規(guī)則設(shè)計(jì)及其公平性研究

宋揚(yáng)

[摘 要] 公平競爭已逐步成為人類社會(huì)的一種制度，規(guī)則設(shè)計(jì)就顯得尤為重要，其核心是公平性. 本文設(shè)計(jì)了許多數(shù)學(xué)活動(dòng)，并運(yùn)用到數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐中，激發(fā)了青年朋友們的好奇和興趣，取得了令人滿意的教學(xué)效果. 本文將活動(dòng)課的內(nèi)容和教學(xué)要點(diǎn)展示了出來.

[關(guān)鍵詞] 規(guī)則設(shè)計(jì)；公平性；概率；勝負(fù)規(guī)則；等可能性；活動(dòng)創(chuàng)新

課題

規(guī)則設(shè)計(jì)及其公平性.

事前準(zhǔn)備

硬幣3枚，相同的小紙條8張，背面相同的卡片8張，骰子2枚，小立方體4個(gè)，不透明的袋子1個(gè)，小球6個(gè)（紅球3個(gè)，白球3個(gè)），轉(zhuǎn)盤2個(gè)，彩色卡紙做成的相應(yīng)盤面.

活動(dòng)內(nèi)容和實(shí)施過程

（一）運(yùn)用硬幣設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 在足球比賽開始前，裁判員要拿出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，請一方隊(duì)長猜拋擲的硬幣落地后是正面朝上還是反面朝上，猜對了該方就先開球，否則另一方先開球. 你認(rèn)為這種方法合理嗎？為什么？

2. 甲、乙2名同學(xué)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣各一枚，落下后如果出現(xiàn)兩枚都是正面朝上，則甲獲勝；如果出現(xiàn)一正一反，乙就獲勝. 請問這種競賽規(guī)則公平嗎？若不公平，請修改規(guī)則，使游戲公平.

3. 甲、乙、丙3人拋擲質(zhì)地均勻的硬幣各一枚，落下后，朝上的一面如果出現(xiàn)兩正一反，則甲獲勝；如果出現(xiàn)一正兩反，則乙獲勝；其余情形，丙獲勝. 這種規(guī)則公平嗎？請判定并敘述理由.

（二）運(yùn)用紙條設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 用抽簽的方法從3名同學(xué)中選1名參加小記者活動(dòng). 取3張相同的紙條，并在其中1張紙條上畫上記號(hào)，再把紙條分別卷起來（模樣相同），放在一個(gè)盒子內(nèi)攪勻，然后讓這3名同學(xué)先后從中各抽取1張（抽出的紙條不放回），抽到紙條上畫有記號(hào)的同學(xué)將參加這次小記者活動(dòng). 這種方法合理嗎？為什么？

2. 用抽簽的方法從5名同學(xué)中選派2名出席某場文藝晚會(huì)，請用紙條設(shè)計(jì)規(guī)則，并說明其公平性.

3. 從全班50名同學(xué)中確定10名參加期中調(diào)研考試，試用抽簽的方法制定規(guī)則，并敘述其合理性.

（三）運(yùn)用骰子設(shè)計(jì)規(guī)則

小剛和小紅各擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，并分別制定了如下勝負(fù)規(guī)則：

1. 兩人所擲骰子點(diǎn)數(shù)之和若為奇數(shù)，小剛勝；否則小紅勝.

2. 兩人所擲骰子點(diǎn)數(shù)之和若小于7，小剛勝；若大于7，小紅勝；若等于7，不分勝負(fù)，重?cái)S一次.

3. 兩人所擲骰子點(diǎn)數(shù)之積若為奇數(shù)，小剛勝；否則，小紅勝.

4. 兩人所擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中，若一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的整數(shù)倍，小剛勝；否則，小紅勝.

5. 兩人所擲骰子的點(diǎn)數(shù)，若為一奇一偶，小剛勝；否則，小紅勝.

請用列表法或畫樹狀圖的方法逐一說明上述各規(guī)則公平與否. 如果發(fā)現(xiàn)不公平，請修改相應(yīng)的規(guī)則，使游戲公平.

（四）運(yùn)用小球設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同.

搖勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后將球放回袋中搖勻，再從袋中任意摸出1個(gè)球. 請問：

（1）兩次摸出的球都是紅球的概率是多少？

（2）兩次摸出的球?yàn)椴煌伾母怕适嵌嗌伲?/p>

2. 不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，搖勻后從中任意摸出一個(gè)球，不放回，再從袋中任意摸出一個(gè)球. 甲、乙兩人事先約定：若摸出的兩球顏色相同，則甲勝；否則，乙勝. 你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？為什么？如果不公平，請修改規(guī)則，使游戲公平.

