仿射變換的二階微分方程生命信號(hào)濾波算法

周游， 王鵬飛， 査富生， 郭偉， 李滿天

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱 150001)

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仿射變換的二階微分方程生命信號(hào)濾波算法

周游， 王鵬飛， 査富生， 郭偉， 李滿天

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱 150001)

由于微小型嵌入式系統(tǒng)尺寸和計(jì)算能力的限制，在對(duì)生命體征信號(hào)進(jìn)行檢查時(shí)，往往較難實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)與精確兼顧。為了解決該問題，本文提出了一種基于二階微分方程與仿射變換理論結(jié)合的心電信號(hào)濾波算法(ATSDEF)，并進(jìn)行了與粒子濾波方法的濾波性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了ATSDEF方法有較粒子濾波更好的濾波性能。通過微小型嵌入式心電測(cè)量系統(tǒng)對(duì)正常與異常心電信號(hào)進(jìn)行在線濾波實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該算法可以有效的濾除心電信號(hào)的噪聲，且能夠保持心電信號(hào)中較為微弱的細(xì)節(jié)特征，從而保證了信號(hào)濾波后的精度，解決了微小型嵌入式系統(tǒng)的實(shí)時(shí)信號(hào)處理難題。

心電信號(hào)；微小型嵌入式系統(tǒng)；二階微分方程；龍格庫(kù)塔；仿射變換；濾波

生命特征信號(hào)是一種不穩(wěn)定、非線性且具有概率性的信號(hào)，因此對(duì)于人體疾病監(jiān)測(cè)來說，盡可能地準(zhǔn)確濾除噪聲對(duì)提取生命體征信號(hào)特征以及心臟疾病診斷顯得尤為重要。特別是在人體自身以及外界隨機(jī)擾動(dòng)下，生命體征信號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)生命信號(hào)異常、信號(hào)基線發(fā)生漂移，甚至是信號(hào)被噪聲掩埋。此時(shí)如何濾除上述干擾，仍是信號(hào)處理領(lǐng)域的難題，特別是針對(duì)微小型、嵌入式、多任務(wù)系統(tǒng)，由于該類系統(tǒng)計(jì)算資源的限制，較難運(yùn)行計(jì)算量較大的濾波算法[1-2]。

為了解決該難題，研究人員做了大量研究，并提出了眾多濾波方法，如粒子濾波法[3]、變換域自適應(yīng)濾波法[4]、自適應(yīng)小波濾波法[5-7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊濾波法[8]等，但都沒有取滿意效果。尤其是近年來對(duì)微弱信號(hào)處理以及實(shí)時(shí)性要求的提高(如微納制造、人體生命特征信息檢測(cè)、超遠(yuǎn)距離通訊等等)，導(dǎo)致傳統(tǒng)濾波方法解決這類情況較難獲得滿意的效果。本文基于二階微分方程本身所固有的頻率響應(yīng)能力，結(jié)合仿射變換理論，提出了一種可處理較微弱心電信號(hào)的濾波算法(affine transformation of second order differential equation filtering，ATSDEF)，通過與粒子濾波方法的對(duì)比來說明ATSDEF方法的性能，最后，利用心電信號(hào)實(shí)時(shí)測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)正常和異常心電信號(hào)濾波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法的有效性。

1 二階微分方程算法

一個(gè)典型的二階齊次微分方程有如下頻率響應(yīng)形式：

(1)

式中 ω和ξ分別為二階微分方程的固有頻率和阻尼率。

由式(1)可以看出，由于二階微分方程是眾多物理現(xiàn)象(如機(jī)械振動(dòng)、粒子振動(dòng)、RLC振蕩電路等等)的歸一化方程，因此，其具有明顯的振蕩輸出，即具有頻率響應(yīng)特性的，因此，從理論上看，式(1)應(yīng)具有一定的濾波能力。

為了驗(yàn)證式(1)是否具有濾波能力，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：利用Matlab模擬一組隨機(jī)信號(hào)f(t)，將該信號(hào)作為式(1)的輸入，可得

(2)

利用式(2)對(duì)一組隨機(jī)心電信號(hào)進(jìn)行濾波實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如圖1所示。

