一種可變形桁架逆運動學方法

鄧 雅，張錦江

(北京控制工程研究所，北京100190)

一種可變形桁架逆運動學方法

鄧 雅，張錦江

(北京控制工程研究所，北京100190)

針對空間站組裝艙段轉(zhuǎn)位過程中，以可變形桁架(VGT)作為空間操作機構(gòu)的系統(tǒng)的逆運動學問題進行了研究。給出了一種基于等效機械臂模型和工作空間密度函數(shù)擴散過程的逆運動學方法，其基本思想是：首先計算VGT各級的等效機械臂模型，由關(guān)節(jié)運動范圍得到單級機械臂的工作空間密度函數(shù)，將后一級關(guān)節(jié)點的工作空間密度函數(shù)視為之前各級的擴散過程，尋找使得末端在期望位置工作空間密度函數(shù)的值最大的一組等效機械臂模型關(guān)節(jié)變量值，計算該組等效機械臂模型對應的桁架模型可調(diào)桿長度值，即為所求逆運動學。與通過蠻力枚舉求解可調(diào)桿長度的逆運動學方法相比，本文的方法能夠有效提高運算效率。最后通過仿真驗證了該方法的正確性和有效性。

空間操作機構(gòu)；可變形桁架(VGT)；逆運動學；工作空間密度函數(shù)；擴散過程

0 引 言

我國將于2020年前后建成空間站，它由核心艙、實驗艙等艙段構(gòu)成[1]，艙段之間通過空間操作機構(gòu)連接?？臻g操作機構(gòu)大多由空間機械臂實現(xiàn)，然而，受質(zhì)量和能源的限制，空間機械臂一般采用輕型材料、細長結(jié)構(gòu)，因而在高速操作中易產(chǎn)生彈性變形和振動[2]。作為另一類空間操作機構(gòu)，可變形桁架(Variable geometry truss, VGT)是指桁架的空間結(jié)構(gòu)確定而幾何參數(shù)可變，通過調(diào)節(jié)部分桿件的長度實現(xiàn)對末端負載位置和姿態(tài)的移動[3]。由于VGT通常安裝較多分布式的傳感器和執(zhí)行器，與傳統(tǒng)串聯(lián)機械臂相比，可以提供更強的靈活性，同時，其串并聯(lián)混合結(jié)構(gòu)具有更強的剛度，能夠?qū)崿F(xiàn)空間建造、組裝和運輸?shù)裙δ躘4]。

已有學者針對VGT的設計、規(guī)劃、控制等問題開展了研究工作。Murotsu等[5]研究了VGT最優(yōu)構(gòu)型問題，Sutter等[6]分析了國際空間站上桁架的性能。Utku等[7]給出了一種慢速運動下的軌跡跟蹤方法。Hanahara等[8]在文獻中采用自適應結(jié)構(gòu)的思想，研究了航天器搭載多個VGT時的動量管理問題。

對VGT逆運動學的求解方法，主要有以下五種：1)蠻力枚舉(Brute-force enumeration)求解，遍歷所有桿件狀態(tài)的組合，得到末端工作點位置并將數(shù)據(jù)儲存，從中選擇一個最接近期望點的作為結(jié)果。該方法運算量和存儲量很大，桁架級數(shù)較高時難以得到結(jié)果。2)參考多冗余機械臂的逆運動學，采用幾何方法直接求解，該方法僅對某些特殊構(gòu)型有效[9]。3)采用遺傳算法等迭代方法，該類方法的結(jié)果依賴于初始點的選擇，且容易陷入局部最優(yōu)[10]。4)Jacobian矩陣偽逆方法，Huang等[11]給出了一種空間八面體型VGT基于Jacobian矩陣偽逆的微分逆運動學模型，然而對一般的VGT難以寫出Jacobian矩陣的解析解。5)基于擴散理論的方法，Chirikjian和Ebert-Uphoff等[12-15]中給出了一種基于擴散過程的VGT逆運動學解法，但僅解決了離散二狀態(tài)桿，且需存儲各級所有變量，當級數(shù)較大時，數(shù)據(jù)量仍然較大。文獻[16-17]在此基礎上給出了一種同時計算兩級桁架的擴散過程算法，能夠有效減小誤差。文獻[18]給出了一種求解平面冗余機器人逆運動學的算法。均未給出一種能夠解決桿件長度連續(xù)變化的VGT逆運動學的方法。

