基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的亞式期權(quán)定價(jià)

潘娣

摘要：給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型，通過熱傳導(dǎo)方程得到了亞式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式。利用數(shù)值算例討論了：赫斯特指數(shù)、無風(fēng)險(xiǎn)利率及敲定價(jià)格對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響.

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)；分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；數(shù)值算例

中圖分類號(hào)：F830 9；O211 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2017）010-0-02

引言

期權(quán)是指以確定的價(jià)格在確定的時(shí)間購(gòu)買或出售確定數(shù)量的其標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。在期權(quán)合約中，確定的價(jià)格為敲定價(jià)格，確定日期為到期日。而看漲期權(quán)指在一定的時(shí)間以確定的價(jià)格購(gòu)買某項(xiàng)資產(chǎn)的權(quán)利，看跌期權(quán)則表示賣出該資產(chǎn)的權(quán)利。

1973年，Black， Scholes[1]和Merton[2]推導(dǎo)出了古典的Black-Scholes模型，他們?cè)O(shè)金融衍生產(chǎn)品價(jià)值V（St，t）滿足如下的方程

這里St表示股票在t時(shí)刻的價(jià)格，σ為波動(dòng)率，r為市場(chǎng)中的無風(fēng)險(xiǎn)利率。在模型求解中，結(jié)合了終值條件V（ST，T）=max（ST-K，0），其中D為執(zhí)行價(jià)格，T為到期日，那么得到歐式看漲期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式[1]

N（x）為累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。Fama[3]在1965年指出，資產(chǎn)價(jià)格具有長(zhǎng)期依賴性，由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的高斯過程，有長(zhǎng)期依賴性，所以它能夠更精確的描述出金融資產(chǎn)的變化。

Rogers[4]發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)路徑積分理論下的市場(chǎng)存在著套利機(jī)會(huì)。2003年，Hu和Oksendal[5]推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)Girsanov公式（情形）和分?jǐn)?shù)公式，并驗(yàn)證了此積分對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)沒有套利機(jī)會(huì)。

亞式期權(quán)是一張期權(quán)合約，它在到期日的收益依賴于整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)的資產(chǎn)價(jià)格的平均值，這種路徑依賴型期權(quán)不僅減少了價(jià)格變動(dòng)所帶來的影響，也可以準(zhǔn)確的反映股票價(jià)格變化的趨勢(shì)，根據(jù)計(jì)算亞式期權(quán)價(jià)格方法的不同，可以分為算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)，根據(jù)到期日收益的不同，可以分為固定敲定價(jià)格和浮動(dòng)敲定價(jià)格兩類。

一、亞式期權(quán)價(jià)值的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)（H1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿足如下隨機(jī)微分方程

這里μ和σ都為常數(shù)，分別表示資產(chǎn)的預(yù)期收益率和波動(dòng)率，為的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；（H2）投資組合的期望回報(bào)率與無風(fēng)險(xiǎn)利率相等；（H3）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；（H4）證券是連續(xù)交易，不存在紅利、稅收且不需支付交易費(fèi)用。

設(shè)幾何平均亞式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為V=V（t，Jt，St），其中為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在上的幾何平均值. 構(gòu)造一個(gè)投資組合：1份幾何平均亞式標(biāo)的資產(chǎn)看漲期權(quán)多頭、份標(biāo)的資產(chǎn)

令那么我們可以得到下面的亞式期權(quán)價(jià)值的數(shù)學(xué)模型，

定理2.1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（2.1），則執(zhí)行價(jià)格為K、到期日為T的幾何平均亞式看漲期權(quán)在時(shí)刻的價(jià)值滿足如下數(shù)學(xué)模型：

二、模型求解

定理3.1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足（2.1），則執(zhí)行價(jià)格為K、到期時(shí)間為T的幾何平均亞式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為

證明 由定理2.1可知，幾何平均亞式看漲期權(quán)在時(shí)刻的價(jià)值滿足模型（2.6）。令

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解理論[6]，（3.1）式的解可寫為

三、數(shù)值算例

本節(jié)將利用定理3.1的定價(jià)公式進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。我們?cè)O(shè)一只標(biāo)的資產(chǎn)為股票的歐式亞式期權(quán)的股票價(jià)格服從（2.1）公式中的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。規(guī)定其標(biāo)的股票價(jià)格為80元，執(zhí)行價(jià)格為80元，一年到期，年波動(dòng)率為0.4，無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.05. 即：

圖4.1給出了不同的無風(fēng)險(xiǎn)利率下亞式看漲期權(quán)價(jià)值的變化圖。因?yàn)閷?shí)際情況下的利率的變化很微小，所以為了圖像的區(qū)分度，我們選取的4組利率值變化較大。由圖可以看出，隨著利率變大，看漲期權(quán)的價(jià)值也在變大，因?yàn)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率的增大會(huì)使得標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期日的期望收益變大。從圖4.2我們可以看出，敲定價(jià)格與漲期權(quán)價(jià)值成反比，即看漲期權(quán)的價(jià)值隨著敲定價(jià)格的遞增而減少。

圖4.3

圖4.3給出了不同赫斯特指數(shù)下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與亞式看漲期權(quán)價(jià)值的關(guān)系，由圖可知，隨著赫斯特指數(shù)的增大，看漲期權(quán)價(jià)值在變小。

四、結(jié)語

本文主要運(yùn)用證券組合技術(shù)和無套利原理，研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià)問題。應(yīng)用熱傳導(dǎo)方程對(duì)該模型進(jìn)行求解，得到了亞式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式，通過數(shù)值算例得出各參數(shù)對(duì)亞式期權(quán)的價(jià)值都有影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81： 637-659.

[2]Merton M C. Theory of rational option pricing[J]. Journal of Economics and Management Science， 1973， 4： 141-183.

[3]Fama E. The behavior of stock market prices[J]. The Journal of Business， 1965， 38： 34-105.

[4]Rogers L C G， Shi Z. The value of an Asian option[J]. Journal of Applied Probability， 1995： 1077-1088.

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基金項(xiàng)目：安徽三聯(lián)學(xué)院平臺(tái)基金重點(diǎn)項(xiàng)目，項(xiàng)目號(hào)：PTZD2017004。