帶有隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的Lévy 模型期權(quán)定價(jià)

郭 濱, 何 坤

(東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海201620)

帶有隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的Lévy 模型期權(quán)定價(jià)

郭 濱, 何 坤

(東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海201620)

研究一類在隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率作用下的Lévy 隨機(jī)微分方程, 令利率與波動(dòng)率分別為與資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)的函數(shù), 在對(duì)其進(jìn)行一些條件限制下, 證明方程有合適的解. 同時(shí)在對(duì)Lévy 過(guò)程中跳部分和方程其他系數(shù)的條件限制下, 使方程的解滿足股票價(jià)格的基本要求, 從而建立市場(chǎng)模型. 這個(gè)模型描述的市場(chǎng)是不完備的, 利用F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度的方法, 在一系列等價(jià)鞅測(cè)度中找到F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度, 來(lái)得到此模型下歐式期權(quán)的Black-Scholes定價(jià)公式.

Black-Schoels公式; F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度; 隨機(jī)利率; 隨機(jī)波動(dòng)率; Lévy 過(guò)程

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融領(lǐng)域的核心問(wèn)題之一, 1973年Black和Scholes在股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng), 且股票收益率和波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)條件下, 獲得了著名的Black-Scholes公式[1]， 它為期權(quán)定價(jià)提供了一個(gè)十分簡(jiǎn)便的工具. 從此, 這一模型就被金融從業(yè)者廣泛采用. 然而在使用過(guò)程中, 投資者發(fā)現(xiàn)這一模型的假設(shè)與實(shí)際情況并不完全相符. 由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)是連續(xù)隨機(jī)過(guò)程, 所以由此刻畫(huà)的股票價(jià)格為關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù). 但在實(shí)際研究中發(fā)現(xiàn), 股票的價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)間斷的“跳躍”[2]; 同時(shí)股票收益分布呈現(xiàn)“厚尾”現(xiàn)象, 并且波動(dòng)率并非常數(shù)[3]. 這些都與傳統(tǒng)的Black-Scholes模型假設(shè)相矛盾. 為了彌補(bǔ)經(jīng)典Black-Scholes模型的不足, 學(xué)者們提出了一些其他的模型對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).例如, 以改變股票價(jià)格驅(qū)動(dòng)方式為出發(fā)點(diǎn)的Lévy 過(guò)程驅(qū)動(dòng)的模型[4-5]、將隨機(jī)利率引入市場(chǎng)中的Vasicek模型[6]、CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型[7], 以及隨機(jī)波動(dòng)率模型[8-9]. 其中, 由于Lévy 過(guò)程所具有的馬爾科夫性、半鞅性、分布可以是連續(xù)的也可以是帶跳的, 以及具有厚尾等特點(diǎn), 在應(yīng)用中具有很大的靈活性, 能描述金融市場(chǎng)的特征. 本文將基于Lévy 過(guò)程來(lái)描述股票的價(jià)格變化, 并在其上加入隨機(jī)波動(dòng)率與隨機(jī)利率的影響, 來(lái)構(gòu)造模型, 具體形式如下

在上述模型中,Yt為一個(gè)Lévy過(guò)程,bt表示利率,σt表示波動(dòng)率. 本文采用與資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)的函數(shù)g(St -)和f(St -)作為隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的主要原因: 一是g(St -)和f(St -)的形式可以包含絕大部分隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的模型; 二是在這種形式下可以給出期權(quán)定價(jià)的表達(dá)式. 本文的主要工作在于尋找測(cè)度Q, 而文獻(xiàn)[8-9]的工作側(cè)重在找到Q之后給出Vt近似解的推導(dǎo)過(guò)程.

