基于分形理論的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計(jì)方法

葛姝翌, 曹 毅, 1b, 2a, 2b, 丁澤華, 周 睿, 朱景原

( 1. 江南大學(xué)a. 機(jī)械工程學(xué)院; b. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無(wú)錫 214122; 2. 上海交通大學(xué)a. 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

基于分形理論的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計(jì)方法

葛姝翌1a, 曹 毅1a, 1b, 2a, 2b, 丁澤華1a, 周 睿1a, 朱景原1a

( 1. 江南大學(xué)a. 機(jī)械工程學(xué)院; b. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無(wú)錫 214122; 2. 上海交通大學(xué)a. 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

為綜合得到混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型, 基于分形理論提出了一種新的混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法, 其能夠有效地解決多路徑橫向非典型混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計(jì)問(wèn)題.首先, 闡述了機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形理論的概念; 其次，建立了運(yùn)動(dòng)副及其空間方位關(guān)系的二進(jìn)制碼, 規(guī)定了為求解機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑法則和用以推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)副的輸出位移子集的串并聯(lián)計(jì)算法則; 然后，根據(jù)分形理論推導(dǎo)出分形后的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 并適配運(yùn)動(dòng)副從而獲得混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的整體構(gòu)型; 最后，根據(jù)該構(gòu)型設(shè)計(jì)方法, 實(shí)現(xiàn)了2T1R三自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì), 并對(duì)綜合后的混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析, 驗(yàn)證了該構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的可行性.

混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型; 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D; 分形理論; 路徑法則; 二進(jìn)制代碼

混聯(lián)機(jī)器人概念的提出, 引發(fā)了機(jī)器人構(gòu)型的新潮流, 并得到了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1]提出了基于自由度公式的歐氏運(yùn)動(dòng)平臺(tái)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合.文獻(xiàn)[2]根據(jù)Assur桿組的組合形式, 對(duì)其進(jìn)行構(gòu)型的分割與組合, 從而得到不同形式的基于鏈群的混聯(lián)機(jī)構(gòu).文獻(xiàn)[3-4]的研究將兩個(gè)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行串聯(lián), 得到串并混聯(lián)的機(jī)構(gòu).文獻(xiàn)[5]則將多個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)單元進(jìn)行串聯(lián)組合, 得到具有柔順靈巧運(yùn)動(dòng)的混聯(lián)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[6]將兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行串聯(lián), 并將兩級(jí)動(dòng)平臺(tái)輸出的雙末端操作器進(jìn)行分析后得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的輸出.在國(guó)內(nèi), 文獻(xiàn)[7]提出了基于李群理論得到三自由度RPR等價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合, 文獻(xiàn)[8-9]提出了基于方位特征集和自由度分配的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[10]基于李群理論得到混聯(lián)支鏈在不同構(gòu)型下運(yùn)動(dòng)的群論表達(dá)式.相關(guān)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合還包括其他不同的串并聯(lián)組合形式[11-15].現(xiàn)如今, 混聯(lián)機(jī)構(gòu)的發(fā)展不僅僅停留在理論知識(shí)的延伸上, 制造業(yè)已實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)器人的生產(chǎn)及應(yīng)用.例如瑞典N(xiāo)eos Robotic公司生產(chǎn)的5自由度Tricept系列機(jī)器人、德國(guó)DS-Technology公司生產(chǎn)的5自由度Exechon機(jī)器人、Adept Technology公司生產(chǎn)的Adept Quattro機(jī)器人、天津大學(xué)黃田發(fā)明的TriVariant系列機(jī)器[16-20].

綜上所述, 不難發(fā)現(xiàn)上述混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)可劃分為3種形式[21]: (1)并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)其他機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成; (2)并聯(lián)機(jī)構(gòu)直接串聯(lián)在一起; (3)在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈中采用不同的結(jié)構(gòu).混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的型綜合主要關(guān)注于支鏈的設(shè)計(jì)方法, 其支鏈的布局較為單一.故上述理論一般不適用于具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì).機(jī)構(gòu)拓?fù)鋭?chuàng)新是機(jī)械發(fā)明最具挑戰(zhàn)性的核心內(nèi)容, 因此混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)尤其是具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的研究, 不僅具有重要的理論意義, 還具有廣泛的應(yīng)用前景.