本文為解決以VGT作為操作機構(gòu)的空間站組裝艙段過程中，使負載艙段相對基座艙段到達指定位置時的逆運動學問題，給出了一種基于等效機械臂模型和工作空間密度函數(shù)擴散過程的方法。

與已有算法相比，本文的貢獻在于提出了一種等效機械臂模型，將VGT變?yōu)殛P(guān)節(jié)變量離散的串聯(lián)機械臂，將多級桁架逆運動學的求解轉(zhuǎn)換為串聯(lián)機械臂的遞推求解，該方法具有高效準確的特點，也為將來三維VGT的逆運動學求解提供了一種思路。與文獻[12-17]中針對離散二連桿的擴散過程算法相比，本文的研究對象為連續(xù)變化的可調(diào)桿，且減少了每級的數(shù)據(jù)存儲量。

文章首先給出了系統(tǒng)描述及正運動學模型，然后提出了一種等效機械臂模型，由關(guān)節(jié)運動范圍得到單級機械臂的工作空間密度函數(shù)，在基座艙段質(zhì)心坐標系中，將后一級關(guān)節(jié)點的工作空間密度函數(shù)視為之前各級的擴散過程，尋找使得末端在期望位置工作空間密度函數(shù)值最大的一組等效機械臂模型關(guān)節(jié)變量值，計算該組等效機械臂模型對應的桁架模型可調(diào)桿長度值，即為所求逆運動學。最后通過仿真驗證了該方法的正確性和有效性。

1 問題描述

如圖1～2所示，本文所研究的平面桁架系統(tǒng)由基座艙段、負載艙段及N級VGT構(gòu)成，其中基座艙段和負載艙段均視為均勻密度的矩形。第k級(k=1,…,N)桁架自左至右分別為可調(diào)桿rk,1、rk,2、rk,3，桿長可在范圍[rmin,rmax]內(nèi)連續(xù)變化。第k級上端與k+1級下端通過固定桿wk+1連接，第1級下端固定桿w1與基座艙段上端固連，第N級上端固定桿wN+1與負載艙段下端固連。

建立系統(tǒng)質(zhì)心坐標系XOY，原點位于系統(tǒng)質(zhì)心O，X軸、Y軸分別與慣性系坐標軸平行；基座艙段質(zhì)心坐標系XbObYb，原點位于基座質(zhì)心Ob，Xb軸、Yb軸分別沿著基座艙段矩形的長邊和寬邊，方向如圖1中所示。rb為基座艙段質(zhì)心Ob到桁架的垂直距離，re為負載艙段質(zhì)心Oe到桁架的垂直距離，φk為固定桿wk角度，φb為基座艙段質(zhì)心坐標系角度，φe為負載艙段角度，即負載艙段長邊相對系統(tǒng)質(zhì)心坐標系X軸轉(zhuǎn)過的角度，xk,f、xk,g分別為固定桿wk左、右頂點位置，ψk,1為固定桿wk與可調(diào)桿rk,2的夾角，ψk,2為可調(diào)桿rk,2與可調(diào)桿rk,1的夾角。

為研究方便，首先給出本文的一些基本假設：

1)基座艙段、負載艙段及VGT所有桿件均為剛體，桿件質(zhì)量集中在固定桿的頂點；

2)忽略軌道運動；

3)忽略重力及其他引力；

4)VGT各級具有相同的固定桿桿長w和可調(diào)桿變化范圍[rmin,rmax]。

s.t.rk,i∈[rmin,rmax](k=1,…,N;i=1,2,3)

(1)

2 正向運動學

本節(jié)采用遞推方式中推導系統(tǒng)正向運動學，即已知基座艙段質(zhì)心的位置xb和姿態(tài)φb，VGT各級可調(diào)桿長度{rk,i}(k=1,…,N;i=1,2,3)，求取負載艙段的位姿xe和φe。