在無(wú)套利的完備市場(chǎng)下, 傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法有3種: 解偏微分方程法、數(shù)值模擬法、鞅方法[10]. 如果市場(chǎng)是有套利的, 或是不完備的, 這時(shí)等價(jià)鞅測(cè)度不存在或不唯一, 傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法便有一定的困難, 詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]. 本文采用的Lévy 市場(chǎng)是典型的不完備市場(chǎng). 為了解決這一問(wèn)題, 常見(jiàn)的方法有: Merton法[12]、效用最大化策略[13]、最小鞅測(cè)度法[14]以及冪跳型資產(chǎn)對(duì)沖[15]等. 其中文獻(xiàn)[14]針對(duì)一般的Lévy 模型提出了構(gòu)造最小鞅測(cè)度方法來(lái)進(jìn)行期權(quán)的定價(jià), 即在等價(jià)鞅測(cè)度不唯一的Lévy 市場(chǎng)中找到一個(gè)鞅測(cè)度, 使得在此鞅測(cè)度下要復(fù)制的未定權(quán)益風(fēng)險(xiǎn)最小化, 稱此鞅測(cè)度為最小鞅測(cè)度. 本文采用文獻(xiàn)[14]的方法, 其主要思路為先構(gòu)造一個(gè)由Lévy 過(guò)程驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)模型, 在滿足一定條件的隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率影響下, 使得此模型有解. 由于此市場(chǎng)不完備, 等價(jià)鞅測(cè)度不唯一, 于是對(duì)于市場(chǎng)的等價(jià)鞅測(cè)度, 證明其最小鞅測(cè)度存在, 并找出此最小鞅測(cè)度. 最終得到該模型在最小鞅測(cè)度下的歐式看漲期權(quán)定價(jià)表達(dá)式.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Lévy 過(guò)程

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹Lévy 過(guò)程以及后續(xù)研究中所必需的一些結(jié)論, 具體內(nèi)容參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-18]的相關(guān)研究.

(1)Y0=0, a.s.;

(2)Yt具有平穩(wěn)增量:Yt+h-Yt的分布不依賴于t;

(3)Yt具有獨(dú)立增量: 對(duì)于每一個(gè)遞增的時(shí)間序列t0

值得注意的是, 所有Lévy 過(guò)程存在右連左極(RCLL)的修正, 是一個(gè)半鞅的同時(shí)Lévy 過(guò)程具有如下刻畫(huà)

E[exp(-iθYi)]=exp(-tψ(θ)),

θ∈R,t∈[0,T],

其中函數(shù)ψ被稱作Y的Lévy 指數(shù). 并且Lévy-Khintchine方程指出: {Yt}t∈[0, T]是相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)與二次純跳過(guò)程的線性組合.

Yt=cWt+Xt,t∈[0,T],

(1)

其中:Wt是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng),Xt是一個(gè)二次純跳過(guò)程, 并且Wt與Xt相互獨(dú)立.

令dt為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度,T(dt, dx)為一個(gè)在R+×R{0}上的Possion測(cè)度, 其特征測(cè)度為dt×ν,ν為前述的Lévy 測(cè)度, 測(cè)度dt×ν也稱為T的補(bǔ)償測(cè)度. 于是, 式(1)中Xt的Lévy-It分解為

Xt=∫|x|<1x{Q[(0,t], dx]-tν(dx)}+ ∫|x|≥1xQ[(0,t], dx]+tE[X1-∫|x|≥1xν(dx)]=

∫|x|<1x{Q[(0,t], dx]-tν(dx)}+ ∫|x|≥1xQ[(0,t], dx]+αt,t∈[0,T],

(2)

其中:

α=E[X1-∫|x|≥1xν(dx)],

稱為Xt的漂移項(xiàng).