為有效地解決多路徑橫向非典型混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)問(wèn)題, 本文提出基于分形理論的混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法.首先對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形理論的概念進(jìn)行闡述, 同時(shí)建立運(yùn)動(dòng)副及其空間方位關(guān)系的二進(jìn)制代碼結(jié)構(gòu), 并規(guī)定了應(yīng)用于分析計(jì)算的路徑法則和串并聯(lián)計(jì)算法則, 之后對(duì)分形理論推導(dǎo)出的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D適配運(yùn)動(dòng)副, 最終獲得混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體構(gòu)型.

1 分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

1.1 分形理論的基本概念

自B.Mandelbrot提出分形幾何理論[22]至今, 該理論已經(jīng)成為了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科, 并逐漸滲透到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工程技術(shù)中, 機(jī)械工程領(lǐng)域也不例外.

分形集合一般具有如下特征[23]: (1)自相似性; (2)精細(xì)的結(jié)構(gòu), 即包含有任意小比例的細(xì)節(jié); (3)極不規(guī)則, 它的整體和局部不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述; (4)由迭代得到; (5)大多數(shù)情況下, 以某種方式定義的分形集合的分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù).

分形理論的一個(gè)特點(diǎn)就是要利用分形維度的視角和數(shù)學(xué)方法描述客觀事物, 與一維、二維、三維甚至四維空間的描述相比, 它的真實(shí)性和直觀性都更為優(yōu)秀.分形理論的這一特點(diǎn)特別適合應(yīng)用在機(jī)械工程領(lǐng)域, 其不但可以直觀地展現(xiàn)機(jī)械特性, 還可以降低工程難度和提高工程效率.

1.2 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和支鏈構(gòu)成.其中, 靜平臺(tái)是機(jī)架, 動(dòng)平臺(tái)是機(jī)構(gòu)末端輸出平臺(tái).支鏈的具體定義為由連接末端動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和中間過(guò)渡平臺(tái)的支鏈按照一定方式組合而成, 并通過(guò)一定的連接關(guān)系形成路徑.路徑的位置關(guān)系是始于靜平臺(tái), 終于動(dòng)平臺(tái), 其只與靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)有關(guān)系.

圖1 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D分形方式Fig.1 Fractal form of the topological graph

機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)是混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ), 其主要思想是將混聯(lián)機(jī)構(gòu)抽象為連桿機(jī)構(gòu), 首先研究機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 其次對(duì)支鏈和路徑進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì), 從而得到混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的構(gòu)型.為快速有效地生成不同機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 將分形理論運(yùn)用到機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中, 其能夠產(chǎn)生3種分形方式: 鏈分形、平臺(tái)分形、鏈臺(tái)分形[24-26], 如圖1所示.

1.3 分形方式的具體分析

1.3.1 鏈分形的定義

通過(guò)運(yùn)動(dòng)副連接兩個(gè)平臺(tái), 則稱(chēng)該運(yùn)動(dòng)副的組合為支鏈.一級(jí)支鏈, 即只連接兩相鄰平臺(tái), 無(wú)任何跨越平臺(tái)行為的支鏈.二級(jí)支鏈, 連接的兩平臺(tái)中間需相隔一過(guò)渡平臺(tái).多級(jí)支鏈以此類(lèi)推.

鏈分形是對(duì)一級(jí)支鏈進(jìn)行的分形(如圖1中Ⅰ所示), 其可以細(xì)分為縱向鏈分形和橫向鏈分形, 其中橫向鏈分形需要的條件較為苛刻, 需要存在至少4個(gè)平臺(tái)(包括動(dòng)、靜平臺(tái)), 且含有2個(gè)過(guò)渡平臺(tái)為橫向平行關(guān)系.

1.3.2 平臺(tái)分形的定義

平臺(tái)分形即把已存在的支鏈打開(kāi), 加入新的過(guò)渡平臺(tái), 再連接新平臺(tái)兩端的支鏈(如圖1中Ⅱ所示), 值得注意的是，拓?fù)錂C(jī)構(gòu)只能在已有支鏈的位置進(jìn)行平臺(tái)分形.

1.3.3 鏈臺(tái)分形的定義

鏈臺(tái)分形是指在任意平臺(tái)上分形出一個(gè)支鏈和一個(gè)平臺(tái)分形方式, 且新生成的平臺(tái)為獨(dú)立輸出, 不與機(jī)構(gòu)的輸出動(dòng)平臺(tái)有任何聯(lián)動(dòng)關(guān)系, 即得到多輸出動(dòng)平臺(tái)的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)(如圖1中Ⅲ所示).