在系統(tǒng)質(zhì)心坐標系中，已知xb=(xb,yb)，且已知φb和{rk,i}。由幾何關(guān)系可計算出第1級桁架固定桿左頂點位置x1,f=(x1,f,y1,f)、右頂點位置x1,g=(x1,g,y1,g)及角度φ1為

(2)

(3)

φ1=φb

(4)

x1,g=x1,f+wcosφ1

(5)

y1,g=y1,f+wsinφ1

(6)

在第k級桁架中，可調(diào)桿rk,1、rk,2、rk,3及固定桿wk、wk+1構(gòu)成兩個三角形，由余弦定理，可得

(7)

(8)

當已知固定桿wk頂點位置xk,f=(xk,f,yk,f)、xk,g=(xk,g,yk,g)及角度φk時，由式(7)～(8)可求得第k+1級固定桿位姿

xk+1,f=xk,f+rk,1cos(φk+ψk,1+ψk,2)

(9)

yk+1,f=yk,f+rk,1sin(φk+ψk,1+ψk,2)

(10)

xk+1,g=xk,f+rk,2cos(φk+ψk,1)

(11)

yk+1,g=yk,f+rk,2sin(φk+ψk,1)

(12)

(13)

由式(2)～(13)可遞推得到第N級桁架與負載艙段相連的固定桿wN+1頂點位置xN+1,f=(xN+1,f,yN+1,f)、xN+1,g=(xN+1,g,yN+1,g)及角度φN+1。由負載艙段幾何關(guān)系，可得負載艙段質(zhì)心位姿

(14)

(15)

φe=φN+1

(16)

式(14)～(16)即為正運動學模型。

3 等效機械臂模型

本節(jié)給出一種等效機械臂模型，為后續(xù)逆運動學做準備。

基座艙段和負載艙段模型不變，將每一級桁架模型轉(zhuǎn)換為一組串聯(lián)的移動關(guān)節(jié)和轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，從而將整個系統(tǒng)變?yōu)榇?lián)機械臂模型。具體變換方法如圖3所示，第k級可變形桁架下端固定桿wk，上端固定桿wk+1，將wk的中心作為等效后的關(guān)節(jié)點位置xk,m，則xk,m=(xk,f+xk,g)/2。從第k個關(guān)節(jié)點依次經(jīng)過移動關(guān)節(jié)qk,d和轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)qk,θ后到達第k+1個關(guān)節(jié)點?；摱魏拓撦d艙段的關(guān)節(jié)點分別位于各自的質(zhì)心。由于w1和wN+1固定桿分別與艙段固連，因而在等效模型中不再考慮這兩桿等效后的關(guān)節(jié)點。

參考機器人學中DH坐標系定義方法，定義等效機械臂關(guān)節(jié)坐標系。如圖3所示，第k組等效關(guān)節(jié)中，第k個移動關(guān)節(jié)坐標原點Ok,d位于關(guān)節(jié)起始位置中心，yk,d軸沿關(guān)節(jié)軸向，xk,d軸由右手系得出；第k個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)坐標原點Ok,θ位于關(guān)節(jié)中心，yk,θ軸沿著下一個移動關(guān)節(jié)qk+1,d軸向，xk,θ軸由右手系得出。在此基礎上定義關(guān)節(jié)變量，移動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)距離qk,d定義為原點Ok,d到Ok,θ的長度，轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角qk,θ定義為坐標軸xk,θ到xk+1,d的角度，逆時針為正。

根據(jù)上述定義及VGT正向運動學，推導VGT與等效機械臂的變換關(guān)系。若已知VGT中第k級桁架可調(diào)桿長度rk,1、rk,2、rk,3，求等效機械臂第k級關(guān)節(jié)變量qk,d、qk,θ。

(17)

(18)

式中：

sA=sin(φk+1+ψk+1,1+ψk+1,2)

cA=cos(φk+1+ψk+1,1+ψk+1,2)

sB=sin(φk+1+ψk+1,1)

cB=cos(φk+1+ψk+1,1)

sC=sin(ψk,1+ψk,2)

cC=cos(ψk,1+ψk,2)

sD=sinψk,1

cD=cosψk,1

其中，ψk,1、ψk,2的值可由式(7)、(8)求出。

反過來，若已知等效機械臂第k級關(guān)節(jié)變量qk,d、qk,θ，求取第k級桁架可調(diào)桿長度rk,1、rk,2、rk,3時，首先由前述等效化方法及機器人建模方法，設第k個關(guān)節(jié)點的齊次坐標pk=[xk,m,yk,m,1]T，有第k組關(guān)節(jié)的齊次變換矩陣

