有推力約束航天器交會(huì)的模型預(yù)測(cè)制導(dǎo)策略

葉東， 張宗增， 吳限德

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

?

有推力約束航天器交會(huì)的模型預(yù)測(cè)制導(dǎo)策略

葉東1， 張宗增1， 吳限德2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對(duì)具有推力幅值和方向約束的航天器交會(huì)問(wèn)題，本文提出了基于模型預(yù)測(cè)控制算法的制導(dǎo)策略。在建立推力幅值約束和方向約束數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將交會(huì)相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型與約束模型預(yù)測(cè)控制理論相結(jié)合，以離散二次型函數(shù)為性能指標(biāo)，建立了航天器交會(huì)的模型預(yù)測(cè)控制算法。本文分析了影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的三大因素：局部鎮(zhèn)定器、終端代價(jià)函數(shù)和終端約束集。仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性和可行性：在推力大小和方向有約束的情況下，實(shí)現(xiàn)了追蹤航天器與目標(biāo)航天器的快速交會(huì)。

航天器交會(huì)；制導(dǎo)；推力；約束；離散化；模型預(yù)測(cè)控制；混雜系統(tǒng)；二階錐規(guī)劃

空間交會(huì)技術(shù)是航天領(lǐng)域一項(xiàng)非常復(fù)雜、難度很大的工作。隨著航天技術(shù)尤其載人航天技術(shù)的發(fā)展，空間交會(huì)技術(shù)也得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。未來(lái)幾十年，世界范圍內(nèi)的航天活動(dòng)將包括建立軌道空間站，載人登月并建立月球基地，載人行星或小行星探測(cè)等任務(wù)。從這些航天活動(dòng)的特點(diǎn)來(lái)看，均需要實(shí)現(xiàn)航天器在地球軌道或星際間的交會(huì)。

交會(huì)過(guò)程中的一個(gè)重要影響因素是追蹤航天器的推力約束問(wèn)題。推力約束包含兩個(gè)方面，即幅值約束和方向約束。由于航天器的承載能力有限，發(fā)動(dòng)機(jī)本身能產(chǎn)生的推力也有限。國(guó)內(nèi)外已對(duì)小推力交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究，一般將追蹤航天器推力視為常值小推力[1-6]。文獻(xiàn)[7]將控制輸入約束的交會(huì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問(wèn)題。Yamakawa使用C-W方程提出了常值徑向小推力作用下周期軌道的半解析方法[8]。Paul采用分段多項(xiàng)式的方法解決了常值推力下的軌道優(yōu)化問(wèn)題[9]。Pardis研究了航天器推力飽和時(shí)交會(huì)的優(yōu)化問(wèn)題[10-11]。文獻(xiàn)[12]研究了針對(duì)衛(wèi)星星座重組機(jī)動(dòng)時(shí)小推力優(yōu)化問(wèn)題，考慮了推力約束和過(guò)程約束。Lantoine考慮了交會(huì)中的推力幅值限制和避免碰撞約束等條件，采用有約束的線性二次調(diào)節(jié)器完成了交會(huì)過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)[13]。

此外，考慮到在交會(huì)過(guò)程中，敏感器視域、光學(xué)測(cè)量器對(duì)光照條件的要求[14]以及避免在對(duì)接時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)火焰對(duì)目標(biāo)器的影響等因素，有必要考慮推力方向約束下的制導(dǎo)策略。Sukhanov對(duì)考慮推力方向約束的小推力軌道轉(zhuǎn)移作了研究，得出了一些必要的優(yōu)化條件[15-16]。Bertrand采用平滑策略解決了bang-bang優(yōu)化控制問(wèn)題，之后Mitani將平滑策略應(yīng)用到具有幅值和方向約束的連續(xù)推力的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題上[17-18]。Willard Curtis等研究了一種新的非線性控制方法[19]，Mitani將此方法應(yīng)用到交會(huì)過(guò)程，并引入推力約束，成功實(shí)現(xiàn)了有約束交會(huì)對(duì)接的控制律設(shè)計(jì)[20-21]。

