一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測度的多屬性群決策方法*

羅 敏, 張 志, 周 晗, 吳 群, 陶志富

(1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥，230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測度的多屬性群決策方法*

羅 敏1, 張 志1, 周 晗2, 吳 群2, 陶志富1

(1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥，230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

針對區(qū)間直覺模糊信息的不確定性，提出了一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil(C-IVIFT)測度的多屬性群決策方法。首先基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子定義了連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測度，并研究該測度的一些性質(zhì)；其次，構(gòu)建以C-IVIFT測度偏差最小化為目標(biāo)的最優(yōu)化模型用以確定專家權(quán)重和屬性權(quán)重，進(jìn)而得到不同方案的綜合屬性值，并利用相似性函數(shù)和精確函數(shù)對方案進(jìn)行排序；最后，通過ERP軟件擇優(yōu)實(shí)例說明提出的決策方法的合理性和有效性。

多屬性群決策；C-IVIFT測度；專家權(quán)重；屬性權(quán)重；區(qū)間直覺模糊集

多屬性群決策[1-4]是指多個專家針對具有多個屬性的有限方案進(jìn)行排序和選擇的一類決策問題。當(dāng)屬性值與屬性權(quán)重都是確定的實(shí)數(shù)或語言評價信息時，已有很多成熟的解決方法。考慮現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性和決策信息的模糊性，決策者的屬性評價值往往不是確定的實(shí)數(shù)。Atanassov[5-6]于1986年首次提出直覺模糊集，并于1989年將其拓展至區(qū)間環(huán)境中，提出了區(qū)間直覺模糊集概念，截至目前，基于區(qū)間直覺模糊集的相關(guān)研究取得了豐富的成果。針對區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，主要研究集中在：區(qū)間直覺模糊數(shù)的信息集成算子[7-8]；構(gòu)建區(qū)間直覺模糊信息的一些測度，并將其應(yīng)用到多屬性群決策中，例如相似性測度[9]、灰色關(guān)聯(lián)度[10]和距離測度[11]等；將一些經(jīng)典的決策方法應(yīng)用到區(qū)間直覺模糊多屬性決策中，例如譚春橋[12]基于TOPSIS方法，定義了區(qū)間直覺模糊集的接近系數(shù)和距離，運(yùn)用備選方案到正負(fù)理想解的距離確定接近系數(shù)，并對方案進(jìn)行排序。高建偉[13]針對準(zhǔn)則值為區(qū)間直覺模糊數(shù)，準(zhǔn)則權(quán)重分別為完全未知和部分已知的多準(zhǔn)則決策問題，提出一種基于前景理論的決策分析方法等。

針對區(qū)間直覺模糊多屬性群決策問題，考慮到?jīng)Q策者的偏好、知識結(jié)構(gòu)等方面存在差異，決策結(jié)果可能不同，因此有必要綜合各決策者的屬性評價信息。此時，如何確定決策者權(quán)重尤為關(guān)鍵。文獻(xiàn)[14]針對屬性權(quán)重完全未知的決策問題, 首先定義了區(qū)間直覺模糊熵, 其次通過熵衡量每一屬性所含的信息量來求解屬性權(quán)重。在區(qū)間直覺模糊框架中引入交叉熵，以此確定決策者權(quán)重。Yue[15]利用相似測度的方法度量個體與專家群體決策的差異，進(jìn)而確定最優(yōu)的專家權(quán)重。

Theil不等系數(shù)是用來衡量兩組數(shù)據(jù)偏差程度的一種度量方式，文獻(xiàn)[16-17]將其應(yīng)用于組合預(yù)測模型中。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，將Theil不等系數(shù)拓展至區(qū)間直覺模糊環(huán)境中，考慮決策者的樂觀系數(shù)，提出了一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil(C-IVIFT)測度，并將其應(yīng)用到多屬性群決策問題中。首先基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子提出了Theil不等系數(shù)測度公式，然后構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃模型確定信息完全未知的屬性權(quán)重和專家權(quán)重，進(jìn)一步建立一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于ERP軟件的選擇過程中。

1 基本知識

定義1[5]設(shè)Y為給定論域，定義在Y上的直覺模糊集E表示為

(1)