必須指出的是: 鏈分形和平臺(tái)分形輸出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為閉環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 即輸出平臺(tái)有且僅有一個(gè); 而鏈臺(tái)分形輸出的是開(kāi)環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 即輸出動(dòng)平臺(tái)不止一個(gè), 適用于多點(diǎn)工作平臺(tái)環(huán)境.本文主要考慮內(nèi)容為閉環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 故鏈臺(tái)分形在本文未予考慮.

由于分形總次數(shù)不受限制, 因此有必要建立分形與支鏈的關(guān)系模型, 具體如式(1)所示.

(1)

式中:Fdof為機(jī)構(gòu)自由度數(shù);Ri為第i個(gè)路徑上的驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副數(shù)(i=1, 2, … ,n);N為分形次數(shù);b為被動(dòng)支鏈數(shù);m為主動(dòng)支鏈數(shù);L為鏈分形次數(shù);P為平臺(tái)分形次數(shù);Pmin為最短支鏈的平臺(tái)分形次數(shù).

1.4 分形與機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的關(guān)系

支鏈作為機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的重要組成部分, 也是分形過(guò)程中最重要的組成環(huán)節(jié).支鏈和分形存在密不可分的關(guān)系, 如圖2所示.

圖2 分形與支鏈的關(guān)系Fig.2 Relationship between fractal and branches

鏈分形需按照其分類(lèi)各自進(jìn)行分析, 即縱向鏈分形和橫向鏈分形, 其中橫向鏈分形的情況比較特殊, 其主體是橫向支鏈, 指用于橫向連接兩平行的中間過(guò)渡動(dòng)平臺(tái)之間的支鏈.經(jīng)過(guò)橫向鏈分形的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)圖就能夠生成多路徑橫向非典型的混聯(lián)機(jī)構(gòu).鏈分形對(duì)支鏈和路徑的影響關(guān)系如圖3所示.

圖3 鏈分形與支鏈的關(guān)系Fig.3 Relationship between branch fractal and branches

2 運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)及運(yùn)算法則

2.1 運(yùn)動(dòng)副的描述

從機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D到混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的轉(zhuǎn)變, 需要經(jīng)歷機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D生成拓?fù)渎窂? 由拓?fù)渎窂蕉x機(jī)構(gòu)支鏈, 再由支鏈適配具有給定末端輸出特征的運(yùn)動(dòng)副.因此, 運(yùn)動(dòng)副的描述是混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要基石, 其可劃分為兩方面: 一是運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)方式, 二是運(yùn)動(dòng)副軸線間方位關(guān)系的表達(dá)方式.

為使運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)更加簡(jiǎn)潔明了, 本文提出了8位二進(jìn)制代碼的表達(dá)方式, 其能清楚地闡述運(yùn)動(dòng)副的種類(lèi)、運(yùn)動(dòng)副與基坐標(biāo)軸的位置關(guān)系、相鄰運(yùn)動(dòng)副軸線的方位關(guān)系及平臺(tái)和支鏈間的連接關(guān)系.值得指出的是, 二進(jìn)制代碼的表達(dá)方式還有利于后續(xù)的數(shù)字化設(shè)計(jì).

2.1.1 單一運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)形式

單一運(yùn)動(dòng)副可由5位二進(jìn)制碼表示, 具體如表1所示.

表1 單一運(yùn)動(dòng)副二進(jìn)制表示方法

單一運(yùn)動(dòng)副可細(xì)分為6種情況, 如圖4所示.

圖4 運(yùn)動(dòng)副的描述

表1可劃分為前后兩部分, 表征不同的含義:

(1) P0.4和P0.3為運(yùn)動(dòng)副類(lèi)別位R、T.若P0.3=1, 則表示運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副; 若P0.4=1, 則表示運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副.P0.3和P0.4不能同時(shí)為1.

(2) P0.2、P0.1和P0.0為運(yùn)動(dòng)副軸線方向位x、y、z, 此方向位的矢量方向與基坐標(biāo)軸方向一致.若P0.0=1, 則表示運(yùn)動(dòng)副的軸線與基坐標(biāo)軸的z軸平行; 若P0.1=1, 則表示運(yùn)動(dòng)副的軸線與基坐標(biāo)軸的y軸平行; 若P0.2=1, 則表示運(yùn)動(dòng)副的軸線與基坐標(biāo)軸的x軸平行.方向位x、y、z最多只能有一位為1.