模型預(yù)測(cè)控制不但在普通工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[22]，而且正逐漸應(yīng)用到航空航天領(lǐng)域。模型預(yù)測(cè)控制既可以應(yīng)用到小推力航天器星際轉(zhuǎn)移問(wèn)題[23]，又被應(yīng)用到航天器交會(huì)和逼近操作過(guò)程的制導(dǎo)領(lǐng)域[24]。Sheared將約束模型預(yù)測(cè)控制應(yīng)用到F-16模型中[25]。朱彥偉等研究了航天器近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的模型預(yù)測(cè)控制[26]。Singh將模型預(yù)測(cè)控制應(yīng)用到航天器逼近過(guò)程中，解決了多種限制下的航天飛機(jī)與ISS之間的交會(huì)對(duì)接問(wèn)題[27]。

在對(duì)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀進(jìn)行相關(guān)調(diào)研后，發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)對(duì)推力方向受限的軌道控制問(wèn)題上的研究目前文獻(xiàn)不多，多數(shù)研究集中在常值徑向推力方向。同時(shí)將模型預(yù)測(cè)控制應(yīng)用到航天器交會(huì)過(guò)程的研究相對(duì)缺乏或者對(duì)推力約束問(wèn)題的討論不深。因此，可以將模型預(yù)測(cè)控制應(yīng)用到航天器交會(huì)中，并用來(lái)處理推力約束問(wèn)題。

1 航天器交會(huì)動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)目標(biāo)星軌道為圓軌道時(shí)的C-W方程如下[28]

(1)

進(jìn)行如下變換：

(2)

式中：αmax為最大推力加速度。

(3)

其中

航天器在交會(huì)中會(huì)受到推力約束，推力約束分為幅值約束和方向約束兩部分。這里取航天器的最大推力加速度為αmax=0.02m/s2；定義推力方向角為y與-u之間的夾角，見(jiàn)圖1，這里取約束角為γ。下面給出推力約束條件如下：

幅值約束條件：

‖u‖≤αmax

(4)

方向約束條件：

(5)

圖1 推力方向角Fig.1 The thrust direction angle

2 模型預(yù)測(cè)控制交會(huì)制導(dǎo)算法設(shè)計(jì)

模型預(yù)測(cè)控制理論能夠很好地處理約束問(wèn)題，因此本節(jié)將模型預(yù)測(cè)控制算法應(yīng)用到航天器交會(huì)中。首先對(duì)式(3)做離散化處理，設(shè)采樣時(shí)間為T(mén)，變換為

(6)

假設(shè)預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域均為p，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的迭代如下

? ?

(7)

將式(7)簡(jiǎn)化為

(8)

其中

離散二次型指標(biāo)函數(shù)選為

(9)

式中：Q=diag(q，q，q，q)，q>0;R1=I2×2，S> 0。

將式(8)代入式(9)中，可得

(10)

其中

2.1 無(wú)約束模型預(yù)測(cè)控制律

最優(yōu)化求解過(guò)程是確定使得指標(biāo)函數(shù)值最小的最優(yōu)輸入序列：

(11)

(12)

(13)

預(yù)測(cè)控制將最優(yōu)控制序列的第一個(gè)元素作用于被控對(duì)象，即有

(14)

2.2 約束模型預(yù)測(cè)控制算法

1) 0∈XT；

(15)

對(duì)上述給定的仿真條件的合理性進(jìn)行分析。影響反饋矩陣κ和權(quán)重矩陣S的兩個(gè)重要參數(shù)為q和T，它們的取值分別為[0.1 1 10 50 100]和[0.001 0.01 0.05 0.1 0.5]，其中T的取值不能過(guò)大。

(16)