進(jìn)一步, 本文假設(shè)Lévy 過(guò)程Y滿足如下假定

E(e-hY1)<∞, ?h∈(h1,h2),

(3)

其中, 0

∫|x|≥1e-hxν(dx)<∞,

∫|x|≥1xδe-hxν(dx)<∞, ?δ>0,

∫|x|≥1xν(dx)<∞,

對(duì)所有的h∈(h1,h2)成立. 在此假設(shè)下, 式(3)可以改寫(xiě)成一個(gè)二次純跳鞅和一個(gè)有限變差可料過(guò)程的和

Xt=∫Rx{T[(0,t], dx]-tν(dx)}+

tE(X1)=Mt+at,

(4)

其中,Mt=∫Rx{T[(0,t], dx]-tν(dx)}是一個(gè)鞅, 并且a=E(X1). 即式(4)給出了式(1)中二次純跳過(guò)程Xt的Doob分解. 這里需要注意的是,a與α并不相同, 式(4)將Xt分解為一個(gè)鞅和一個(gè)有限變差過(guò)程, 而式(2)的分解并沒(méi)有將Xt的鞅部分找出來(lái). 于是, 式(1)就可以改寫(xiě)為

Yt=cWt+Mt+at,t∈[0,T],

(5)

1.2 最小鞅測(cè)度

Yt=cWt+Xt=cWt+Mt+at,t∈[0,T]

(6)

為上述的一個(gè)Lévy 過(guò)程, 并且滿足式(3), 假設(shè)由{Yt}t∈[0, T]生成的最小σ-代數(shù)流為{Ft}t∈[0, T], 同時(shí)假設(shè), 對(duì)?t∈[0,T]時(shí)刻, 股票價(jià)格St滿足幾何Lévy 過(guò)程

dSt=btSt-dt+σtSt-dYt,t∈[0,T]

其中σt,bt分別為連續(xù)函數(shù), 由式(6)可得

dSt=(aσt+bt)St-dt+σtSt-(cdWt+dMt),

[19]可知, 上述方程存在一個(gè)解析解

(7)

由此可得σ{Su:u≤T}=FT, 于是一個(gè)到期日為T的未定權(quán)益ΓT, 可以被認(rèn)為是一個(gè)非負(fù)FT-可測(cè)隨機(jī)變量. 為了保證對(duì)?t∈[0,T]有St≥0,a.e. 此處假設(shè)(H1): 設(shè)σtΔMt≥-1對(duì)所有t都成立. 此假設(shè)隱含了式(1)中純跳過(guò)程Xt的跳躍部分至少在一邊是有界的. 假設(shè)ΔMt∈[c1,c2], 等價(jià)于Lévy 測(cè)度被定義在[c1,c2]上, 其中c1,c2>0, 且最多有一個(gè)為無(wú)限的. 即要求σt和c1,c2間的關(guān)系滿足:

(8)

對(duì)?t∈[0,T]都成立.

若σt>0, ?t∈[0,T]則式(8)表明Xt的跳躍部分必需有下界, 即c1<∞.

下面給出一個(gè)定義并介紹兩個(gè)重要引理.

定義1.1[20]若一個(gè)過(guò)程Kω(t,x)被稱作Borel可料過(guò)程. 需滿足: 當(dāng)固定x時(shí), 過(guò)程t→Kω(t,x)是一個(gè)可料函數(shù). 當(dāng)固定t時(shí), 函數(shù)x→Kω(t,x)是Borel可測(cè)的.

引理1.1[14]令Gt和H(t,x), ?t∈[0,T]分別為可料和Borel可料過(guò)程. 如果對(duì)所有的t≥0, 有

并且H≥0,H(t, 0)=1. 令h(t,x)為另一個(gè)Borel可料過(guò)程, 滿足

∫R[H(t,x)-1-h(t,x)]ν(dx)<∞.

(9)

定義過(guò)程{Zt}t∈[0, T]為

(10)

則過(guò)程Zt是一個(gè)非負(fù)局部鞅, 滿足Z0=1, 顯然Zt為正當(dāng)且僅當(dāng)H(t,x)>0.

注1.1: 引理1.1中的過(guò)程h(t,x)并不唯一, 只要使得H(t,x)和h(t,x)間的關(guān)系滿足式(9)即可. 最簡(jiǎn)單直觀的選擇就是令h(t,x)≡H(t,x)-1.