(19)

記基座艙段質(zhì)心齊次坐標pb，負載艙段質(zhì)心齊次坐標pe，則

(20)

從而得到各級關(guān)節(jié)點位置坐標xk,m。由等效機械臂轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)角，可以得到其相對基座艙段坐標系的絕對角度

(21)

認為第k級固定桿wk的方向垂直第k+1級等效機械臂關(guān)節(jié)yk+1,d軸方向，可得頂點位置

(22)

(23)

于是可得VGT第k級可調(diào)桿長度

(24)

(25)

(26)

由此得到多級VGT與等效串聯(lián)機械臂的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

4 工作空間密度函數(shù)及擴散過程

本節(jié)給出工作空間密度函數(shù)的定義及擴散過程的描述，為后續(xù)逆運動學算法的提出理論基礎。

機械臂M末端執(zhí)行器能夠到達的位置稱為可達點，所有可達點的集合為該機械臂末端的工作空間，記為SM。關(guān)節(jié)變量連續(xù)的機械臂稱為連續(xù)機械臂，其工作空間為連續(xù)區(qū)域；關(guān)節(jié)變量為離散值的機械臂稱為離散機械臂，此時SM為離散點集。

工作空間密度函數(shù)是對離散工作空間精確性的度量，高密度點意味著離散機械臂可以更精確地到達[12]。在給定坐標系XcOcYc內(nèi)，有一平面離散機械臂M，其末端執(zhí)行器工作空間為坐標系XcOcYc內(nèi)的點集cSM，所有可達點數(shù)量cΣ=card(cSM)，其中card(·)表示集合中元素的數(shù)量。根據(jù)cSM中x、y的變化范圍[xmin,xmax]及[ymin,ymax]，可以得到覆蓋cSM的矩形cD=[xmin,xmax]×[ymin,ymax]，則cSM?cD。沿x、y以步長s0將區(qū)域cD劃分為cΩx×cΩy的網(wǎng)格，沿坐標軸方向?qū)⑿【匦尉幪枮?cgi,cgj)(i=1,…,cΩx;j=1,…,cΩy)，對應的覆蓋范圍為cΛi×cΛj和可達點數(shù)量cσi,j分別為

cσi,j=card({(x,y)∈cSM}∩{(x,y)∈cΛx×cΛy})

式中：

δx=[xmin+(i-1)s0,xmin+is0)

δy=[ymin+(j-1)s0,ymin+js0)

δxlast=[xmin+(i-1)s0,max{xmin+is0,xmax}]

δylast=[ymin+(j-1)s0,max{ymin+js0,ymax}]

則該網(wǎng)格的工作空間密度為

(27)

所有網(wǎng)格的工作空間密度構(gòu)成了機械臂M的末端執(zhí)行器在坐標系XcOcYc內(nèi)的工作空間密度函數(shù)

cgM(x,y)=cgi,j,若(x,y)∈cΛi×cΛj

(28)

對于由P段串聯(lián)而成的機械臂M，每段包含一個或多個連桿，每個連桿包含一個關(guān)節(jié)，定義第k(k=1,…,P)段的固連坐標系XckOckYck，根據(jù)上述定義，第k段的末端點在坐標系XckOckYck內(nèi)的工作空間密度函數(shù)為ckgk。由于工作空間密度函數(shù)具有馬爾科夫性質(zhì)，因而工作空間的生成可以描述為擴散過程[13-14]，即k段末端點在坐標系Xc1Oc1Yc1內(nèi)的密度函數(shù)c1gk為各段末端在各自坐標系內(nèi)的密度函數(shù)依次卷積

c1gk=c1g1*c2g2*…*ckgk

(29)

