數(shù)學(xué)建模：賦予兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然生長(zhǎng)的力量

焦世偉

所謂“數(shù)學(xué)建模”，是指在數(shù)學(xué)教與學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而將實(shí)際問(wèn)題抽象成“數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程。實(shí)施“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)，不僅是引導(dǎo)兒童掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的需要，而且是發(fā)展兒童數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)眼光、形成兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要。立足于“兒童立場(chǎng)”和“數(shù)學(xué)視野”，“數(shù)學(xué)建模”能夠賦予兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然生長(zhǎng)的力量。

一、從問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)兒童的建模興趣

“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)的心臟，也是激發(fā)兒童數(shù)學(xué)思維的“起搏器”。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)兒童數(shù)學(xué)建模的興趣?！皵?shù)學(xué)模型”是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題被抽象化、形式化后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。教師要讓問(wèn)題充滿內(nèi)在的張力，將問(wèn)題設(shè)置于兒童的“最近發(fā)展區(qū)”，通過(guò)問(wèn)題召喚，引領(lǐng)兒童展開(kāi)數(shù)學(xué)化思考。例如教學(xué)“確定位置”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第10冊(cè)），教學(xué)中教師首先要找準(zhǔn)新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，將新知嫁接到兒童的舊知上。在小學(xué)一年級(jí)，孩子們?cè)?jīng)將物體排一排，這是在一維空間上的確定位置。從一維導(dǎo)向二維，教師可以出示班級(jí)座位圖，讓學(xué)生表示出班長(zhǎng)的位置，這是兒童現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，有一種內(nèi)在的驅(qū)動(dòng)力。于是有的孩子用文字表示，有的孩子用符號(hào)表示，有的孩子用圖形表示，等等。在不同的表征中，有的孩子先從左往右表示，有的孩子先從前往后表示，等等，由此出現(xiàn)了位置確定的表達(dá)混亂。為了統(tǒng)一，自然地生成了規(guī)定的表示方法，于是“數(shù)對(duì)”的概念自然創(chuàng)生，“用數(shù)對(duì)確定位置”的數(shù)學(xué)模型被自然建立。為了深化和拓展兒童模型化的數(shù)學(xué)思維，教師可由線而面、由面而體，將二維的平面圖導(dǎo)向三維的立體圖。通過(guò)出示立體的空間點(diǎn)子圖，有孩子自然地提出從長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度用三個(gè)數(shù)形成“數(shù)對(duì)”表示點(diǎn)的位置。模型化數(shù)學(xué)思維的逐步培養(yǎng)，讓兒童形成了“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)、方法和思想。兒童在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中形成了系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思維能力和綜合素養(yǎng)。

二、從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，豐富兒童的建模內(nèi)容

兒童的數(shù)學(xué)建模建基于兒童的已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，一方面，教師要發(fā)掘教材中的“模型因子”，善于尋找數(shù)學(xué)建模之“源”與“流”；另一方面，教師要讓數(shù)學(xué)的模型對(duì)接兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，讓兒童善于從自己的已有經(jīng)驗(yàn)中找尋建模的主題內(nèi)容，激發(fā)兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“場(chǎng)”。例如相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算就是乘法的建模內(nèi)容；單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)，速度、時(shí)間與路程，工效、工時(shí)與工總等也是乘法的建模內(nèi)容；溫度計(jì)的零上與零下、海平面以上和海平面以下等是正負(fù)數(shù)的建模內(nèi)容；尋找數(shù)量間的相等關(guān)系是方程的建模內(nèi)容；長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的體積公式是直柱體體積公式的建模內(nèi)容；堆放木頭的根數(shù)就是梯形面積的建模內(nèi)容；整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法等是“計(jì)數(shù)單位相同才能相加減”的建模內(nèi)容，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)等是分?jǐn)?shù)乘法的建模內(nèi)容；“轉(zhuǎn)盤游戲”是統(tǒng)計(jì)與概率的建模內(nèi)容，等等。不難看出，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容本身就是一種數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中，教師要引領(lǐng)兒童對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)約、抽象，展開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，讓兒童把握知識(shí)的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)而學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，乃至“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思維”。

三、從方法出發(fā)，展現(xiàn)兒童的建模過(guò)程

“數(shù)學(xué)建?！庇小翱v向建?！焙汀皺M向建?！敝?。所謂“縱向建模”是指從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形開(kāi)始，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而用一種固定的模型表示出來(lái)。所謂“橫向建?！笔侵笍膶?duì)某一問(wèn)題的不斷追問(wèn)、舉一反三中將某一題型歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。在“數(shù)學(xué)建模”過(guò)程中可以采用比較法、圖像法和邏輯推理法等，讓兒童舍棄問(wèn)題的非本質(zhì)屬性，凸顯本質(zhì)屬性，形成純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如從長(zhǎng)方形的面積公式模型可以推理出平行四邊形的面積公式模型，從平行四邊形的面積公式模型可以推理出三角形、梯形面積公式模型等。教學(xué)“圓的面積”，首先通過(guò)圓的內(nèi)接正方形和外切正方形，得出圓面積大于半徑平方的2倍而小于半徑平方的4倍。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)兒童展開(kāi)猜想。于是他們有的猜想圓的面積可能是半徑平方的2倍多，有的猜想圓的面積可能是半徑平方的3倍多，究竟哪種猜想正確呢？接著筆者引導(dǎo)兒童通過(guò)剪切、拼合的方法將圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形或梯形等，推出圓的面積是半徑平方的π倍。如此，孩子們洞悉了圓的面積和半徑平方的關(guān)系，感悟到“把圓等分成的份數(shù)越多，圓的面積就越接近于平行四邊形、長(zhǎng)方形、三角形或梯形的面積”等的極限思想，建立了圓的面積的數(shù)學(xué)模型。由于兒童經(jīng)歷了“圓的面積”數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，因此他們的數(shù)學(xué)觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)和分析的能力得到了提升。

總之，要將“數(shù)學(xué)建?！比谌霐?shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，讓兒童在不知不覺(jué)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)知識(shí)的自主性建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)生性生長(zhǎng)。

（作者單位：江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)楊壽學(xué)校）