方向位同時(shí)還可以表示與鄰近運(yùn)動(dòng)副的關(guān)系.當(dāng)兩鄰近運(yùn)動(dòng)副的某一方向位均為1時(shí), 則表示兩運(yùn)動(dòng)副的軸線平行或者同軸; 若兩鄰近運(yùn)動(dòng)副的不同方向位均為1, 則表示兩運(yùn)動(dòng)副的軸線垂直.

2.1.2 相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的方位關(guān)系

由于單一運(yùn)動(dòng)副中的方向位只能表示相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的同軸、平行和垂直3種方位關(guān)系, 且不能區(qū)別同軸和平行.為全面表征各運(yùn)動(dòng)副之間的方位關(guān)系, 需補(bǔ)充3位二進(jìn)制碼進(jìn)一步描述相鄰運(yùn)動(dòng)副間的方位關(guān)系, 如表2所示.

表2 相鄰運(yùn)動(dòng)副方位關(guān)系的表達(dá)方法

(續(xù) 表)

其中, 若相鄰運(yùn)動(dòng)副軸線的方位關(guān)系是軸線成角度, 那么兩運(yùn)動(dòng)副軸線必相交于一點(diǎn).

值得指出的是，大多數(shù)方位關(guān)系都具有傳遞性, 例如平行、同軸等.具有傳遞性的方位關(guān)系為正則方位關(guān)系, 其余為非正則關(guān)系[27].

2.2 運(yùn)算法則

2.2.1 串并聯(lián)計(jì)算法則

適配運(yùn)動(dòng)副的過(guò)程就是已知支鏈輸出位移子集對(duì)運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行定義和二進(jìn)制碼求交、求并運(yùn)算的過(guò)程.運(yùn)動(dòng)副的串聯(lián)就是不同的二進(jìn)制數(shù)組進(jìn)行求并集的過(guò)程; 支鏈的并聯(lián)就是不同的二進(jìn)制數(shù)組進(jìn)行求交集的過(guò)程.

故而, 定義串聯(lián)運(yùn)算符號(hào)為#, 并聯(lián)運(yùn)算符號(hào)為&.由于運(yùn)動(dòng)副方位關(guān)系中存在非正則關(guān)系, 故在計(jì)算中不再引入方位關(guān)系, 只保留xyz的方位表達(dá).

式中: A和B為輸出位移子集; ∪為求并運(yùn)算符; ∩為求交運(yùn)算符.

舉例說(shuō)明, 當(dāng)一個(gè)軸線平行于x軸的圓柱副和一個(gè)軸線平行于x軸的平面副串聯(lián), 由式(2)可求末端輸出的位移子集為

C(x)#G(x)=[R(N, x)·T(N, x)]#[R(N1, x)·T(z)·T(y)]=

式中:C(x)為圓柱副, 其具有沿x軸的移動(dòng)和繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng);G(x)為平面副, 其具有在yz平面內(nèi)具有沿y軸和z軸的移動(dòng)以及繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng).

2.2.2 路徑法則

路徑法則是基于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 對(duì)于給定的機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端輸出位移子集, 找出所有滿(mǎn)足條件的路徑及其支鏈配置.其中, 每條路徑所含支鏈間的關(guān)系定義為串聯(lián)關(guān)系, 各路徑之間定義為并聯(lián)關(guān)系.通過(guò)此定義即可將動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集轉(zhuǎn)化為各支鏈交集和并集的計(jì)算結(jié)果, 如式(3)所示.

(3)

式中:Bij為第j條路徑的第i個(gè)支鏈末端輸出位移子集;Rj表示路徑輸出位移子集;P為機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)輸出位移子集;I為第j條路徑的支鏈總數(shù);J為路徑總數(shù).當(dāng)存在橫向支鏈時(shí), 不同路徑會(huì)存在共用同一支鏈的現(xiàn)象.

舉例說(shuō)明路徑法則, 如圖5所示.