注1.2: 在滿足對(duì)?t∈R+, E(Zt)=1, 且{Zt}t∈[0, T]是一個(gè)鞅的條件下, 可以通過(guò)選擇得到過(guò)程Gt, H(t, x)和h(t, x).

引理1.2[14]設(shè)Q為(Ω, FT)上某個(gè)關(guān)于概率測(cè)度P絕對(duì)連續(xù)的概率測(cè)度, 且Q由

定義. 其中Zt可由式(10)表示, 可選擇過(guò)程Gt,H(t,x)和h(t,x), 使得E(Zt)=1. 進(jìn)一步, 在測(cè)度Q下, 過(guò)程

同時(shí), 可料部分為

ν(dx)ds,t∈[0,T]

本節(jié)的最后給出在Lévy市場(chǎng)中使用F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度方法來(lái)給期權(quán)定價(jià)的依據(jù).

于是, 貼現(xiàn)價(jià)格為

定義在t∈[0,T]時(shí)刻的累計(jì)成本為

并定義殘存風(fēng)險(xiǎn)為

E[(CT-Ct)2|Ft].

在完備市場(chǎng)中,Ct是一個(gè)常數(shù), 因此殘存風(fēng)險(xiǎn)為0, 故存在滿足容許策略VT=ΓT的資產(chǎn)組合, 其中ΓT為未定權(quán)益的價(jià)格. 而在不完備市場(chǎng)中殘存風(fēng)險(xiǎn)非0, 故F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度的方法在于, 尋找一個(gè)資產(chǎn)組合(ξt,ηt),t∈[0,T], 使得殘存風(fēng)險(xiǎn)降到最低, 這等價(jià)于下面定義:

F?llmer-Schweizer 給出的最小鞅測(cè)度的定義為

本質(zhì)上定義1.2和1.3是等價(jià)的, 前者為經(jīng)濟(jì)學(xué)上的表述, 后者為隨機(jī)分析中的表述.

2 隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率下的Lévy 市場(chǎng)模型和歐式期權(quán)

設(shè)一個(gè)由Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)中, 存在以下兩種資產(chǎn)

(1) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn){Bt}t∈[0, T](比如債券, 銀行存款), 滿足

dBt=rtBtdt,

其中:B0=1;rt是一個(gè)給定的確定性函數(shù), 代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

(2) 一個(gè)股票資產(chǎn){St}t∈[0, T], 其價(jià)格滿足的帶有隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的隨機(jī)微分方程為

(11)

本文始終假設(shè)Lévy 過(guò)程Yt滿足式(4),Yt可以表示成

Yt=cWt+Xt=cWt+Mt+at,t∈[0,T]

其中:Wt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);Xt是一個(gè)二次純跳過(guò)程;Mt是一個(gè)二次純跳鞅, 滿足M0=0;a=E(X1);c為一常數(shù), 信息流{FT}t∈[0, T]滿足左連續(xù)且完備,F0包含所有零測(cè)集.

根據(jù)文獻(xiàn)[19]中Lévy隨機(jī)微分方程的求解公式以及式(11)可以得出, 上述隨機(jī)微分方程(11)的解具有以下形式:

(12)

定理2.1 假設(shè)股票價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程(11), 設(shè)未定權(quán)益的到期時(shí)間為T, 執(zhí)行價(jià)格為K.于是在任意時(shí)刻t∈[0,T], 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格Vt為

其中ST由式(12)給出,Q是概率空間(Ω,FT)上的一個(gè)概率測(cè)度, 定義為dQ: =ZtdP, {Zt}t∈[0, T]滿足:

其中對(duì)s∈[0,T]滿足

ν=∫Rx2ν(dx),

概率測(cè)度Q是一個(gè)F?llmer-Schweizer 最小鞅測(cè)度.

證明

(13)

由于

cf(Ss-)Gs+af(Ss-)+g(Ss-)-rs+∫Rf(Ss-)

x(H(s,x)-1)ν(dx)=0,

(14)

對(duì)?s∈[0,T]都成立. 顯然, 過(guò)程Gs和H(s,x)不能唯一確定, 則等價(jià)鞅測(cè)度不唯一.