其中，μE(y)和νE(y)分別表示y∈Y屬于E的隸屬度和非隸屬度，即μE:Y→[0,1],y∈Y→μE(y)∈[0,1],νE:Y→[0,1],y∈Y→νE(y)∈[0,1]，且?y∈Y，滿足μE(y)+νE(y)∈[0,1]。

此外，論域Y中元素y屬于E的猶豫度可表示為πE(y)=1-μE(y)-νE(y)。為簡化表示，記β=(μβ,νβ)為直覺模糊數(shù)。

設(shè)β=(a,b)，β1=(a1,b1)，β2=(a2,b2)為直覺模糊數(shù)，其運(yùn)算遵循下列規(guī)則[4]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，πλ根據(jù)式(2)計(jì)算可得。

定義5 設(shè)βλ,1=(aλ,1,bλ,1)和βλ,2=(aλ,2,bλ,2)為任意兩個含參數(shù)λ的直覺模糊數(shù)，則它們的大小比較方法定義如下：

(1) 若pλ(βλ,1)

(2) 若pλ(βλ,1)=pλ(βλ,2)，

a) 當(dāng)qλ(βλ,1)=qλ(βλ,2)，則βλ,1=βλ,2；

b) 當(dāng)qλ(βλ,1)

c) 當(dāng)qλ(βλ,1)>qλ(βλ,2)，則βλ,1>βλ,2。

2 連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測度

定義6 設(shè)ηλ=(αλ,1,αλ,2,…,αλ,n)和γλ=(βλ,1,βλ,2,…,βλ,n)為論域Y上含參數(shù)λ的直覺模糊向量，若函數(shù)f:Ω×Ω→R滿足:

(10)

容易證明，直覺模糊向量ηλ和γλ間的C-IVIFT測度滿足下列性質(zhì)：

(1)fλ(ηλ,γλ)≥0；

(2) 當(dāng)ηλ=γλ時，fλ(ηλ,γλ)=0；

(3)fλ(ηλ,γλ)=fλ(γλ,ηλ)。

3 基于C-IVIFT測度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法

3.1 區(qū)間直覺模糊多屬性群決策問題的基本描述

若un為成本型，令

(11)

若un為效益型，令

(12)

3.2 基于C-IVIFT測度的專家權(quán)重確定模型

合理的專家權(quán)重下，各專家的決策矩陣應(yīng)與集成后的專家綜合矩陣保持較小的偏差，C-IVIFT測度可用來度量此種偏差。

(13)

3.3 基于C-IVIFT測度的屬性權(quán)重確定模型

假設(shè)屬性權(quán)重為G=(g1,g2,…,gN)T，本小節(jié)主要研究運(yùn)用C-IVIFT測度確定屬性權(quán)重的方法。

為求解最優(yōu)的屬性權(quán)重，不同屬性列l(wèi)λ,n與綜合屬性列Wλ的C-IVIFT測度總是越小越好，且lλ,n與Wλ比較的概率是均等的，由此建立下述最優(yōu)化模型：

(14)

3.4 新的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法具體步驟

綜上所述，在專家權(quán)重和屬性權(quán)重完全未知情況下，給出一種基于C-IVIFT測度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法：

Step 5：根據(jù)公式(8)計(jì)算不同綜合屬性值wλ,m(m=1,2,…,M)的相似性函數(shù)rλ,m=pλ(wλ,m)。

Step 6：根據(jù)不同方案對應(yīng)的相似性函數(shù)值rλ,m的大小對方案進(jìn)行排序。

Step 7：結(jié)束。

4 案例分析

Step 4：求解模型式(14)，得最優(yōu)屬性權(quán)重G*=(0.256 4,0.088 3,0.146 9,0.367 2,0.141 2)T和最優(yōu)綜合屬性列：

Step 5：計(jì)算不同ERP軟件的相似性函數(shù)值rλ,m，得到：

rλ,1=0.296 6，rλ,2=0.266 4

rλ,3=0.270 7，rλ,4=0.276 9

rλ,5=0.2648

Step 6：將rλ,m進(jìn)行升序排列：rλ,5

x1>x4>x3>x2>x5

可以看出，最優(yōu)方案為x1，即綜合考慮3位決策者的評價，ERP軟件x1為最優(yōu)選擇。

為了考慮不同態(tài)度參數(shù)對最優(yōu)專家權(quán)重和屬性權(quán)重的影響，取λ=[0,1]，得最優(yōu)專家權(quán)重和屬性權(quán)重的變化圖：

