在智性體驗(yàn)中提升思維
——“解決問題的策略——假設(shè)”教學(xué)實(shí)錄與反思

◇陳金飛

在智性體驗(yàn)中提升思維
——“解決問題的策略——假設(shè)”教學(xué)實(shí)錄與反思

◇陳金飛

【課堂實(shí)錄】

一、創(chuàng)設(shè)情境，萌發(fā)策略

師：上課之前，老師做個(gè)小調(diào)查，你和朋友一般通過什么方式交流？

生：微信聊天、打電話、面對面交流、QQ聊天……

師：現(xiàn)在交流的方式很多，QQ是一個(gè)很好的聊天工具。陳老師收集了幾個(gè)網(wǎng)友的QQ等級，大家看看誰的等級高？誰的等級低？

（師出示：快樂小豬2顆星星，天馬行空2個(gè)月亮1顆星星，海綿寶寶1個(gè)太陽、1個(gè)月亮、1顆星星）

生：因?yàn)樾切羌墑e最低，其次是月亮，太陽級別最高，所以海綿寶寶的等級最高，快樂小豬的等級最低。

師：QQ等級是如何從星星變成太陽的？

生：4顆星星換成 1個(gè)月亮，4個(gè)月亮換成 1個(gè)太陽。1個(gè)太陽等于16顆星星。

師：QQ等級換算中就藏著我們今天學(xué)習(xí)的策略，讓我們帶著已有的經(jīng)驗(yàn)，開始今天的學(xué)習(xí)。

二、探究新知，形成策略

師：有630毫升果汁，現(xiàn)在打算把果汁倒入7個(gè)玻璃杯，如果正好倒?jié)M，你會(huì)想到什么？

生：果汁的總量是630毫升，倒入 7個(gè)玻璃杯，用630除以7，得到每個(gè)杯子的容量是90毫升。

師：（出示圖1）真的是這樣嗎？

圖1

生：原來以為杯子是相同的，所以平均分?，F(xiàn)在杯子不相同，不能平均分，要增加“小杯和大杯之間的關(guān)系”。

師：如果增加 “已知大杯的容量是小杯的3倍”這一條件，可以獲得怎樣的等量關(guān)系？

生：1個(gè)大杯的容量＝3個(gè)小杯的容量，6個(gè)小杯的容量＋1個(gè)大杯的容量＝630毫升。

師：厘清了數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)在可以自己動(dòng)手，在作業(yè)紙上畫畫、算算，再在小組里交流。

（師收集不同做法，全班交流）

生：我假設(shè)全部倒入小杯。把1個(gè)大杯換成3個(gè)小杯，和原來的6個(gè)小杯合起來是9個(gè)小杯，630毫升果汁倒入9個(gè)小杯，每個(gè)小杯的容量是70毫升，大杯的容量是210毫升。

生：我假設(shè)全部倒入大杯。6個(gè)小杯換成2個(gè)大杯，和原來的1個(gè)大杯，合起來是3個(gè)大杯……

師：仔細(xì)觀察兩位同學(xué)的解題過程，他們求出的結(jié)果是否正確？如何檢驗(yàn)？

生：要看6個(gè)小杯和1個(gè)大杯的果汁加起來是不是630毫升，還要檢驗(yàn)是否符合3倍關(guān)系。

師：比較兩位同學(xué)的解答過程，相同之處在哪兒？

生：假設(shè)倒入同一種杯子，果汁的總量不變，杯子的個(gè)數(shù)發(fā)生變化。

生：都是把兩個(gè)未知量通過假設(shè)轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量。

師：你們總結(jié)得很好，當(dāng)有些問題不能直接解決時(shí)，我們可以用假設(shè)的策略來搭橋解決。

三、對比辨析，提煉策略

師：下面這幾道題適合用假設(shè)的策略解決嗎？大家先獨(dú)立思考，再四人小組一起交流一下。

（1）有兩堆5角的硬幣，第一堆共13元，第二堆共18元。你知道這些5角的硬幣共多少枚嗎？

（2）如圖2，鋼筆和鉛筆的單價(jià)各是多少元？

圖2

（3）把720毫升果汁倒入5個(gè)小杯和2個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。3個(gè)小杯的容量等于2個(gè)大杯的容量。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（小組交流后匯報(bào)）