圖1 心電信號(hào)濾波結(jié)果Fig.1 The results of ECG filtering

從圖1中可以看出，無論是式(1)的位置輸出x，還是速度輸出x′，都不具有信號(hào)處理能力。但同時(shí)從圖1中也可以發(fā)現(xiàn)，速度輸出x′的頻率響應(yīng)能力明顯好于位置輸出x，這主要是速度輸出本質(zhì)上是位置輸出的微分，因此x′對(duì)頻率變化更加敏感。

根據(jù)振動(dòng)理論中的共振現(xiàn)象，振動(dòng)系統(tǒng)的位置輸出不僅具有頻響能力，而且可以進(jìn)行信號(hào)濾波，如目前應(yīng)用廣泛的機(jī)械濾波器[9-11]，而振動(dòng)系統(tǒng)方程屬于典型的二階微分方程，因此，二階微分方程也應(yīng)具有濾波能力。然而，圖1所示結(jié)果卻沒有發(fā)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)具有濾波能力。其主要原因是：1)振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)一旦選定，其共振頻率也隨之固定，即其僅能對(duì)與共振頻率接近的信號(hào)產(chǎn)生較大響應(yīng)，而對(duì)其他頻率的信號(hào)響應(yīng)幅值迅速衰減，從而起到共振頻率以外信號(hào)的抑制作用，達(dá)到濾波效果；2)圖1中的輸入信號(hào)為隨機(jī)信號(hào)，其頻率并非固定不變，而是隨機(jī)變化的，而振動(dòng)系統(tǒng)較難適應(yīng)如此變化的信號(hào)，因此，其難以對(duì)該類信號(hào)進(jìn)行濾波。

基于上述分析，可獲得如下啟發(fā)：如將式(2)的速度輸出x′對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻率響應(yīng)能力賦予位置輸出x，將使x也具有類似x′的對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻響能力。

為了實(shí)現(xiàn)將式(2)的速度輸出x′對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻率響應(yīng)能力賦予位置輸出x，則需將x′的變化特性賦予x，因此，將式(2)寫成一階方程組的形式：

(3)

式中：v為速度輸出?？紤]到存在一隨機(jī)輸入，則式(3)可寫為

(4)

式中：λ為表征隨機(jī)輸入強(qiáng)度的系數(shù)。由于式(4)中含有隨機(jī)輸入f(t)，根據(jù)隨機(jī)微分方程定義，式(4)是具有典型隨機(jī)特征的隨機(jī)微分方程。對(duì)于隨機(jī)微分方程的解法，Milstein等相繼給出了基于二階、四階龍格庫(kù)塔的數(shù)值解法。然而，與常微分方程不同，隨機(jī)微分方程中含有不確定的且與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)項(xiàng)或隨機(jī)過程，使得二階、四階龍格庫(kù)塔法所獲得的數(shù)值解精度不高。針對(duì)該問題，王鵬等提出了三階半隱式隨機(jī)龍格庫(kù)塔法，該方法與二階、四階龍格庫(kù)塔法相比具有更高的穩(wěn)定性和精度[12]。因此，本文中選用該方法對(duì)式(4)進(jìn)行數(shù)值求解。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]研究，構(gòu)造式(4)的三階半隱式隨機(jī)龍格庫(kù)塔數(shù)值解表達(dá)式為

(5)

其中

(6)

式中：s為截取的隨機(jī)輸入長(zhǎng)度，本文中取隨機(jī)輸入的50個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)。令

(7)

則，可得

(8)

將式(5)代入式(7)，可得

(9)

其中

(10)

(11)

將式(9)代入式(8)，可得

(12)

令

(13)

則(11)式變?yōu)?/p>

(14)

為了將速度輸出vn的頻率響應(yīng)能力置換給位置輸出xn，根據(jù)仿射變換理論，令矩陣D為仿射矩陣:

(15)

利用式(13)右乘N，可得

(16)

對(duì)比N與式(16)，可以發(fā)現(xiàn)二者的列向量是互換的。

令

(17)

利用式(17)右乘M，可得

(18)

則式(13)可以寫為

Vn+1=PVn+Rfn

(19)

其中

(20)

將式(19)寫成迭代形式：

Vn+1=PVn+Rfn

Vn+2=PVn+1+Rfn+1=P2Vn+PRfn+Rfn+1

Vn+3=PVn+2+Rfn+2=P3Vn+P2Rfn+PRfn+1+

Rfn+2

?