圖5 路徑法則示意Fig.5 An example of a route rule

由圖5可知, 從靜平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)一共有4條路徑, 分別是B1B2、B1B5B3、B3B4、B4B5B2, 由式(3)可推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)輸出為

P=(B1#B2)&(B1#B3#B5)&(B3#B4)&(B4#B5#B2)

3 混聯(lián)構(gòu)型設(shè)計(jì)方案

3.1 混聯(lián)構(gòu)型設(shè)計(jì)依據(jù)

混聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型設(shè)計(jì)是基于與機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)適配相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副, 并判定適配運(yùn)動(dòng)副的布局是否符合設(shè)計(jì)過(guò)程.基于分形類(lèi)別, 混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)被分成兩類(lèi): 第一類(lèi)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D具有橫向支鏈, 且可能后續(xù)分形得到三維分形混聯(lián)機(jī)構(gòu)(如圖6(a)所示); 第二類(lèi)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D不具備橫向支鏈的特征, 即不存在橫向鏈分形的可能(如圖6(b)所示).

圖6 混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)Fig.6 Hybrid robot mechanisms

3.2 混聯(lián)構(gòu)型設(shè)計(jì)原則

基于2.2節(jié)研究表明, 對(duì)于給定的末端動(dòng)平臺(tái)輸出位移子集P, 由式(3)可分別推導(dǎo)出路徑輸出位移子集Rj和支鏈末端輸出位移子集Bij, 從而實(shí)現(xiàn)給定末端輸出位移子集的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計(jì).為簡(jiǎn)化有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì), 本文選定最短路徑, 即混聯(lián)機(jī)器人的末端動(dòng)平臺(tái)輸出位移子集與所選最短支鏈的輸出位移子集一致, 因此, 最短路徑上的每個(gè)元素皆為驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副, 其余的運(yùn)動(dòng)副可為被動(dòng)運(yùn)動(dòng)副.

基于最短路徑, 混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)原則可以表示為:

(1) 若僅進(jìn)行鏈分形, 則所得的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D為多支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu), 若要實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì), 其適配的運(yùn)動(dòng)副需存在串聯(lián)運(yùn)動(dòng)副的形式, 或者選擇串聯(lián)構(gòu)型替代并聯(lián)支鏈;

(2) 若僅進(jìn)行平臺(tái)分形, 則所得機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D為多平臺(tái)串聯(lián)機(jī)構(gòu), 若要實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì), 其適配的運(yùn)動(dòng)副需存在并聯(lián)運(yùn)動(dòng)副的形式, 或者選擇并聯(lián)構(gòu)型替代串聯(lián)支鏈;

(3) 對(duì)于含有橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 與最短路徑中的支鏈處于對(duì)稱(chēng)或者平行位置的支鏈, 其輸出位移子集必須是對(duì)應(yīng)最短路徑中的支鏈輸出位移子集的父集或者其本身.

3.3 混聯(lián)構(gòu)型的設(shè)計(jì)方法

根據(jù)上述設(shè)計(jì)原則及理論依據(jù), 混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計(jì)步驟如下:

(1) 繪制最簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D.基于最簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 依據(jù)混聯(lián)構(gòu)型設(shè)計(jì)原則生成構(gòu)型拓?fù)鋱D; 對(duì)于給定的構(gòu)型拓?fù)鋱D, 依據(jù)式(3)路徑法則推導(dǎo)其拓?fù)渎窂?

(2) 基于步驟(1)中的路徑, 采用Matlab編程的方式獲得滿(mǎn)足條件的支鏈, 選取支鏈并適配運(yùn)動(dòng)副, 完成設(shè)計(jì)過(guò)程.

(3) 依照式(2)計(jì)算各個(gè)支鏈B1-Bm(m為支鏈總數(shù))的輸出位移子集, 再將結(jié)果代入到步驟(1)中的各路徑計(jì)算式中, 獲得各路徑輸出位移子集.

(4) 已知路徑間為并聯(lián)關(guān)系, 可推導(dǎo)出末端動(dòng)平臺(tái)輸出位移子集, 并與預(yù)期的末端輸出位移子集比較, 若一致, 則表明結(jié)果已核實(shí), 完成證明過(guò)程.

為了更加清楚地表達(dá)具體設(shè)計(jì)步驟, 用流程圖來(lái)反映設(shè)計(jì)流程, 如圖7所示.

圖7 混聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)流程圖Fig.7 A design flowchart of hybrid robot

4 2T1R三自由度混聯(lián)機(jī)器人型綜合

4.1 混聯(lián)構(gòu)型綜合

為驗(yàn)證上述混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的有效性, 根據(jù)該方法的設(shè)計(jì)步驟, 設(shè)計(jì)一種末端動(dòng)平臺(tái)輸出為2T1R的混聯(lián)機(jī)器人.