生：第1題已經(jīng)告訴我們每堆的總價(jià)和每份數(shù)，可以直接求出每堆的枚數(shù)，不需要用假設(shè)的策略。

生：第2題中雖然有兩個(gè)未知量，但缺少兩種未知量之間的關(guān)系，所以沒法用假設(shè)的策略解決。

生：第3題能用假設(shè)的策略解決，可以假設(shè)把果汁全部倒入小杯。

師：有沒有假設(shè)全部倒入大杯的？

生：題中告訴我們3個(gè)小杯等于2個(gè)大杯，可以直接把2個(gè)大杯假設(shè)成3個(gè)小杯。如果全部假設(shè)成大杯，換成的大杯個(gè)數(shù)不是整數(shù)，不好計(jì)算。

師：看來，用假設(shè)的策略解決問題時(shí)，還要學(xué)會(huì)選擇簡單的方法。通過比較，你覺得什么情況下適合用假設(shè)的策略解決問題？

生：題中出現(xiàn)兩個(gè)未知量，未知量之間存在等量關(guān)系時(shí)，可以用假設(shè)的策略解決問題。

四、變式練習(xí)，拓展策略

（師出示：把720毫升果汁倒入4個(gè)小杯、2個(gè)中杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。大杯的容量是中杯的2倍，中杯的容量是小杯的2倍。小杯、中杯、大杯的容量各是多少）

師：難道只能出現(xiàn)兩個(gè)未知量嗎？看，發(fā)生了什么變化？

（小組交流后匯報(bào)）

生：假設(shè)全部倒入小杯。2個(gè)中杯假設(shè)成4個(gè)小杯，1個(gè)大杯假設(shè)成4個(gè)小杯，720毫升果汁倒入12個(gè)小杯。

生：也可以假設(shè)全部倒入中杯，或者假設(shè)全部倒入大杯。

師：假設(shè)前后，果汁總量和杯子的個(gè)數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？

生：果汁的總量沒有變化，杯子的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化。

師：與例題相比較，發(fā)生了什么變化？

生：例題只有兩個(gè)未知量，這道題有三個(gè)未知量。

師：相同的地方是什么呢？

生：都是用假設(shè)的策略，抓住未知量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知量。

師：如果遇上四個(gè)、五個(gè)……未知量時(shí)，怎么辦？

生：可以抓住未知量之間的關(guān)系，用假設(shè)的策略轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知量。

師：用假設(shè)的策略解決問題關(guān)鍵在于未知量之間要存在等量關(guān)系。通過假設(shè)，可以使復(fù)雜的關(guān)系變得簡單。

五、回顧反思，深化策略

師：有了假設(shè)這一策略，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單?；仡欉^去的學(xué)習(xí)，我們在哪兒用過假設(shè)的策略？

生：在低年級做的等量代換的題中就用到過假設(shè)的策略。

（師出示圖3、圖4）

圖3

圖4

師：是不是這樣的問題中有假設(shè)的影子？

生：對，圖3中把1個(gè)蘋果假設(shè)成2個(gè)橘子，3個(gè)蘋果可以假設(shè)成6個(gè)橘子。

生：圖4中把1個(gè)菠蘿假設(shè)成3個(gè)蘋果，4個(gè)蘋果是600克，1個(gè)蘋果是150克。

師：如果1個(gè)蘋果重x克，可以建立一個(gè)怎樣的等式？

生：4x=600，這里的x等于150。

師：如果把這個(gè)等式變化為4x+y=600，現(xiàn)在x等于多少？

生：不能解答，因?yàn)閤與y之間缺少關(guān)系，如果增加一個(gè)條件就可以，比如y=2x，把y假設(shè)成2x，6x=600，x=100。

師：這是初中要學(xué)習(xí)的二元一次方程組，這么高深的知識(shí)用今天學(xué)到的假設(shè)策略很輕松地就解決了，可見假設(shè)策略的本領(lǐng)真大。