表1 收斂性與q、T的關(guān)系

Table 1 The relationship between system convergence and parametersq，T

Tq0.1110501000.001+++++0.01+++++0.05+++++++++0.1++++++++++++++0.5++++++———

注：其中+代表收斂性弱，++代表收斂性中，+++代表收斂性強(qiáng)；—代表無(wú)解。

圖2表示了Ac的閉環(huán)極點(diǎn)隨q的變化情況。從圖中可以看出，在T=0.05時(shí)，對(duì)應(yīng)q閉環(huán)極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，說(shuō)明了在該條件下式(16)是收斂的。隨著q的增大，可以看出閉環(huán)極值點(diǎn)到原點(diǎn)的距離在變小，即系統(tǒng)的收斂性變強(qiáng)。

圖2 Ac的閉環(huán)極點(diǎn)隨q的變化Fig.2 Poles of Ac influenced by q

圖3表示了Ac的閉環(huán)極點(diǎn)隨T的變化情況。從圖中可以看出，在q=50時(shí)，對(duì)應(yīng)T閉環(huán)極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，說(shuō)明了在該條件下式(16)是收斂的。隨著T的增大，可以看出閉環(huán)極值點(diǎn)到原點(diǎn)的距離在變小，即系統(tǒng)的收斂性變強(qiáng)。

圖3 Ac的閉環(huán)極點(diǎn)隨T的變化Fig.3 Poles of Ac influenced by T

系統(tǒng)終端狀態(tài)與閉環(huán)極點(diǎn)的特征值和特征向量具有一定的關(guān)系。通過(guò)不同的q和T值得收斂值和理論值之間的關(guān)系，見(jiàn)表2，從表中可以看出，在|θ|∞能夠收斂的情況下，理論值和仿真的收斂值基本相等；不收斂情形時(shí)，|θ|∞呈現(xiàn)一定的周期性變化，變化范圍較大。在q、T較大時(shí)，收斂值可以在30°以?xún)?nèi)。

表2 |θ|∞的收斂值與理論值

綜上所述，在計(jì)算局部鎮(zhèn)定器的反饋矩陣κ和終端代價(jià)函數(shù)的權(quán)重矩陣S時(shí)采用的仿真條件既考慮了系統(tǒng)收斂性的影響，又不至于選擇過(guò)大的T使離散化后的精度降低，同時(shí)保證在終端約束集內(nèi)收斂角較小，是較為合理的選擇。

下面求解系統(tǒng)的終端約束集。如果系統(tǒng)狀態(tài)變量滿(mǎn)足

(17)

(18)

令W=P-1，上式根據(jù)Schur補(bǔ)定理，變?yōu)?/p>

(19)

終端約束集除了滿(mǎn)足式(18)外，還應(yīng)該滿(mǎn)足推力約束，在這里只考慮幅值約束，即有

(20)

(21)

通過(guò)求解下面的MAXDET問(wèn)題：

(22)

可得到終端約束集的P的形式，結(jié)果如下

根據(jù)上述所述，在線優(yōu)化的算法即在每個(gè)采樣時(shí)刻的預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)求解如下最優(yōu)化問(wèn)題：

(23)

(24)

那么

(25)

(26)

將Jk進(jìn)行變換，得到如下形式

(27)

(28)

式中：ξ為新引進(jìn)的優(yōu)化指標(biāo)，這樣優(yōu)化問(wèn)題(23)轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃形式：

(29)

綜上所述，上述系統(tǒng)是一個(gè)混雜系統(tǒng)，受控對(duì)象是連續(xù)模型，控制算法需要在線滾動(dòng)優(yōu)化，因而是離散的。圖4表示了混雜系統(tǒng)的控制框圖。

圖4 混雜系統(tǒng)的控制框圖Fig.4 Control block diagram of mixed system

3 仿真校驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的算法，建立以下仿真條件：設(shè)r0=10 km，θ0=0°，那么初始位置和速度滿(mǎn)足[x0y0vx0vy0]T=r0[cosφ0-2sinφ0-sinφ0-2cosφ0]T。下面以初始相位角取φ0=150°時(shí)來(lái)進(jìn)行仿真。地球引力常數(shù)μ =3.986×1014m3s-2，地球半徑Re=6 378.136km，目標(biāo)航天器軌道高度h =500km，最大約束加速度αmax=0.02m/s2，模型預(yù)測(cè)控制下的推力約束角γ =60°，預(yù)測(cè)時(shí)域p=50，T=0.05，q=50，狀態(tài)模型的遞推步長(zhǎng)為ΔT=0.005。仿真結(jié)束條件設(shè)為追蹤航天器與目標(biāo)航天器距離r≤1 m和v≤5.5×10-4m/s。仿真結(jié)果見(jiàn)圖5～7。