其中，*為二維離散卷積。

5 基于等效機械臂和擴散過程的逆運動學算法

逆運動學是指已知基座艙段位置xb和負載艙段位置xe，求取VGT各級可調(diào)桿長度{rk,i} (k=1,…,N;i=1,2,3)。針對這一問題，基于第2～4節(jié)的理論，本節(jié)給出一種基于等效機械臂和擴散過程的N級平面VGT逆運動學算法，其基本思想是：首先針對桁架的每一級，通過遍歷所有可調(diào)桿桿長組合，得到該級的構(gòu)型集合。然后將該級轉(zhuǎn)化為等效機械臂模型的一組關(guān)節(jié)，根據(jù)構(gòu)型集合得到這組關(guān)節(jié)在其體坐標系內(nèi)的工作空間及工作空間密度函數(shù)。針對等效機械臂模型，從第1組關(guān)節(jié)開始至最后一組關(guān)節(jié)，依次尋找每一組關(guān)節(jié)點的可達點中，使末端執(zhí)行器在期望位置的密度函數(shù)取最大值的那個可達點，將其作為該組關(guān)節(jié)點的位置，從而得到各組關(guān)節(jié)點的位置。最后，根據(jù)各組關(guān)節(jié)點位置，計算等效機械臂模型關(guān)節(jié)變量，再變換為桁架模型，即可得到該期望末端執(zhí)行器位置所對應的VGT關(guān)節(jié)變量。具體算法如下：

求VGT可調(diào)桿長度{rk,i}(k=1,…,N;i=1,2,3)。

第一步，計算單級桁架構(gòu)型集合。在本文中，由于各級桁架參數(shù)相同，因而具有相同的構(gòu)型集合。以第1級桁架為例，可調(diào)桿r1,1、r1,2、r1,3分別以步長rs在[rmin,rmax]范圍內(nèi)遍歷，與固定桿w1、w2構(gòu)成第一級桁架的構(gòu)型集合c1Struss,1。于是可以得到N級桁架中各級的構(gòu)型集合c1Struss,1,…,cNStruss,N。

第二步，計算單級等效機械臂工作空間密度函數(shù)。將第一步中的桁架轉(zhuǎn)化為相應的等效機械臂模型，仍以第一級為例，桁架變量轉(zhuǎn)化關(guān)節(jié)q1,d和q1,θ，固連坐標系為Xc1Oc1Yc1，在這個坐標系內(nèi)，集合c1Struss,1中的每一個構(gòu)型c1struss,1∈c1Struss,1都有一個對應的等效機械臂可達點c1slink,1，于是c1Struss,1轉(zhuǎn)化為第一組機械臂在坐標系Xc1Oc1Yc1內(nèi)的工作空間c1Slink,1。根據(jù)式(27)～(28)可求得第一組機械臂末端在坐標系Xc1Oc1Yc1內(nèi)的工作空間密度函數(shù)c1g1。重復此過程，可以得到N級等效機械臂中各末端的工作空間密度函數(shù)c1g1,…,cNgN。

第四步，計算各級桁架可調(diào)桿長度。根據(jù)式(21)～(26)，由第三步求得的等效機械臂各級關(guān)節(jié)點，可以計算出VGT所有可調(diào)桿長度{rk,i} (k=1,…,N;i=1,2,3)。

本節(jié)給出的算法，將VGT變?yōu)殛P(guān)節(jié)變量離散的串聯(lián)機械臂，將多級桁架逆運動學的求解轉(zhuǎn)換為串聯(lián)機械臂的遞推求解，能夠有效提高運算效率，解決了桿件長度連續(xù)可調(diào)的平面VGT逆運動學問題。

6 仿真校驗

本節(jié)針對第5節(jié)所給出的逆運動學算法進行數(shù)值仿真校驗。

6.1 算法正確性仿真試驗

以3級VGT逆運動學為例，驗證算法正確性，仿真參數(shù)：N=3，w=1，rb=0.5，re=0.5，rmin=1，rmax=2，rs=0.2。負載艙段質(zhì)心在基座質(zhì)心坐標系內(nèi)的期望點為(bxdes,bydes)=(-1,5)，初值rk,i=rmin=1 (k=1,…,N;i=1,2,3)。