首先對(duì)最簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行分形, 可分為兩種情況: 平臺(tái)分形和鏈分形, 如圖8所示.以圖8中平臺(tái)分形為例, 經(jīng)多次分形后獲得多種機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D, 如圖9所示.

圖8 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D初次分形Fig.8 First fractal of topological graph

(a) P-L1-L2 (b) P-L0

(c) P-L0-P1 (d) P-L0-P1-l46圖9 多次分形后的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱DFig.9 Topological graph after several fractal

基于式(3), 圖9所示機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)末端輸出位移子集為:

(1) (B1#B2)& (B1#B3)&(B2#B4)& (B4#B3);

(2) (B1#B2)&B3;

(3) (B1#B2)& (B3#B4);

(4) (B1#B2)& (B1#B3#B5)& (B3#B4)& (B4#B5#B2).

不失一般性, 進(jìn)一步以圖9(d)所示的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D為例, 假設(shè)B1B2為最短路徑2T1R, 為保證給定的機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端輸出特征, 因此, 其余各路徑的最終輸出位移子集必為2T1R的父集或其本身, 且符合設(shè)計(jì)原則.

為實(shí)現(xiàn)基于圖9(d)所示的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的構(gòu)型設(shè)計(jì), 必須確定: (1)除最短路徑外其余路徑的輸出位移子集; (2)符合路徑輸出位移子集的各支鏈的輸出位移子集.其中, (1)的Matlab求解程序偽代碼如下:

1 由父集可得路徑各自由度:

2 a={2T1R 2T2R 2T3R 3T1R 3T2R 3T3R}

3 for E=a1: a6

4 for F=a1: a6

5 for G=a1: a6

6 output E, F, G

7 end

8 end

9 end

對(duì)于求解后的剩余路徑輸出位移子集, 設(shè)B1B2合成路徑為a,B3B4合成路徑為E,B1B5B3合成路徑為F,B4B5B2合成路徑為G, 則要求各支鏈滿(mǎn)足式(4).

(4)

式中:B1B2的位移子集分別為T(mén)(U)R(U)和T(V), {E}、{F}、{G}分別為路徑E、F、G的輸出位移子集.對(duì)于給定的輸出位移子集{E}、{F}、{G}, 其支鏈的末端輸出位移子集的Matlab求解程序偽代碼如下:

1 E=[TXTYTZRXRYRZ];

2 F=[ TXTYTZRXRY];

3 G=[ TXTYTZRXRY];

4 [m, n]=size(intersect(E, G));

5 A1=intersect(E, G);

6 a=length(A1);

7 for i=1: a

8 S=nchoosek(A1, i);

9 [m1, n1]=size(S);

10 for j=1: m1

11 A=S(j, : )

12 B1=setdiff(E, A);

13 u=exp(0.6931*length(A))-1;

14 if u<=1

15 B=B1

16 C1=union(setdiff(G, A), setdiff(F, B));

17 C=C1

18 C=union(A, C)

19 B=[A B1]

20 C1=union(setdiff(G, A), setdiff(F, B));

21 C=C1

22 C=union(A, C)

23 end

24 if u>1

25 B=B1

26 C1=union(setdiff(G, A), setdiff(F, B));

27 C=C1

28 C=union(A, C)

29 for k=1: u

30 T1=nchoosek(A, k);

31 [m2, n2]=size(T1);

32 for l=1: m2

33 T=T1(l, : );

34 B=[B1 T]

35 C1=union(setdiff(G, A), setdiff(F, B));

36 v=exp(0.6931*length(B))-1;

37 if v<=3

38 C=C1

39 C=union(A, C)

40 end

41 if v>3

42 C=C1

43 for p=1: length(A)

44 W1=nchoosek(A, p);

45 [m3, n3]=size(W1);

46 for q=1: m3

47 C2=W1(q, : );

48 C=C1;

49 C=union(C, C2)

50 end

51 end

52 此處為節(jié)省空間省略若干end

53 end

其中的一組支鏈運(yùn)動(dòng)副如表3所示, 此處采用李群理論[28-29]對(duì)適配運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行分析.以B1為例進(jìn)行說(shuō)明, T(U)代表移動(dòng)副T, 沿單位矢量x方向移動(dòng); R(U)代表轉(zhuǎn)動(dòng)副R, 其軸線繞單位矢量x轉(zhuǎn)動(dòng).其中U、V、W分別代表單位矢量x、y、z.

