解題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自然合理地?cái)?shù)學(xué)思考

何萍

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心目標(biāo)是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和元認(rèn)知水平，解題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自然合理地?cái)?shù)學(xué)思考：揭示“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系；引導(dǎo)學(xué)生突破解題難點(diǎn)；注重通性通法，激發(fā)思維.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué)；元認(rèn)知；思維；通性通法

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. ”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心是解題. 數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過(guò)程如圖1.

從圖1可以看出，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心目標(biāo)是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和元認(rèn)知水平，學(xué)生的策略性知識(shí)在解決問(wèn)題中顯得尤為重要. 教學(xué)的切入點(diǎn)應(yīng)該從引導(dǎo)學(xué)生自然合理的數(shù)學(xué)思考入手，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的解題認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、抽象概括、推理計(jì)算等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

揭示“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系

“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué). ”解題的要義不是答案本身，而在于解題的思維過(guò)程. 直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明等一系列思維過(guò)程，都需要學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立活動(dòng)來(lái)親身經(jīng)歷，任何人都無(wú)法代替，“越俎代庖”的結(jié)果必然是學(xué)生思維獨(dú)立性的喪失. 由于解題教學(xué)需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷問(wèn)題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃和反思總結(jié)等活動(dòng)，所以解題教學(xué)必須要揭開(kāi)命題“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，或探索通過(guò)“已知”可以導(dǎo)出怎樣的“未知”. 這個(gè)揭示過(guò)程就是學(xué)生的思維認(rèn)知過(guò)程. 通過(guò)充分暴露思維過(guò)程，尋找合適的解題思路.

例1 如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是______.

本題要揭示三個(gè)從“條件”到“結(jié)論”的過(guò)程. 第一，如何聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”；第二，如何轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”；第三，怎么判斷此時(shí)的值是最小值. 建議教學(xué)過(guò)程可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題進(jìn)行啟發(fā).

問(wèn)題1：由問(wèn)題你能聯(lián)想到哪些與它有關(guān)的定理？

問(wèn)題2：怎樣將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)？

問(wèn)題3：在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，連接EP，PD，則EP+PD的大小是怎樣變化的？

問(wèn)題4：何時(shí)EP+PD取到最小值？最小值是多少？

通過(guò)上述問(wèn)題展示結(jié)果背后的思維過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生思考；通過(guò)觀察進(jìn)行聯(lián)想和變換，避免學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只注重記憶知識(shí)的結(jié)論，而忽略認(rèn)識(shí)的過(guò)程. 通過(guò)揭示“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，教會(huì)學(xué)生抓住事物的本質(zhì)，從而消除在一定范圍內(nèi)形成的由經(jīng)驗(yàn)固化造成的消極影響.

引導(dǎo)學(xué)生突破解題難點(diǎn)

有效的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是基于學(xué)生認(rèn)知水平的. 學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，是學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基準(zhǔn)點(diǎn). 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平實(shí)施教學(xué)，能引起學(xué)生的共鳴，提升學(xué)生的興趣，提升教學(xué)效能. 在解題教學(xué)中，教師的啟發(fā)不是告知學(xué)生解題過(guò)程，而是幫助學(xué)生突破難點(diǎn). 教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的角度，努力理解學(xué)生的想法，然后提出一個(gè)問(wèn)題或指出一個(gè)步驟，幫助學(xué)生跨過(guò)思維的“檻”，順利地自主解決問(wèn)題，獲得成功的體驗(yàn)和有價(jià)值的解題經(jīng)驗(yàn).

例2 已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是28，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F，若AE=3，AF=4，求CE-CF的值.

本題的難點(diǎn)在于沒(méi)有圖形，需準(zhǔn)確畫(huà)出圖形. 難在怎么分類(lèi)、應(yīng)分成幾類(lèi). 如果畫(huà)出的示意圖不符合題意，怎么調(diào)整示意圖？在實(shí)際教學(xué)中，出現(xiàn)了這樣的情況. 第一，如圖3，求得的CF=6-4<0，不符合線段實(shí)際情況. 第二，漏解了圖4的解法. 第三，如何引導(dǎo)學(xué)生從圖3調(diào)整到圖5（含圖4）. 基于以上難點(diǎn)分析，可設(shè)計(jì)解題認(rèn)知活動(dòng)，展開(kāi)解題過(guò)程教學(xué).

問(wèn)題1：一個(gè)周長(zhǎng)為28的平行四邊形是確定的嗎？

問(wèn)題1用于啟發(fā)學(xué)生體會(huì)一個(gè)周長(zhǎng)為28的平行四邊形是不確定的，四條邊和四個(gè)內(nèi)角都是變量.

