提高數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)有效性的方法

張惠++楊宏勝

[摘 要] 數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該具有活潑的氛圍，富于變化，讓學(xué)生的思維活躍起來(lái)。習(xí)題教學(xué)中開(kāi)展以學(xué)生為主體的一題多解、以教師為主導(dǎo)的一題多變和以合作為基礎(chǔ)的互動(dòng)交流，能夠讓課堂在認(rèn)知遷移、觀點(diǎn)碰撞和民主研討中增添靈動(dòng)的氣息。

[關(guān)鍵詞] 一題多解；一題多變；互動(dòng)交流

一、以學(xué)生為主體一題多解

課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，培養(yǎng)學(xué)生參與課堂教學(xué)中的主人翁意識(shí)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢(shì)。要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師要藝術(shù)地創(chuàng)造把課堂還給學(xué)生的條件。習(xí)題教學(xué)中的一題多解具備這方面的特征。這里說(shuō)的一題多解并不是教師給學(xué)生呈現(xiàn)多種方法，而是給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，借用一題，讓不同的學(xué)生呈現(xiàn)不同解法，讓學(xué)生的觀點(diǎn)相互碰撞，思想相互交流，達(dá)到仁者見(jiàn)仁、取長(zhǎng)補(bǔ)短的目的。

問(wèn)題1.（蘇教版選修2-1課本第37頁(yè)習(xí)題10改編）已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，若橢圓上存在點(diǎn)P，使[∠F1PF2]為直角，則橢圓的離心率的取值范圍是______。

學(xué)生1：設(shè)點(diǎn)[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]為直角，通過(guò)[PF12+PF22=F1F22]可以得到[x02+y02=c2]，得[y02=c2-x02]，整理得到一個(gè)關(guān)于[x0]的表達(dá)式，再由[x0]范圍計(jì)算得到離心率的取值范圍。

學(xué)生2：設(shè)點(diǎn)[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]為直角，得[kPF1?kPF2=-1]。

學(xué)生3：用[PF1PF2=0]比較好！

學(xué)生4：由“橢圓上存在點(diǎn)P，使[∠F1PF2]為直角”這個(gè)條件不難看出，這樣的點(diǎn)P肯定落在以原點(diǎn)為圓心、c為半徑的圓上，而同時(shí)點(diǎn)P又在橢圓上，由此得到結(jié)論，圓和橢圓必須有公共點(diǎn)，得到[c≥b]，從而得到所需結(jié)論。

學(xué)生5：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q，則[∠F1QF2]為橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的最大夾角，所以若橢圓上存在點(diǎn)P，使[∠F1PF2]為直角，則[∠F1QF2≥90°]，因此有[∠F1QO≥45°]，所以主要考察此時(shí)它的正弦值的取值范圍即可，即[sin∠F1PO∈22，1]，即離心率[e∈22，1]。

點(diǎn)評(píng)：習(xí)題課堂猶如一湖春水，讓老師獨(dú)唱，會(huì)風(fēng)平浪靜一片祥和。但學(xué)生都是有思想的人，更是處于善于表達(dá)、急于表達(dá)的年齡，教師把問(wèn)題拋給孩子，把表達(dá)的機(jī)會(huì)還給孩子，就會(huì)出現(xiàn)一石激起千層浪的美景。學(xué)生會(huì)根據(jù)自己的認(rèn)知，充分發(fā)掘自身的潛能，從不同的角度分析，經(jīng)過(guò)不同視角和觀點(diǎn)的交流，全班同學(xué)會(huì)分享多視角思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，這既擴(kuò)大了知識(shí)面，又讓學(xué)生感受到成功的喜悅，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

二、以教師為主導(dǎo)一題多變

變式教學(xué)是運(yùn)用不同的知識(shí)和方法，對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等進(jìn)行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律。變式教學(xué)最終是為了通過(guò)變化讓學(xué)生掌握變化中的不變，能從不同方面、不同角度和不同情況來(lái)說(shuō)明某一事物，從而概括出事物的一般屬性。因此，適當(dāng)?shù)淖兪侥軌蚴箤W(xué)生確切地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。另外，數(shù)學(xué)題目是永遠(yuǎn)做不完的，如果善于變換，在變式中掌握一類(lèi)問(wèn)題的解法，則會(huì)以少勝多，大大提高課堂教學(xué)的有效性。

問(wèn)題2.已知[f（x）=ax-lnx，x∈]（[e]]，[g（x）=lnxx]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，[a∈]R。

（1）討論a=1時(shí)，函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性和極值；

（2）求證：在（1）的條件下，[f（x）>g（x）+12]。

變式1.在本例條件下，是否存在正實(shí)數(shù)a，使[f（x）]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

意圖：將視角從已知a的值的條件下求極值變?yōu)橐阎钪荡_定a的值，從正向和逆向兩個(gè)方面體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在求最值和極值中的應(yīng)用。

變式2（2013江蘇卷）：設(shè)函數(shù)[f（x）=lnx-ax]，[e][-][c]其中a為實(shí)數(shù)。若[f（x）]在[1，+∞]上是單調(diào)減函數(shù)，且[g（x）]在[1，+∞]上有最小值，求[a]的取值范圍。