Vn+m=PVn+2+Rfn+2=PmVn+Pm-1Rfn+

Pm-2Rfn+1+…+PRfn+m-2+Rfn+m-1

(21)

式(21)可以寫為

(22)

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

粒子濾波(partical filter,PF)方法是較為廣泛使用的信號(hào)濾波方法[13-16]，為了驗(yàn)證所建立的濾波算法的正確性，本文進(jìn)行了與粒子濾波對(duì)比實(shí)驗(yàn)，根據(jù)文獻(xiàn)[13-16]，選擇粒子數(shù)為200。對(duì)于本文所建立的ATSDEF方法，其參數(shù)選擇為p=0.6，q=1.1，h=0.01，λ=0.8。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 ATSDEF與粒子濾波對(duì)比實(shí)驗(yàn)Fig.2 Compared with particle filter

從圖2中可以直觀看出，ATSDEF處理結(jié)果比粒子濾波處理結(jié)果更加接近原始信號(hào)。為了進(jìn)一步比較二者濾波的結(jié)果，對(duì)圖2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行信噪比、

均方根誤差和信噪比增益三個(gè)方面計(jì)算，如表1所示。

表1 ATSDEF與粒子濾波性能對(duì)比

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，ATSDEF濾波方法在信噪比、均方根誤差和信噪比增益三個(gè)方面均明顯優(yōu)于粒子濾波。

為了更好的觀察和分析所建立的濾波算法，分別對(duì)正常(簡(jiǎn)稱Z)和異常(簡(jiǎn)稱Y)心電信號(hào)進(jìn)行濾波實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 心電信號(hào)實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)Fig.3 ECG real-time measurement system

圖3所示系統(tǒng)主要包括電源、手機(jī)無線接口、信號(hào)處理電路和測(cè)量點(diǎn)，從圖3中可以看出，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的信號(hào)處理電路很小，面積約為2.5×2.5 cm2。

2.1 正常心電信號(hào)濾波

從圖4中可以直觀的看出，本文所建立的濾波算法對(duì)6個(gè)心臟功能正常的人的心電信號(hào)的濾波效果非常明顯，如圖4中每個(gè)子圖的第二行所示。且將原始信號(hào)減去濾波后信號(hào)，即可將噪聲有效的分離，如圖4中每個(gè)子圖的第三行所示。

圖4 正常心電信號(hào)降噪結(jié)果Fig.4 Normal ECG signal filtering results

為了進(jìn)一步觀察濾波效果，將圖4中部分濾波結(jié)果進(jìn)行放大，以便觀察濾波后的局部細(xì)節(jié)，如圖5所示。圖5中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的定義與圖4中相同。

圖5 圖4中部分心電信號(hào)濾波結(jié)果的局部放大Fig.5 Partial amplification of partial ECG signal in Fig.4

從圖5中可以看出，濾波后的心電信號(hào)各個(gè)波形被完整的保留了，如圖5中各個(gè)箭頭所指示的P波、QRS波群以及T波。即使被噪聲幾乎完全掩蓋的心電信號(hào)波形(如圖4中(e)Z5號(hào)心電信號(hào)記錄所示)，也能被本文所建立的濾波算法有效濾出，如圖5中(c)所示，其中P波被有效的濾出來，這為下一步的心電信號(hào)特征提取提供了非常有利的基礎(chǔ)。

2.2 異常心電信號(hào)濾波

異常心電信號(hào)作為人體心臟的功能異常及其活動(dòng)過程在體表的反映，其正確處理對(duì)心血管疾病的診斷和治療具有重要作用，同時(shí)也能為預(yù)防心血管疾病提供依據(jù)。對(duì)6個(gè)心臟功能異常的人的心電信號(hào)的濾波結(jié)果如圖6所示。

對(duì)比圖4可以發(fā)現(xiàn)，圖6所示的心電信號(hào)峰值不具有規(guī)律性(如圖6中(a)、(d)、(e)和(f)所示)，或心電信號(hào)波形異常(如圖6中(b)和(c)所示)。但本文所建立的濾波算法都能對(duì)上述異常心電信號(hào)進(jìn)行有效的濾波，如圖6中各個(gè)子圖的第二行所示。其具體細(xì)節(jié)如圖7和圖8。