考慮當(dāng)式(11)中的噪聲{Yt}t∈[0, T]為一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)時(shí), 根據(jù)式(13), 可知Q關(guān)于P的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù){Zt}t∈[0, T]可表示為dZt=γtZtdWt. 而在本文中的假設(shè)條件下{Zt}t∈[0, T]應(yīng)有如下表示

dZt=γtZt-(cdWt+dMt),

(15)

由引理1.1可知

M(ds, dx).

對(duì)比以上兩式, 可以得到

(16)

ν=∫Rx2ν(dx).

由式(14)和(16)可得

(17)

從而

(18)

至此確定了一個(gè)測(cè)度, 為了保證{Zt}t∈[0, T]>0, 要給出關(guān)于γs的條件. 否則測(cè)度Q可能是一個(gè)符號(hào)測(cè)度, 而非概率測(cè)度. 根據(jù)引理1.1中的式(9)可知, 若想滿足{Zt}t∈[0, T]>0, 只需保證H(s, ΔXs)>0即可. 從假設(shè)(H1)中可以得出,Lévy過(guò)程{Yt}t∈[0, T]的的跳躍部分{Xt}t∈[0, T]至少在一邊有界, 本文假設(shè)ΔXt=ΔMt∈[-c1,c2], 其中c1,c2∈R+. 于是要求式(17)中的右邊部分對(duì)?x∈[-c1,c2]都大于-1, 因此等價(jià)于

至此找到了一個(gè)關(guān)于P絕對(duì)連續(xù)的等價(jià)鞅測(cè)度Q, 且Q為概率測(cè)度.

第二步證明Q是F?llmer-Schweizer最小鞅測(cè)度.

關(guān)于這一部分的證明, 文獻(xiàn)[21]中有詳細(xì)給出. 本文僅給出證明過(guò)程中的幾處重要結(jié)果.

(19)

其中

是一個(gè)P-鞅, 并且

3 結(jié) 語(yǔ)

為了吻合現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中波動(dòng)率、利率等與股票價(jià)格相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程的情形, 本文研究了一類股票價(jià)格服從帶有隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率的隨機(jī)微分方程, 利用最小鞅測(cè)度的方法求得了由此類股票組成的Lévy 金融市場(chǎng)中歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式. 現(xiàn)在的結(jié)果是通過(guò)等價(jià)鞅測(cè)度的方法給出理論上的定價(jià)公式結(jié)果. 在接下來(lái)的研究中會(huì)盡量去嘗試在此方法上加以創(chuàng)新, 結(jié)合文獻(xiàn)[8]的方法通過(guò)數(shù)值模擬給出顯示表達(dá)結(jié)果.

參 考 文 獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯：于冬燕)

Option Pricing for a Lévy Model with Stochastic Interest Rates and Stochastic Volatility

GUOBin,HEKun

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

A class of stochastic differential equations driven by the Lévy process with stochastic volatility and stochastic interest rates are considered. The interest rate and volatility are related to asset price and it can be proven that suitable solutions with some regular conditions on the interest rate and volatility of these equations are derived. Assuming that some conditions are followed by the jump of the Lévy process and the coefficients, the stock price in the market can be illustrated with the equation. Note that an incomplete market is corresponded to the Lévy model, a Black-Scholes pricing formula for the European call option is constructed by using the F?llmer-Schweizer minimal martingale measure.

Black-Scholes formula; F?llmer-Schweizer minimal martingale measure; stochastic interest rate; stochastic volatility; Lévy process

1671-0444 (2017)02-0398-07

2016-03-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301068 )；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(109060019036)

郭 濱(1991—)，男，吉林遼源人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué). E-mail: guobin0528@126.com 何 坤(聯(lián)系人)，女，副教授， E-mail: hekun@dhu.edu.cn

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