一類非線性Schr?dinger方程駐波解的存在性

陳風儀，姚仰新

（華南理工大學數(shù)學學院，廣東廣州510640）

一類非線性Schr?dinger方程駐波解的存在性

陳風儀，姚仰新*

（華南理工大學數(shù)學學院，廣東廣州510640）

證明了等離子體中出現(xiàn)的一類非線性Schr?dinger方程駐波解的存在性。

非線性；Schr?dinger方程；駐波解

如在文獻［1］中，作者研究了形如下面非線性等離子體波方程

對f進行具體地假設，證明了當ε→0時，Eε可收斂到相應Schr?dinger方程中的E，即有

同樣，文獻［2］討論了和上述方程類似的結果，即

在文獻［3］中，令下面等離子體波方程的ε→0（低密度等離子情形下），即作者得出了uε可收斂于相應的非線性方程中的u的結果。類似方程的研究可以參考文獻［4-6］。

而本文主要關注方程（1）的形如下面形式的解的存在性

將方程（2）代入方程（1），有

我們可給出以下定理：

定理［7］方程（1）存在形如方程（2）形式的駐波解，即

若H（v2）≠0，方程（7）也可以寫為

則要討論方程（1）廣義解的存在性，即要討論方程（7）（或（8））解的存在性。下面給出一個引理。

引理［7］方程中任意解v（x）都滿足

證明 對上面等式的左邊求導，可得

故等式成立。

定理的證明 首先注意到，可以找到一個滿足

的最小x0（＞0），使得對任何及對某一成立。

對上式兩邊平方可得

現(xiàn)在，考慮方程（7）的初值問題，令v（0）=x0，v'（0）=0，易見H2（v（0））=H（x02）＞0，x∈M。實際上，在M內，0＜v（x）＜x0。

設存在x1∈M，v（x1）=0，且對x∈［0，x1），則由引理有

令x=x2，有v'（x2）=0。根據(jù)解的唯一性，若v（x）≡0，x∈M，則因與v（0）=x0矛盾，故v（x）＞0，x∈M。

下面逐條驗證v（x）的相關性質，即v（-x）=v（x），對任何x＞0，v'（x）＜0與lim v（x）=0。

首先，顯然v（-x）也是方程（7）在初值條件下的解，由解的唯一性知v（-x）=v（x）。

現(xiàn)假設存在某一x4＞0，且v'（x4）=0，則由方程（10）有F（v2（x4））+2λv2（x4）=0，v（x4）＜x0，故對x＞0，v'（x）＜0。

下面證明方程（7）的解平移后仍是該方程的解，即該解唯一。設w（x）是方程（7）的另一個解，將其在達到最大值的點平移到原點，則有w'（0）=0，設w（0）=w0，有w（x）=w（-x）且

假設w（0）=w0＞x0，則存在x5＞0使得w（x5）=x0且當x∈（0，x5）時，w（x）＞x0。由方程（11）和方程（12），取x=x5有

因而w'（x5）=0。同時由方程（8）有故w（x）在x3上達到最大值，但由假設可知存在區(qū)間（0，x5），使得對其中的x有w（x）＞x0，因而矛盾，假設不成立，即有0＜w（0）≤x0，又由方程（12）知w0=x0，由解的唯一性知w（x）=v（x）。

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【責任編輯：王桂珍 foshanwgzh@163.com】

The existence of stationary solutions for a class of nonlinear Schr?dinger equation

CHEN Feng-yi,YAO Yang-xin
（School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China）

This article established the existence of stationary solution for a class of nonlinear Schr?dinger equation derived fromplasma.

nonlinear;Schr?dinger equation;stationary solution

O175.25

A

1008-0171（2017）03-0019-04

2016-09-23

國家自然科學基金資助項目（11201154）

陳風儀（1992-），女，江西贛州人，華南理工大學碩士研究生。

*通信作者：姚仰新（1957-），男，廣東廣州人，華南理工大學教授，博士。