Matlab在曲線擬合中的應用

徐嬌艷

摘要：近年來利用Matlab進行曲線擬合解決問題的情況較多。本文通過比較介紹了Matlab在曲線擬合中的常見應用方法 。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù) 曲線擬合 誤差

曲線擬合是用連續(xù)曲線近似地描述平面上離散點組所表示的坐標之間函數(shù)關(guān)系或內(nèi)在規(guī)律的一種數(shù)據(jù)處理方法。在實際工作中，通過實驗或觀測到x與y的一組數(shù)據(jù)對（xi，yi），i=l，2，…，m，其中各xi是不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)規(guī)律相切合的函數(shù)表達式y(tǒng)=f（x，c）來反映量x與y之間的關(guān)系，即在某種程度上"最佳"地擬合已知數(shù)據(jù)。f（x，c）稱作擬合函數(shù)，其圖像稱作擬合曲線，c為待定參數(shù)[1]。C++和Fortran等傳統(tǒng)的語言編程也能實現(xiàn)擬合算法，但工作量大且繁瑣。Matlab提供了強大的矩陣處理和繪圖功能，操作簡便，能高效求解各種復雜工程問題并實現(xiàn)計算結(jié)果的可視化。Matlab本身有擬合函數(shù)，還有一個曲線擬合工具箱[2]。

擬合求得數(shù)學模型后要將實際測定的數(shù)據(jù)與用公式求出的理論值進行比較，判定其誤差程度[1]。根據(jù)這個誤差衡量擬合曲線的優(yōu)劣。

以90系列液壓泵在工作壓力210bar及420bar下的典型容積效率曲線（圖1）為例來求解泵的轉(zhuǎn)速與容積效率函數(shù)關(guān)系式。從圖上取幾組數(shù)據(jù)來研究泵的轉(zhuǎn)速與容積效率關(guān)系（相同壓力下機械效率ηt可視為定值，當p=420bar時）：

先在Matlab工作窗口中輸入下面程序，將已有數(shù)據(jù)繪在坐標圖上，如圖2。

x=[585 663 975 1365 1716 2340 2925 3510 3900]；

y=[0.83 0.85 0.875 0.89 0.90 0.91 0.914 0.917 0.915]；

plot（x，y，'r*'），legend（'實際數(shù)據(jù)（n，ηv）'），xlabel（'n（r/min））'），ylabel（'ηv '）

Matlab中求擬合的方法較多，下面對幾種常見的方法進行介紹。

1.線性最小二乘法

基本思路是選定一個含有待定系數(shù)的函數(shù)，使已有數(shù)據(jù)點與此函數(shù)曲線的距離平方和最小，再求出待定系數(shù)。此處以三階函數(shù)為例（轉(zhuǎn)速和效率分別用x、y表示）：

1）編程法

fi=a1.*x.^3+a2.*x.^2+a3.*x+a4

解得擬合函數(shù)f及其系數(shù)如下：

f=7078176274323559/1237940039285380274899124224*x^3-

7683900961798595/151115727451828646838272*x^2+

5538405443557303/36893488147419103232*x+

3449538203694265/4503599627370496

運行后顯示數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)f的最大誤差Ew=0.0075，平均誤差E1=0.0034和均方根誤差E2=0.0040及數(shù)據(jù)點與擬合曲線的圖形，如圖3所示。

可見，所得擬合曲線基本符合數(shù)據(jù)點的變化規(guī)律，最大誤差、平均誤差和均方根誤差都比較小，但精度不是很好。

2）內(nèi)建函數(shù)法

前面提到過Matlab本身有用于曲線擬合的內(nèi)建函數(shù)，例如polyfit函數(shù)，命令polyfit（x，y，n）就是用最小二乘法對所給數(shù)據(jù)進行n階多項式擬合，返回擬合多項式p（x），使得p（x（i））～=y（i）。用polyfit函數(shù)對所取數(shù)據(jù)進行曲線擬合[2]，發(fā)現(xiàn)采用內(nèi)建函數(shù)法所得3階多項式的系數(shù)與編程法一樣。但前者程序復雜，數(shù)據(jù)很大，運行時對計算機的要求高。相比后者就顯得非常簡便，只需調(diào)用一個命令。但擬合精度都不太高。并且我們還計算了4階、5階、6階的擬合曲線，發(fā)現(xiàn)階數(shù)越高，擬合曲線經(jīng)過的數(shù)據(jù)點就越多。且擬合的階數(shù)太高，Matlab系統(tǒng)自動給出警告信息，提醒過高的階數(shù)會產(chǎn)生不太好的結(jié)果。