圖6 異常心電信號(hào)的濾波Fig.6 Filtering of abnormal ECG signals

圖7 節(jié)拍異常的心電信號(hào)細(xì)節(jié)Fig.7 Abnormal heart beat details

圖8 幅值異常的心電信號(hào)細(xì)節(jié)Fig.8 Amplitude anomaly ECG signal details

在圖7中，每個(gè)子圖的第一行為原始心電信號(hào)，第二行為自適應(yīng)閾值窗函數(shù)降噪方法的濾波結(jié)果，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的意義與圖6相同。從圖6中可以看出，節(jié)拍異常的心電信號(hào)在某個(gè)時(shí)間段會(huì)出現(xiàn)頻率異常，這種異常有時(shí)發(fā)生在QRS波群或者R波上，如圖6中(a)和(d)所示，由于QRS波群或者R波的峰值較大，因此也并不會(huì)對(duì)濾波噪聲很多影響。然而，如果節(jié)拍異常發(fā)生在Q波時(shí)，由于Q波本身幅值相對(duì)較小，特別是在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)連續(xù)出現(xiàn)多個(gè)Q波時(shí)，造成Q波不明顯，如圖7中各個(gè)子圖的第一行中虛線箭頭所示，將會(huì)對(duì)濾波算法帶來很大的負(fù)面影響。從圖7中第二行點(diǎn)線箭頭所示結(jié)果上看，所建立的自適應(yīng)閾值窗函數(shù)降噪方法能有效濾除Q波節(jié)拍異常的心電信號(hào)噪聲，還原心電信號(hào)的本來波形。

在圖8中，圖8所示的為另一種異常心電信號(hào)，即波形峰值異常。此類心電信號(hào)R波峰值過小，甚至沒有R波峰值，一旦遇到噪聲，很有可能被噪聲淹沒，如圖8中虛線箭頭所示，這使得對(duì)此類信號(hào)進(jìn)行濾波變得更加困難。但從圖8中點(diǎn)線箭頭所示的結(jié)果上看，所建立的濾波算法也能有效濾除噪聲。

3 結(jié)論

1)結(jié)合仿射變換理論，將二階微分方程中速度輸出對(duì)輸入信號(hào)頻率的敏感性通過仿射變換賦予位置輸出，使得二階微分方程的位置輸出因具有了頻率響應(yīng)能力，從而可以獲得較好的濾波效果。

2)建立了心電信號(hào)濾波算法(ATSDEF)，并進(jìn)行了與粒子濾波的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)可以看出，在信噪比、均方根誤差和信噪比增益等重要的信號(hào)處理指標(biāo)上，本文所建立的濾波算法相較于粒子濾波都有非常明顯的提高。

3)利用嵌入式心電信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)ATSDEF算法進(jìn)行在線實(shí)時(shí)心電信號(hào)濾波實(shí)驗(yàn)，通過心電信號(hào)濾波實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法可以在保持微弱的細(xì)節(jié)特征的同時(shí)有效的濾除心電信號(hào)的噪聲，解決了高精度處理難得問題，為后續(xù)特征識(shí)別與提取奠定了基礎(chǔ)。

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Affine transformation-based life signal filtering algorithm
for two-order differential equation

ZHOU You， WANG Pengfei， ZHA Fusheng， GUO Wei， LI Mantian

(State Key Laboratory of Robotics and Systems， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China)

Due to limitations in the size and computational power of miniature embedded systems， it is often difficult to achieve real-time and accurate reconciliation when testing vital signs. To solve this problem， we propose an ECG signal filtering algorithm based on a second-order differential equation and the affine transformation theory (ATSDEF). We compared the filtering performance of our proposed algorithm with that of the particle filter method and the results confirm the ATSDEF to be more effective. Lastly， we validated the algorithm in normal and abnormal ECG filtering experiments， the results of which demonstrate its ability to not only effectively filter ECG signal noise， but also to retain detailed weak characteristics in the ECG signal to ensure the accuracy of signal filtering， thereby solving the longstanding problems of the real-time signal processing of miniature embedded systems.

ECG signal; miniature embedded system; second-order differential equation; Longge Kuta; affine transformation; filter

2016-03-11.

日期：2017-04-26.

國(guó)家自然基金項(xiàng)目(61375097；61473105);黑龍江省自然基金項(xiàng)目(F2015008);機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(SKLRS201620B；SKLRS201603C).

周游(1983-)，男，博士研究生; 査富生(1975-)，男，副教授，博士生導(dǎo)師.

査富生，E-mail: zfsh751228@163.com.

10.11990/jheu.201603036

TN911.72

A

1006-7043(2017)05-0752-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170426.1237.056.html