圖1 參數(shù)λ對最優(yōu)專家權(quán)重的影響Fig.1 Influence of parameter λ on optimal expert weights

圖2 參數(shù)λ對最優(yōu)屬性權(quán)重的影響Fig.2 Influence of parameter λ on optimal expert weights

根據(jù)圖1，專家2和3的權(quán)重均在0.38以下，并隨態(tài)度參數(shù)λ的增加單調(diào)遞增，在決策中的重要性程度逐漸增加。與之相反，專家1的權(quán)重隨態(tài)度參數(shù)λ的增加單調(diào)遞減，且由λ=0時的0.557 5到λ=1時的0.206 2，下降幅度達(dá)0.351 3。根據(jù)圖2可以看出，專家進(jìn)行評價時，軟件的銷量始終是最重要的屬性，維護(hù)成本次之。功能的完善性隨參數(shù)λ的增加先下降后上升，系統(tǒng)抗風(fēng)險能力和系統(tǒng)風(fēng)險單調(diào)遞增，當(dāng)λ∈[0,0.2]時，功能完備性較系統(tǒng)抗風(fēng)險能力和系統(tǒng)風(fēng)險較為重要。 當(dāng)λ∈(0.2,1]時，恰好相反。

同時，態(tài)度參數(shù)的變化對綜合屬性的相似性函數(shù)值產(chǎn)生影響，如圖3所示：

圖3 參數(shù)λ對相似性的影響Fig.3 Influence of parameter λ on similarity

可以看出，不同方案的相似性函數(shù)值均在一定范圍內(nèi)波動，且單調(diào)遞減，這反映了態(tài)度參數(shù)對決策結(jié)果的影響。由圖3可知，ERP軟件1始終是最優(yōu)方案，當(dāng)λ∈[0,0.8]時，不同軟件的排序?yàn)閤1>x4>x3>x2>x5；當(dāng)λ∈(0.8,1]時，決策者的態(tài)度較為樂觀，此時ERP軟件的排序結(jié)果發(fā)生改變，表示為x1>x4>x3>x5>x2。

5 結(jié) 語

目前，大多數(shù)多屬性群決策問題研究中常常假定專家權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重已知，忽略了決策者的風(fēng)險規(guī)避程度對方案排序的影響。本文基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子，結(jié)合Theil不等系數(shù)，提出C-IVIFT測度。通過構(gòu)建偏差最小的多目標(biāo)規(guī)劃模型，確定專家權(quán)重和屬性權(quán)重，并提出一種基于C-IVIFT測度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法。最后運(yùn)用算例證實(shí)了該方法的可行性和有效性。

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責(zé)任編輯：李翠薇

An Approach to Multiple Attribute Group Decision Making Based on the Continuous Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Theil Measure

LUO Min1, ZHANG Zhi1, ZHOU Han2, WU Qun2, TAO Zhi-fu1

(1. School of Economics, Anhui University, Anhui Hefei 230601, China; 2. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Anhui Hefei, 230601, China)

With respect to the uncertainty of interval-valued intuitionistic fuzzy information, an approach to multiple attribute group decision making on the basis of continuous interval-valued intuitionistic fuzzy Theil (C-IVIFT) measure is investigated. Firstly, a C-IVIFT measure based on the continuous interval-valued intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging (C-IVIFOWA) operator is introduced, some desirable properties are discussed as well. Then, two programming models are constructed to derive the optimal weights of experts and attributes with the principle of minimum C-IVIFT measure deviation. Moreover, similarity function and exact function are provided to rank the collective attribute values of alternatives. Finally, an example related to ERP software selection is provided to illustrate the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

multiple attribute group decision making; C-IVIFT measure; expert weights; attribute weights; interval-valued intuitionistic fuzzy sets

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0003.011

2016-11-23；

2016-12-30. * 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(71371011,71301001,71501002);安徽省振興計(jì)劃優(yōu)秀青年人才支持項(xiàng)目;安徽大學(xué)博士科研啟動基金;安徽大學(xué)科研訓(xùn)練計(jì)劃(KYXL2016006);安徽大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目(201610357473,201610357119,201610357347,201610357348,201610357349,201610357083).

羅敏(1996-)，女，安徽合肥人，從事金融統(tǒng)計(jì)研究.

C934

A

1672-058X(2017)03-0056-09