意圖：高考真題的出現(xiàn)，讓學(xué)生親身體會(huì)“原來(lái)這就是高考題”，怎么這么親切，并不是想象中的那么高大上，這有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力。當(dāng)然，通過(guò)高考真題更能夠讓學(xué)生從心態(tài)上重視用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性、求最值時(shí)的方法步驟和細(xì)節(jié)要求。

變式3（2013北京卷）：設(shè)L為曲線[C：y=lnxx]在點(diǎn)（1，0）處的切線。

（1）求L的方程；

（2）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線[C]在直線L的下方。

意圖：高考題并非無(wú)本之木，并不是專(zhuān)家們利用自己手中的權(quán)力和能力生編出來(lái)的。我們常常說(shuō)高考題源于課本，函數(shù)[y=lnxx]就是一個(gè)很好的例證。變式3的一個(gè)目的是通過(guò)高考題讓學(xué)生知道這個(gè)事實(shí)從而重視課本，另一個(gè)目的則是讓學(xué)生正確理解問(wèn)題中諸如“曲線C在直線L的下方” 這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

一道看似普通的問(wèn)題，涉及的兩個(gè)函數(shù)居然出現(xiàn)在兩個(gè)省份的高考真題中，這對(duì)學(xué)生的觸動(dòng)有多大？通過(guò)變式教學(xué)，不是解決一個(gè)問(wèn)題，而是解決一類(lèi)問(wèn)題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，實(shí)現(xiàn)“以少勝多”，從而使一個(gè)題目延伸出一類(lèi)題目，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。

三、以合作為基礎(chǔ)互動(dòng)交流

相對(duì)教師“課霸”的獨(dú)角戲來(lái)說(shuō)，“小組合作學(xué)習(xí)”的確有許多的優(yōu)越性。在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中開(kāi)展合作學(xué)習(xí)，往往會(huì)收到預(yù)期不到的驚喜。

問(wèn)題3.設(shè)過(guò)點(diǎn)[P（2，1）]作直線l交[x]軸、[y]軸的正半軸于[A，B]兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)[ΔAOB]的面積最小時(shí)，求直線[l]的方程；

（2）當(dāng)[PA?PB]取得最小值時(shí)，求直線[l]的方程。

這是在學(xué)習(xí)了直線方程之后我在習(xí)題課上提供給學(xué)生的一個(gè)探究性問(wèn)題，當(dāng)時(shí)的要求是學(xué)生自己先獨(dú)立研究10分鐘，然后小組交流或者合作10分鐘，最后由小組代表展示15分鐘，留給我5分鐘點(diǎn)評(píng)。

我這樣的設(shè)想是“既大膽又大方”的，因?yàn)橥M的老師們往往會(huì)一節(jié)課“講完”很多問(wèn)題，在這樣的環(huán)境中，我舍得把這么多的時(shí)間給學(xué)生，一節(jié)課只研究一個(gè)問(wèn)題，無(wú)論在“見(jiàn)識(shí)面”上還是“進(jìn)度”上都已經(jīng)趕不上別人了。然而，事實(shí)證明把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)合作來(lái)充當(dāng)課堂主人的角色的做法不但沒(méi)有損失，反而取得了令人滿(mǎn)意的效果。下面是4個(gè)小組提供的解法，受篇幅限制過(guò)程省略。

小組1：設(shè)直線[l]方程為[y-1=k（x-2）（k<0）]，構(gòu)建以[k]為變量的基本不等式。

小組2：設(shè)直線[l]方程為[xa+yb=1（a>0，b>0）]，消元后構(gòu)建以a為變量的基本不等式。

小組3： 設(shè)直線[l]方程為[xa+yb=1（a>0，b>0）]，以整體思想構(gòu)建以[a、b]為變量的基本不等式。

小組4：設(shè)[∠OAB=θ（θ∈（0，π2）]，構(gòu)建以[θ]為變量的三角函數(shù)模型。

因?yàn)榻處煛爸髦v”的課堂通常用一種方法把問(wèn)題解決，而小組互助合作、交流分享的課堂給我們以多種視角的認(rèn)識(shí)，方法的多樣性、思維的靈活性和容量的廣闊性是教師一人無(wú)法做到的。小組合作，互助交流給課堂教學(xué)注入了活力，它不僅充分發(fā)揮了師生間、生生間的相互交流、協(xié)作功能，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神，讓學(xué)生由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，把個(gè)人自學(xué)、小組交流、全班討論、教師指點(diǎn)等有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，進(jìn)而促使小組之間合作、競(jìng)爭(zhēng)，激發(fā)了學(xué)習(xí)熱情，挖掘了個(gè)體學(xué)習(xí)潛能，增大了信息量，使學(xué)生在互補(bǔ)促進(jìn)中共同提高，為枯燥的數(shù)學(xué)解題教學(xué)增添了熱情、活躍和靈動(dòng)的氣氛。

責(zé)任編輯 李杰杰