尋例合情 演繹明理
——由『被學(xué)生問住了』談起

◇ 李小強

尋例合情 演繹明理
——由『被學(xué)生問住了』談起

◇ 李小強

一、緣起

1.案例1：3的倍數(shù)特征。

“李老師，你說一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，它就是3的倍數(shù)。為什么呀？”一個男生提出自己的疑問。這是在學(xué)習(xí)北師大版教材五年級 “3的倍數(shù)特征”一課時，課堂上發(fā)生的一幕，至今令我記憶猶新。

面對這個突如其來的問題，我有點兒不知所措。

但還沒等我回答，就有一個“好事”的學(xué)生開口了：“這還不明白，你看黑板，老師在百數(shù)表中已經(jīng)找到了所有是3的倍數(shù)的數(shù)，很明顯這些數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)呀！你還問為什么？”他洋洋得意地坐下了。

冷靜下來后，我這樣回答：“我們是通過尋找是3的倍數(shù)的數(shù)并研究它們的特征發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，你再想一想?！睂W(xué)生疑惑地坐下了。

課后，回想起那一刻及我的回答，深感無力與慚愧。雖然不愿意承認，但我明白我的的確確被他問住了。

回顧我們的教學(xué)，類似的案例并不少見。

2.案例2：三角形邊的關(guān)系。

北師大版教材四年級“三角形邊的關(guān)系”，教材是通過如下三個問題的探討逐步歸納出結(jié)論的。

問題1：哪一組小棒可以擺成三角形？

為學(xué)生提供4組小棒（每組3根，長度不同），學(xué)生自主嘗試利用小棒擺三角形，并思考能或者不能擺成三角形的原因是什么。

問題2：怎樣的3根小棒能擺成一個三角形？

在問題1的基礎(chǔ)上進一步觀察、研究、討論每組中能夠擺成三角形的3根小棒之間的關(guān)系或特征。還可以從反面思考：怎樣的3根小棒擺不成三角形？

問題3：明晰三角形三邊的關(guān)系。

借助算一算、比一比的活動，發(fā)現(xiàn)能夠擺成三角形的三邊長度之間的關(guān)系。

課堂很順利，最終得到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論。

面對這個結(jié)論，學(xué)生并沒有提出異議。但在教學(xué)研討時，一位聽課教師提到：課堂上，能不能從另外一個角度來解釋（或證明）三角形中任意兩邊之和大于第三邊呢？

二、尋例合情

仔細分析兩個案例，不難看出教材的安排與設(shè)計思想是一致的，都是從具體的實例（實驗）出發(fā)，通過觀察、操作、猜想、歸納等方法得出一個可能性的結(jié)論，即合情推理。由于合情推理更加符合小學(xué)生的認知水平，實例具體、形象直觀、易于理解，所以現(xiàn)行教材編寫更傾向于合情推理。

正是因為合情推理是通過經(jīng)驗和直覺得來的可能性結(jié)論，它的準確性就受到很多因素的影響。如，在探索3的倍數(shù)特征時，由于學(xué)生有了2和5的倍數(shù)特征的探索經(jīng)驗，于是有一部分同學(xué)會給出“個位是3、6、9的數(shù)就是3的倍數(shù)”這樣的錯誤結(jié)論；再如，探索三角形三邊關(guān)系的操作中，由于學(xué)生操作的不規(guī)范或者測量中的較大誤差，結(jié)論也會不盡相同。

顯然，上面那些客觀存在的經(jīng)驗、因素都會制約結(jié)論的準確性。即便通過觀察、操作、猜想、歸納得到的結(jié)論是準確的，但它畢竟還是可能性結(jié)論，其正確性也有待進一步驗證或證明，所以無論是案例1中學(xué)生的問題，還是案例2中聽課教師的疑問，都不是無中生有，需要認真思考并研究。

談到推理，《數(shù)學(xué)課程標準（2011）》指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，一般包括合情推理和演繹推理……在解決問題的過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

