng)，處于動(dòng)態(tài)平衡中.分析緩慢旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程中彈簧彈力與最大靜摩擦力的關(guān)系，即彈簧彈力與木板傾角的關(guān)系，可以得到彈力與傾角的關(guān)系圖線.

例題 如圖1所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質(zhì)彈簧.緊貼彈簧放置一質(zhì)量為m的滑塊，此時(shí)彈簧處于自然長(zhǎng)度.已知滑塊與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為θ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.現(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為θ，最后直至板豎直，此過(guò)程中彈簧彈力的大小F隨夾角θ的變化關(guān)系可能是如圖2所示選項(xiàng)中的解析 首先分析圖3.滑動(dòng)摩擦力Fμ約束的水平彈簧振子，向右運(yùn)動(dòng)的平衡位置為O1點(diǎn)，向左運(yùn)動(dòng)的平衡位置為O2點(diǎn)，振子做阻尼振動(dòng)，滑動(dòng)摩擦力做功機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，最終靜止在兩平衡位置O1O2之間某處，而受到靜摩擦力（彈簧原長(zhǎng)處O點(diǎn)除外）與彈簧彈力是一對(duì)平衡力.受此啟示，分析上述題目涉及的摩擦力.

此題目的物理情境與上述彈簧振子受到的靜摩擦力類似，只不過(guò)水平面上的振動(dòng)變成了斜面上的緩慢移動(dòng).處在斜面上的滑塊是否滑動(dòng)與斜面的傾角θ直接有關(guān)，分別是：（1）μ≤tanθ時(shí)，滑塊滑動(dòng)受滑動(dòng)摩擦力作用；（2）μ>tanθ時(shí)，滑塊最終靜止受靜摩擦力作用；（3）最大靜摩擦力Fmax=μsFN（μs為最大靜摩擦因數(shù)）.滑塊是否滑動(dòng)的臨界傾角θ0，由μ=tanθ0知θ0=arctan3

3=π6.可見(jiàn)木板從水平位置逆時(shí)針開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，傾角在π6之前，滑塊相對(duì)木板靜止，彈簧處于原長(zhǎng)，彈力F1=0；傾角超過(guò)π6之后，滑塊相對(duì)木板滑動(dòng)，下面著重分析木板傾角θ>π6時(shí)，滑塊開(kāi)始下滑的情況.

木板逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)超過(guò)π6時(shí)，滑塊沿木板斜面緩慢向下滑動(dòng)，壓縮彈簧，隨著木板緩慢旋轉(zhuǎn)，滑塊似靜似動(dòng)，緩慢下滑，為一動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程，滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力.自始至終滑塊受到向上的最大靜摩擦力Fmax=μsFN，又正壓力FN=mgcosθ，即Fmax=μsmgcosθ.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)木板，滑塊又下滑，再一次相對(duì)靜止的時(shí)候，向下的下滑力mgsinθ與向上的彈力F2和最大靜摩擦力Fmax三力平衡.根據(jù)題目條件最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，動(dòng)摩擦因數(shù)與最大靜摩擦因數(shù)相等μ=μs，即mgsinθ=F2+μmgcosθ，彈力F2=mgsinθ-μmgcosθ=mg1+μ2sin（θ-θ2），可見(jiàn)彈簧彈力與傾角的關(guān)系是正弦型曲線，振幅為mg1+μ2，橫軸上的截距為π6，所以選項(xiàng)C正確.

析評(píng) 斜面上物體下滑，在最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力的前提下，即最大靜摩擦因數(shù)等于動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí)，物體在外力作用下緩慢向下滑動(dòng)，一旦相對(duì)靜止，受到的靜摩擦力就是最大靜摩擦力，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.