根據(jù)式(27)～(28)可以得到各級工作空間及密度函數(shù)如圖4～6所示。

執(zhí)行第5節(jié)給出的算法，可以得到逆運動學各級關(guān)節(jié)點在基座質(zhì)心坐標系中的坐標，從而得到等效機械臂模型各級變量，并計算得到最終的桁架逆運動學，如表1所示。此時等效機械臂及桁架位型如圖7所示，此時負載艙段質(zhì)心實際位置為(-1.0675,5.0311)，式(1)中的指標J=0.0055，可以通過適當減小步長rs來提高末端位置精度。

表1 等效機械臂及桁架模型變量值Table 1 Equivalent bariables and truss variables

6.2 算法運算效率仿真實驗

在VGT級數(shù)不同時，將本文方法的運算效率與蠻力枚舉搜索方法進行對比。

仿真參數(shù)：w=1，rb=0.5，re=0.5，rmin=1，rmax=2，初值rk,i=rmin=1 (k=1,…,N;i=1,2,3)。在蠻力枚舉中桿長步長rs=0.6，在本文方法中，桿長步長rs=0.1。當級數(shù)分別為N=3,5,7,9,11,21,51級時，算法對比結(jié)果如表2所示。

表2 時間消耗及誤差指標對比結(jié)果Table 2 Comparison of time consumption and accuracy

有結(jié)果可以看出，當N<5時，二者消耗時間相近，但隨著級數(shù)的增加，蠻力枚舉方法的時間迅速攀升，當N=9時已經(jīng)超過4500s，級數(shù)更高時則由于時間過長難以得到結(jié)果導致數(shù)據(jù)缺失。而本文算法時間隨級數(shù)增長緩慢，即使到N=51級時也未超過800s。因而在時間消耗上，本文算法具有顯著優(yōu)勢。在精確性方面，本文方法所得目標點的精確性在不同級數(shù)下表現(xiàn)較為穩(wěn)定，在N=5,7,9時誤差指標稍高于蠻力枚舉，在N=3時優(yōu)于蠻力枚舉方法。

從實驗結(jié)果可以看出，本文方法在級數(shù)N<5與蠻力枚舉方法性能接近，當級數(shù)增加時，體現(xiàn)出較快的運算時間和較好的精確性，尤其適合級數(shù)較大的情形。此外，實驗結(jié)果的時間消耗與精確性與桿長步長rs相關(guān)，當rs選擇的越小，時間消耗越長而精確性越高。

7 結(jié) 論

本文針對空間站在軌組裝建造時，以VGT作為操作機構(gòu)的系統(tǒng)進行轉(zhuǎn)位時的逆運動學問題進行了研究。首先提出了一種關(guān)節(jié)點位置等效的機械臂模型，將桁架運動轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)變量離散的串聯(lián)機械臂。而后給出了工作空間密度函數(shù)及擴散過程的描述。在此基礎上，給出了一種逆運動學算法，基于擴散過程遞推求解關(guān)節(jié)點，再通過等效機械臂反算為桁架變量。最后通過仿真驗證了該方法的正確性和有效性。本文將多級桁架逆運動學的求解轉(zhuǎn)換為串聯(lián)機械臂的遞推求解，提供了一種高效準確求解桿件連續(xù)可調(diào)的平面VGT逆運動學的方法。

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(編輯：牛苗苗)

A Method on Inverse Kinematics of Variable Geometry Truss

DENG Ya, ZHANG Jin-jiang

(Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China)

A method on the inverse kinematics of variable geometry truss (VGT) is proposed in this paper for the assembling of the space station modules. This method is based on an equivalent manipulator model and the diffusion process of the workspace density function. Firstly transfer each order of the VGT into the equivalent manipulator model and calculate its workspace density function. In the base module frame, every workspace density function is the diffusion process of all its preceding ones. Then a group of manipulator variables could be got by searching for those maximizing the workspace density function value at the desire position. The variable links of the VGT could be calculated by transferring the manipulator variables back. This method has a higher efficiency than the brute searching. The numerical simulations have demonstrated the effectiveness of the approach proposed.

Space operation structure; Variable geometry truss (VGT); Inverse kinematics; Workspace density function; Diffusion process

2017-01-19;

2017-03-13

V448.2

A

1000-1328(2017)05-0459-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.05.003

鄧 雅(1988-)，女，博士生，主要從事航天器控制方面的研究。