可見兩種推理方式是相輔相成的。合情推理是必要的，它從數(shù)學(xué)的具體案例中抽象出一般性結(jié)論，見證了數(shù)學(xué)的發(fā)展；演繹推理也是必需的，它能判斷合情推理中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確、嚴謹，讓數(shù)學(xué)的發(fā)展更加“健康”。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然應(yīng)該側(cè)重于合情推理，但也不能偏廢了演繹推理。

三、演繹明理

1.對3的倍數(shù)特征的證明。

案例1中學(xué)生提出了自己的問題，我并沒有給出合理的回答。這個學(xué)生整節(jié)課一直專注于思考自己的問題，第二天他給了我這樣的理由：

如果用 ab代表一個兩位數(shù)。由于a在十位上，b在個位上，這個數(shù)就可以記作10a＋b，進而等于（9+1）a＋b＝9a+（a＋b）。因為9a一定是3的倍數(shù)，所以只要a＋b是3的倍數(shù)，那么兩位數(shù)ab就是3的倍數(shù)。這樣就證明了：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，它就是3的倍數(shù)。

因為在研究3的倍數(shù)時，我們是在100以內(nèi)尋找3的倍數(shù)的，所以學(xué)生以任意兩位數(shù)為例證明了這個結(jié)論在百以內(nèi)是正確的。

學(xué)生對問題的鉆研精神和深刻的思考，讓我佩服。按照他的思路，如果是任意一個正整數(shù)，證明如下：

假設(shè)n=asas-1…a2a1a0是任意一個正整數(shù)，0≤as≤9（as是整數(shù)），s＝0，1，2，3……

那么n就可以表示為：

對n變形得：

在算式 （10s-1）as＋…＋（102-1）a2＋（101-1）a1中，每一項都是3的倍數(shù)，它們的和也是3的倍數(shù)。所以，只要保證as＋…＋a2＋a1＋a0是3的倍數(shù)，則正整數(shù)n就是3的倍數(shù)，而as＋…＋a2＋a1＋a0表示的就是n的各個數(shù)位上的數(shù)的和。

所以，一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，它就是3的倍數(shù)。

2.三角形三邊關(guān)系的證明。

在北師大版《教師教學(xué)用書》中關(guān)于“三角形三邊關(guān)系”還提供了另一種思路：首先通過情境圖認識“兩點之間線段最短”，再畫出兩個點并在兩點之間畫出一條線段和若干條折線（每條折線只有兩條線段），這樣這條線段和折線就構(gòu)成了一個個三角形，那么折線的長度（兩條線段的長度和）一定大于這條線段的長度。

所以，三角形任意兩邊之和大于第三邊可以追溯至“兩點之間所有連線中線段最短”，也就是說我們可以通過“兩點之間所有連線中線段最短”證明“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。對于任意三角形ABC中，證明過程如下：

∵兩點之間的所有連線中線段最短

∴在△ABC中AB＋BC＞AC

同理可得：在△ABC中AC＋BC＞AB，AC＋AB＞BC

∴三角形中任意兩邊之和大于第三邊

這樣的演繹推理，既證明了結(jié)論的正確性，又能讓學(xué)生明白研究數(shù)學(xué)的方法。

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)雖然更重視直觀形象的感知與反復(fù)嘗試的體驗，但邏輯思維水平的提升也是不可缺少的。曹培英老師說過：如果一個人只相信眼見為實，不知道思維的能動性可以通過推理幫助人類突破感覺、經(jīng)驗、嘗試的局限性，那就是個人素養(yǎng)的一大缺失。所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是高年級教學(xué)中需要將合情推理與演繹推理相結(jié)合，在學(xué)生能理解與接受的基礎(chǔ)上，從這兩個角度給學(xué)生更加合理的解釋，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的思維觀，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：陜西咸陽市秦都區(qū)陜西師范大學(xué)奧林匹克花園學(xué)校）