2.插值逼近法

插值法是根據(jù)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，找到一個函數(shù)來連接已知的各點。這里介紹一維插值， Matlab中一維插值可由interpl（）函數(shù)求解。例如y1= interpl（x，y，x1，方法），其中x、y分別表示給定的一組自變量和函數(shù)值，x1為一組新的插值點，得出的y1是在插值點處的結(jié)果。常用的插值函數(shù)有：分段線性插值、Hermite插值及三次樣條插值等。下面用三種插值方法進行擬合。輸入x、y對應的數(shù)據(jù)組及方法后，運行結(jié)果如圖5所示。

總體上看：分段線性插值曲線不太光滑；三次樣條插值運行時間很長；三次Hermite插值占用內(nèi)存最大。實際問題中，應綜合考慮插值函數(shù)的收斂性、穩(wěn)定性以及光滑性的來選擇。

3.曲線擬合工具箱

曲線擬合工具箱是專門為數(shù)據(jù)集合進行曲線擬合而設(shè)計的。它集成了用Matlab建立的圖形用戶界面和M文件函數(shù)。利用工具箱的庫方程（如線性，二次，高階多項式，指數(shù)，傅立葉等）或是用戶自定義函數(shù)進行參數(shù)擬合。在Matlab的命令窗口里輸入 x和y的數(shù)據(jù)組，接著輸入"cftool"命令，進入曲線擬合工具箱界面。

1）點擊"Data"按鈕，修改數(shù)據(jù)集名將曲線命名為ηv vs. n，然后點擊"Create data set"按鈕，返回工具箱界面，這時發(fā)現(xiàn)已經(jīng)自動畫出數(shù)據(jù)集的曲線圖[3]；

2）點擊"Fitting"按鈕，修改擬合項目名稱為ηv vs. n。然后選擇擬合曲線的類型，工具箱提供的類型有：用戶自定義的函數(shù)類型、指數(shù)、傅立葉、高斯、插值和多項式等11種[3]。

選好后點擊"Apply"按鈕，在Results框中得到如下擬合結(jié)果：

對比發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)分子分母為線性的擬合曲線最接近已知泵的轉(zhuǎn)速效率曲線，其擬合結(jié)果為：

函數(shù)形式 f（x） = （p1*x + p2） / （x + q1）

其方差3.851e-005，決定系數(shù)0.9951，校正后的決定系數(shù)0.9935，標準差0.002533，方差和標準差接近0、決定系數(shù)和校正后的決定系數(shù)接近1表示較好的擬合結(jié)果。而有理數(shù)分子分母為線性的擬合方差和標準差最小，兩個系數(shù)最接近1。故p=420bar時，泵的轉(zhuǎn)速和容積效率函數(shù)關(guān)系式近似為：

ηv= （0.9293n-143）/（n-103.7）

此時直接選用有理數(shù)分子分母為線性的曲線擬合，得出p=210bar時，泵的轉(zhuǎn)速和容積效率函數(shù)關(guān)系式近似為：

ηv= （0.9685n-202.4）/（n-196.8）

此處所選有理數(shù)分子分母為線性的曲線擬合只在本例中為最佳曲線擬合，不代表所以情況，不同情況要經(jīng)過計算比較后確定。

參考文獻

[1]申紅蓮. Matlab中曲線擬合的方法[J]. 福建電腦， 2010（7）： 10-11

[2]百度文庫. matlab曲線擬合. http：//wenku.baidu.c， 2012-11-26

[3]晨宇思遠. Matlab的曲線擬合工具箱CFtool使用簡介.