【教后反思】

本節(jié)課的內(nèi)容，2001版教材稱其為“替換”的策略，2014版教材調(diào)整為“假設(shè)”的策略。“假設(shè)”是“替換”的上位概念，假設(shè)是策略，替換是方法，而策略只能通過體驗(yàn)不斷內(nèi)化，逐步建構(gòu)，才能形成智性學(xué)習(xí)所主張的“關(guān)系性理解”，提升思維水平。

一、利用直觀問題情境，引發(fā)策略

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師要精心創(chuàng)設(shè)問題情境，把學(xué)生引入富有挑戰(zhàn)性和思考性的情境之中，賦予知識(shí)以現(xiàn)實(shí)背景，通過教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，喚醒學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的潛意識(shí)。

在教學(xué)假設(shè)策略時(shí)，提出“一瓶630毫升的果汁倒入7個(gè)杯中，剛好倒?jié)M，你會(huì)聯(lián)想到什么”的問題，很容易使學(xué)生想到1個(gè)杯子的容量是90毫升。當(dāng)出示“6個(gè)小杯和1個(gè)大杯”的條件后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用平均分直接解決了，因?yàn)轭}目中出現(xiàn)了兩個(gè)不同的未知量，這樣，學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)就自然地聚焦到大杯和小杯的容量之間的關(guān)系上。教師適時(shí)補(bǔ)上“大杯的容量是小杯的3倍”這一條件，這樣的情境能為學(xué)生學(xué)習(xí)假設(shè)策略提供空間和機(jī)會(huì)，使假設(shè)的策略呼之欲出，又非常自然。

二、經(jīng)歷解決問題過程，感悟策略

智性學(xué)習(xí)的課堂，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的把握。在這節(jié)課上，我首先為學(xué)生提供“兩個(gè)量是倍數(shù)關(guān)系”的假設(shè)問題，讓學(xué)生初步感悟，遇上兩個(gè)未知量，可以抓住兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系假設(shè)成一個(gè)未知量。然后提供3道題，讓學(xué)生進(jìn)行辨析。在辨析中，圍繞“題中有幾個(gè)未知量”“兩個(gè)未知量之間是否存在關(guān)系”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行。辨析題第2題，是一道書本習(xí)題的改編題，書本習(xí)題條件充分，而改編后故意留白。有部分學(xué)生看到題目后，有兩個(gè)未知量，就認(rèn)為可以用假設(shè)的策略解決。這時(shí)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了問題，指出這道題缺乏假設(shè)的依據(jù)，“犯錯(cuò)”的學(xué)生是自己在潛意識(shí)中增加了假設(shè)的依據(jù)——1支鋼筆價(jià)錢等于3支鉛筆的總價(jià)。學(xué)生經(jīng)歷“犯錯(cuò)”過程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到用假設(shè)的策略解決問題的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生對策略的深刻建構(gòu)。

三、注重及時(shí)反思回顧，提升策略意識(shí)

在假設(shè)策略的教學(xué)中，我先后三次引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思。第一次反思安排在“倍數(shù)”關(guān)系教學(xué)后，讓學(xué)生回顧假設(shè)的思考過程，明確假設(shè)的真正價(jià)值在于使問題簡單化。在組織辨析活動(dòng)后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二次反思：“今后遇到什么樣的問題可以選擇假設(shè)的策略？”從而提升策略選擇的水平。第三次是在學(xué)生解決了三個(gè)未知量的問題后，組織學(xué)生反思，使他們進(jìn)一步悟出“用假設(shè)的策略解決問題，不在于未知量的個(gè)數(shù)多少，關(guān)鍵在于未知量之間要存在等量關(guān)系”。這樣的一個(gè)過程，實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對學(xué)習(xí)的一種自我監(jiān)控，形成的策略是學(xué)生學(xué)習(xí)的收獲，同時(shí)對獲得策略的過程所進(jìn)行的反思與獲得策略本身一樣具有重要的價(jià)值。

（作者單位：江蘇啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)）