根據(jù)選擇的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和適配的運(yùn)動(dòng)副繪制混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型, 如圖10所示.

表3 支鏈適配運(yùn)動(dòng)副

注：U、V、W分別代表單位矢量x、y、z.

圖10 2T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型三維圖Fig.10 3D model of 2T1R hybrid mechanisms

值得指出的是, 上述求解過(guò)程同樣適用于圖9中(a)、(b)、(c)所示的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的構(gòu)型綜合, 限于篇幅這里不做進(jìn)一步的闡述.

同時(shí), 需要指出的是, 本文所論述的基于分形理論的混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法, 不僅可以用于只包含縱向支鏈的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì), 且還能完成具有橫向支鏈的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì), 如圖11所示.其中的橫向支鏈設(shè)計(jì)彌補(bǔ)了其他混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)理論只能縱向延伸的缺點(diǎn), 拓寬混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)思路, 使得混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)全方位發(fā)展.

圖11 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型圖Fig.11 Configuration of hybrid mechanisms

4.2 運(yùn)動(dòng)特征分析

為驗(yàn)證上述構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性, 以圖10所示的混聯(lián)機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行機(jī)構(gòu)的末端運(yùn)動(dòng)特征分析如下.

由圖9 (d)可知, 從靜平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)的路徑共有4條, 分別是B1B2,B1B5B3,B4B3,B4B5B2.基于式(2), 可計(jì)算各路徑的輸出位移子集如下:

可得最終動(dòng)平臺(tái)的輸出為

由此表明, 機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端輸出位移子集確實(shí)為期望的運(yùn)動(dòng)輸出位移子集, 核實(shí)無(wú)誤, 從而驗(yàn)證了上述混聯(lián)機(jī)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文基于分形理論提出了一種混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計(jì)方法, 其能夠有效地解決多路徑橫向非典型混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計(jì)問(wèn)題, 并得到以下結(jié)論:

(1) 根據(jù)分形理論建立了對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的有序分形, 并通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)副的分配及輸出位移子集的排列組合, 實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型的多樣化;

(2) 所提出的路徑法則可用于求解復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的多路徑輸出, 與此同時(shí)規(guī)定了運(yùn)動(dòng)副輸出位移子集的串并聯(lián)計(jì)算法則, 并揭示了串并聯(lián)計(jì)算法則與分析方式之間的內(nèi)在聯(lián)系;

(3) 實(shí)現(xiàn)了2T1R混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)，并驗(yàn)證了本文所提出的混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的正確性.

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(責(zé)任編輯: 徐惠華)

A Methodology for Type Design of Hybrid Robot Mechanism Based on Fractal Theory

GEShuyi1a,CAOYi1a, 1b, 2a, 2b,DINGZehua1a,ZHOURui1a,ZHUJingyuan1a

(a. School of Mechanical Engineering; b. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, 1. Jiangnan University, Wuxi 214122, China; a. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration; b. Key Laboratory of System Control and Information Processing, Ministry of Education, 2. Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240, China)

In order to obtain the configuration of the hybrid robot, a novel structural design methodology is proposed based on the fractal theory which also could apply to solve the design problems of multipath atypical hybrid mechanism with horizontal branches. Firstly, the basic concept of the topological graph and the fractal theory are expounded. Secondly, the binary code that represents the kinematic pair and their position relationship is established. Then the route rule for dealing with the topological graph and the calculation rule of union-intersection-preserving for deriving the kinematic pair are defined. According to the fractal theory the topological graph after fractal process is equipped with applicable kinematic pairs, so that the holistic hybrid mechanism can be acquired. Finally, the structure of the hybrid mechanism with two-translation and one-rotation is achieved that demonstrates the validity of the methodology.

hybrid robot mechanism; topological graph; fractal theory; route rule; binary code

1671-0444 (2017)02-0242-09

2016-03-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075, 51505190)；江蘇省"六大人才高峰"資助項(xiàng)目(ZBZZ-012)；系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(scip201506)；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)；江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(FM-201402)

葛姝翌(1992—)，女，河北秦皇島人，碩士研究生，研究方向?yàn)榛炻?lián)機(jī)構(gòu)學(xué)理論及機(jī)器人技術(shù).E-mail: geshuyi0105@foxmail.com 曹 毅(聯(lián)系人)，男，副教授，E-mail: caoyi@jiangnan.edu.cn

TH 112

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