一類捕食-食餌模型的初邊值問題

查 淑 玲

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

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【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

一類捕食-食餌模型的初邊值問題

查 淑 玲

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

研究了一類捕食-食餌模型的初邊值問題。利用上下解方法及不動點(diǎn)理論,證明了模型的初邊值問題解的存在性和唯一性,得到了正解存在的充分條件。

響應(yīng)函數(shù)；平衡態(tài)；上下解

在生態(tài)學(xué)中,不同類型的物種之間會存在相互作用,國內(nèi)外有為數(shù)不少的生態(tài)數(shù)學(xué)工作者相繼對物種間存在的捕食現(xiàn)象進(jìn)行了研究。捕食者對食餌的功能反應(yīng)有很多類型,文獻(xiàn)[1]對帶有Neumann邊界條件的食物和獵物相互作用的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[1]的模型為

(1)

初值與邊值條件為

其中：u和v為食物和獵物的物種密度,Ω是食物和獵物的生存空間且具有光滑邊界?Ω,?/?n是?Ω沿單位外法向量的方向?qū)?shù),di(i=1,2)是食物u和獵物v的擴(kuò)散系數(shù),β和m表示獵物的捕食率和飽和率,a和b為內(nèi)稟增長率,考慮到獵物捕食過程中食物起到的合理影響,響應(yīng)函數(shù)βu/(u+mv)為比例依賴的,而v/u表示環(huán)境對獵物的承載能力。

文獻(xiàn)[1]獲得了系統(tǒng)(1)唯一的正常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性;對于系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)問題,文獻(xiàn)[2]建立了正平衡解上下界的先驗(yàn)估計(jì),并且導(dǎo)出了當(dāng)物種的擴(kuò)散系數(shù)很大或者很小時非常數(shù)正平衡解的一些不存在性結(jié)果;文獻(xiàn)[3]結(jié)合平衡態(tài)解的先驗(yàn)估計(jì),利用局部分歧理論,研究了在Neumann邊界條件下系統(tǒng)(1)的平衡解的局部分歧的存在性,得到了其正平衡解存在的充分條件。本文則利用上下解的方法[4-8],在前人工作的基礎(chǔ)上,給出下列系統(tǒng)(2)解的存在唯一性及解的發(fā)展趨勢。

捕食-食餌系統(tǒng)(2)為

(2)

設(shè)初始時刻食餌和獵物的密度分別為u0和v0,并且捕食過程只在區(qū)域Ω內(nèi)發(fā)生,即

(3)

取f=u(a-u-βv/(u+mv)),經(jīng)過計(jì)算得fv=-βu2/(u+mv)2≤0,f關(guān)于v是擬減的,取g=v(b-v/u),因?yàn)間u=v2/u2≥0,故g關(guān)于u是擬增的。根據(jù)函數(shù)f和g的連續(xù)性和單調(diào)性,f和g關(guān)于u和v滿足Lipsichltz條件,記Lipsichltz常數(shù)為K。

1 上下解的存在性

本節(jié)根據(jù)弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散方程組的邊值問題解的理論,通過上下解的定義,分別構(gòu)造所討論系統(tǒng)(2)常數(shù)形式的上下解和指數(shù)形式的上下解。

因?yàn)楹瘮?shù)f和g的擬單調(diào)性,系統(tǒng)(2)的上下解需要滿足下列定義。

(4)

(5)

1.1 常數(shù)上解和下解

解得

由于環(huán)境中Na和Ca含量高，樣品處理過程中非常容易沾污。因此，超純水需要使用現(xiàn)接的水，樣品前處理與相應(yīng)的測定也需盡快完成。

解得

當(dāng)參數(shù)滿足條件

1.2 指數(shù)形式的上解

根據(jù)反應(yīng)擴(kuò)散方程引論可知,特征值問題

(6)

及

p(0)Φ(x)≥u0,q(0)Φ(y)≥v0。

(7)

為了上述不等式(6)(7)成立,首先需要解微分不等式dp(t)/dt+λ0p(t)-ap(t)≥0,根據(jù)不等式的特點(diǎn),只需要取

p(t)=p(0)e-(λ0-a)t,

將p(t)代入式(6)有

對上式進(jìn)行適當(dāng)放縮有

通過求解微分方程,滿足上述不等式的q(t)取為

當(dāng)p(0)≥u0/φm,q(0)≥v0/φm時,

為系統(tǒng)(2)(3)的指數(shù)形式上解。

2 解的存在唯一性

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

根據(jù)迭代格式及引理1,可得

從而得到下面的定理

即

若上述的主特征值滿足λ0>max{a,b},根據(jù)指數(shù)形式的上解可知,當(dāng)t→+∞時,(u,v)均趨向于0,這一結(jié)論說明了系統(tǒng)(2)的平衡解不是指數(shù)穩(wěn)定的。

[1]BrazaPA.TheBifurcationStructureoftheHolling-TannerModelforPredator-PreyInteractionsUsingTwo-Timing[J].SiamJournalonAppliedMathematies,2003,63(3):889-904.

[2] 彭銳,王明新.一類具有擴(kuò)散和比例依賴響應(yīng)函數(shù)捕食模型的定性分析[J].中國科學(xué)(A),2008,38(2):135-148.

[3] 查淑玲.一類捕食-食餌模型平衡解的局部分歧的存在性[J].陜西理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009,25(2):82-84.

[4] 周同藩.一類二階半線性系統(tǒng)周期解的存在性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2015,32(5):690-696.

[5] 林騏,陳莉敏.一類流行病數(shù)學(xué)模型解的研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,17(1):15-19.

[6] 王長有,李樹勇,楊治國.含時滯的反應(yīng)擴(kuò)散方程周期解的存在唯一性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004,27 (4):339-342.

[7] 查淑玲.一類弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的動力學(xué)分析及應(yīng)用[J].陜西理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,27(2):78-82.

[8] 薛應(yīng)珍.一類具非局部源和邊界流拋物型方程組解的性質(zhì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,38(3):355-358.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Initial Boundary Value Problem for A Class of Predator-prey Mode

ZHA Shu-ling
(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

The initial boundary value problem for a class of predator-prey model is investigated in this paper. The existence and the uniqueness of the solution to the initial-boundary value problem are proved by using the method of upper and lower solutions and fixed point theory; besides, the positive solutions are obtained.

response function; steady-state; upper and lower solutions

2017-03-18

陜西省扶持學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金資助項(xiàng)目:渭南地區(qū)艾滋病病毒動力學(xué)模型的研究(14SXZD019);渭南師范學(xué)院特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目:數(shù)學(xué)方法在秦東經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展中的應(yīng)用(14TSXK02)

查淑玲(1965—),女,陜西潼關(guān)人,渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授，主要從事微分方程及計(jì)算可視化研究。

O175.26

A

1009-5128(2017)12-0005-05