問(wèn)題2：請(qǐng)作出符合已知條件“已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為28，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F，若AE=3，AF=4”的圖形.

對(duì)于問(wèn)題2，根據(jù)條件可求得AD=6，AB=8，然后啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)當(dāng)平行四邊形內(nèi)角變化時(shí)，所引起的△ABC和△ACD的形狀變化，即會(huì)出現(xiàn)鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，導(dǎo)致這兩條高線位置在四邊形內(nèi)部或外部，從而產(chǎn)生位置分類(lèi).

問(wèn)題3：你能求出哪些線段的長(zhǎng)？線段是否都符合實(shí)際情況？

學(xué)生可求出線段DE，CE，BF，CF的長(zhǎng). 此時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在圖3下，CF的值不符合實(shí)際情況. 即當(dāng)CF的值為負(fù)數(shù)時(shí)，說(shuō)明BF>BC.

問(wèn)題4：你怎么調(diào)整平行四邊形的形狀，使得BF>BC？

引導(dǎo)學(xué)生在圖3的基礎(chǔ)上將圖形調(diào)整到圖5，從而求解.

解答本題的分類(lèi)討論不是一蹴而就的，而是經(jīng)歷去偽存真的發(fā)現(xiàn)和循序漸進(jìn)的突破后逐步形成的. 這種歷經(jīng)挫折后的調(diào)整與變通，并且自然而然想到的解題方法，滲透分類(lèi)思想，是切合學(xué)生需要的自然解法.

注重通性通法，激發(fā)思維

做題是為了鞏固概念，要讓學(xué)生通過(guò)解題慢慢養(yǎng)成從基本概念和基本數(shù)學(xué)原理出發(fā)去思考問(wèn)題. 而教師講題是教給學(xué)生該如何思考，如何突破性地解決問(wèn)題，從而拓展學(xué)生的思維能力，即教給學(xué)生“思維之道”. 所以，教師在講題時(shí)首先要介紹思維上最經(jīng)濟(jì)、解題思路也可以“程序化”的“通性通法”，引導(dǎo)學(xué)生從題目所涉及的基本概念上尋找思路，激發(fā)思維，學(xué)會(huì)一題多解、一題多思、一題多變，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.

例3 如圖6，以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的⊙O分別交兩腰AB，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接DE，求證：DE∥BC.

首先引導(dǎo)學(xué)生思考“要證明兩條線段平行，有哪些方法”，啟發(fā)學(xué)生思考證明線段平行的一般方法；然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考“在本題條件下，你有哪些可以證明DE∥BC的方法”，以啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.

方法1：要證明DE∥BC，只需證明∠ADE=∠ABC，那么由∠ADE=∠C，∠ABC=∠C可得證.

方法2：要證明DE∥BC，只需證明∠BDE+∠ABC=180°，由∠BDE+∠C=180°可得證.

方法3：如圖7，連接BE，要證明DE∥BC，只需證明∠DEB=∠EBC，由∠ABC=∠C得弧DC等于弧BE，則弧EC等于弧DB，得證.

方法4：如圖8，連接AO，則AO⊥BC，要證明DE∥BC，只需證明AO⊥DE，則只需證明AO平分弧DE. 由∠B=∠C得弧DC等于弧EB，則弧BD等于弧EC，則AO平分弧DE.

……

以上多種方法，既為學(xué)生在思維上歸納了證明兩條線段平行的一般方法，即證“同位角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”“垂直于同一條直線”，又在證明過(guò)程中鞏固了“圓周角定理”“垂徑定理”“圓內(nèi)接四邊形”等知識(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)到圓是基本圖形，這些性質(zhì)根據(jù)圓的對(duì)稱性引入，是圓的軸對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)不變性具體化內(nèi)容的體現(xiàn). 同時(shí)，也是轉(zhuǎn)化線段相等、角相等、弧相等的有效工具，是聯(lián)系直線、曲線、角等不同圖形的橋梁. 以此題為載體，向?qū)W生呈現(xiàn)了解題教學(xué)的一般性思路：對(duì)能證明某一結(jié)論的各種途徑先做思考，激發(fā)學(xué)生的思維，再選擇哪個(gè)能求，繼而進(jìn)一步求解.

章建躍博士說(shuō)：“解題教學(xué)中，要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道. ”所以，數(shù)學(xué)教師一定要在解題教學(xué)中教會(huì)學(xué)生合理自然地?cái)?shù)學(xué)思考，讓學(xué)生通過(guò)一道題理解一大類(lèi)題，能“舉一反三”.