從圖5看出，從給定的初始點(diǎn)位置，軌道曲線收斂到原點(diǎn)，即追蹤航天器能夠?qū)崿F(xiàn)與目標(biāo)航天器的交會(huì)。但無(wú)約束時(shí)，軌道曲線相對(duì)平直，目標(biāo)航天器到達(dá)結(jié)束條件所需要的時(shí)間較短。在考慮約束情況時(shí)，由于對(duì)推力幅值和方向的限制，目標(biāo)航天器需要在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的軌道曲線相對(duì)彎曲，而且目標(biāo)航天器到達(dá)結(jié)束條件時(shí)花費(fèi)的時(shí)間更長(zhǎng)。從圖6和圖7看出，在不考慮約束時(shí)，控制輸入和推力方向角在一定時(shí)間內(nèi)會(huì)比較大；有約束時(shí)控制輸入和推力方向角能被限制在約束條件內(nèi)。

圖5 軌道曲線Fig.5 Rendezvous orbit trajectory

圖6 控制輸入曲線Fig.6 Rendezvous control input

圖7 推力方向角曲線Fig.7 Rendezvous thrust direction

4 結(jié)論

1) 模型預(yù)測(cè)控制算法能夠很好地控制追蹤航天器實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)航天器之間的交會(huì)；

2) 從仿真結(jié)果來(lái)看，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)策略能夠滿(mǎn)足系統(tǒng)約束的要求；

3) 相對(duì)于無(wú)約束情形，有約束交會(huì)需要花費(fèi)更長(zhǎng)的時(shí)間，軌道曲線更彎曲。

本文提出的算法基于目標(biāo)星為圓軌道的情況并忽略了擾動(dòng)，具有一定的局限性，因此實(shí)際應(yīng)用受到一定限制，后續(xù)需要研究更復(fù)雜的情形。本文的策略將推力幅值約束和推力方向約束均考慮到交會(huì)過(guò)程中，具有一定的新穎性，為后續(xù)研究提供一定的借鑒意義。

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Model predictive based guidance strategy for spacecraft
rendezvous with thrust constraints

YE Dong1， ZHANG Zongzeng1， Wu Xiande2

(1.Research Center of Satellite Technology， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China； 2.College of Aerospace and civil Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China)

For a spacecraft rendezvous with magnitude and direction constraints of thrust， a novel rendezvous guidance strategy was proposed based on the model prediction control algorithm. Using the mathematical model of the magnitude and direction constraints of thrusts and taking the discrete quadratic function as the performance index， this paper established a model prediction control algorithm on spacecraft rendezvous by combining the constrained model prediction control theory with the relative dynamic model. Three important factors about stabilization， including a local subdue， terminal cost function， and terminal constraint set were analyzed in detail. Simulation results show the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm: when the magnitude and direction of thrust are constrained， a rapid rendezvous between the chasing spacecraft and the target spacecraft can be realized.

spacecraft rendezvous; guidance; thrust; constraints; discretization; model prediction control; hybrid system; second-order cone programming

2016-01-21.

日期：2017-04-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61603115)；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA122904)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(HIT.NSRIF.2015033)；中國(guó)博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2015M81455)；微小型航天器技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(HIT.KLOF.MST.201501)；黑龍江省博士后基金項(xiàng)目(LBH-Z15085).

葉東(1985-)， 男， 講師， 博士； 吳限德(1963-)，男，副教授，博士.

E-mail:wuxiande@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201601074

V448.22

A

1006-7043(2017)05-0759-07

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