3. （1）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)白球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，搖勻后從中不放回地先后任意摸出2個(gè)球. 如果兩球顏色相同，則甲勝；否則，乙勝. 你認(rèn)為這一規(guī)則公平嗎？請判定并敘述理由.

（2）假如把（1）小題中的“不放回”改為“有放回”，情形又將怎樣？

（五）運(yùn)用轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤A被分成3個(gè)面積相等的扇形，且扇形內(nèi)各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別為1，2，3；質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤B被分成4個(gè)面積相等的扇形，且扇形內(nèi)各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別為1，2，3，4. 甲、乙兩人約定了如下游戲規(guī)則：任意轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針?biāo)渖刃蝺?nèi)的兩個(gè)數(shù)字相乘，若所得的積是奇數(shù)，則甲獲勝；若所得的積是偶數(shù)，則乙獲勝.（注：若指針指向分界線，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)一次）

（1）你認(rèn)為這樣的規(guī)則公平嗎？為什么？

（2）如果不公平，請修改規(guī)則，使游戲公平.

（3）如果不公平，試適當(dāng)改寫轉(zhuǎn)盤B扇形內(nèi)的數(shù)字，使規(guī)則變公平.

2. 一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤被分成3個(gè)面積相等的扇形區(qū)域，將其中2個(gè)區(qū)域涂成橙色，1個(gè)區(qū)域涂成紫色，并設(shè)定規(guī)則如下：甲、乙兩人分別任意轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若指針2次落在相同顏色的區(qū)域，則甲獲勝；否則，乙獲勝. 這一規(guī)則公平嗎？為什么？如果不公平，請給予修改，使公平.

活動(dòng)創(chuàng)新素材

（一）運(yùn)用卡片設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 在4張相同的卡片上各寫上一個(gè)數(shù)字，分別為2，2，5，9，將卡片洗勻后，反扣在桌面上. 小亮和小美做游戲，設(shè)定的規(guī)則為：隨機(jī)抽取1張卡片，若卡片上的數(shù)字是偶數(shù)，則小亮勝；否則，小美勝. 你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？你能運(yùn)用這4張卡片另外設(shè)計(jì)兩種對雙方都公平的游戲規(guī)則嗎？不妨試試.

2. 仍用上述4張卡片，指定規(guī)則如下：隨機(jī)抽取1張卡片，記下數(shù)字放回，洗勻后再抽1張，將抽取的第一張、第二張卡片上的數(shù)字分別作為十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字. 若構(gòu)成的兩位數(shù)不大于52，則小亮勝；反之，小美勝. 你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？試用列表法或樹狀圖法幫助判定. 如果不公平，請你修改規(guī)則，使游戲公平.

（二）運(yùn)用小立方體設(shè)計(jì)規(guī)則

1. 一個(gè)質(zhì)地勻稱的小立方體，有3個(gè)面標(biāo)有數(shù)字3，有2個(gè)面標(biāo)有數(shù)字2，有1個(gè)面標(biāo)有數(shù)字1. 拋擲這個(gè)小立方體，落下后，若朝上的一面數(shù)字是3，則甲勝；否則，乙勝.你認(rèn)為這一規(guī)則公平嗎？請判定并敘述理由.

（4）在一個(gè)質(zhì)地均勻的小立方體的每個(gè)面各標(biāo)一個(gè)數(shù)字，使拋擲時(shí)朝上一面的數(shù)字能同時(shí)滿足上述（1）（2）（3）的要求.

3. 一個(gè)質(zhì)地均勻的小立方體的六個(gè)面各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別為1，2，3，4，5，6，請?jiān)诹硪粋€(gè)勻稱的小立方體的六個(gè)面上各寫上一個(gè)數(shù)字，使如下規(guī)則公平：小剛與小紅分別拋擲這兩個(gè)小立方體時(shí)，若所擲朝上一面的數(shù)字之積為偶數(shù)，則小剛勝；否則，小紅勝.

（三）運(yùn)用轉(zhuǎn)盤配色設(shè)計(jì)規(guī)則

兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤A被分成m個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤B被分成n個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形內(nèi)都涂有紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種. 同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，若一個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向藍(lán)色，則配成紫色；當(dāng)指針指向分界線時(shí)，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次.

1. 取m=3，n=4，且轉(zhuǎn)盤A中的3個(gè)扇形涂成紅、黃、藍(lán)色各1個(gè)；轉(zhuǎn)盤B的4個(gè)扇形，2個(gè)涂成紅色，另外2個(gè)涂成藍(lán)色. 同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一次，請問配成紫色的概率是多少？

2. 小剛和小麗用上述1中的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，設(shè)定規(guī)則如下：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止后若配成紫色，則小剛獲勝；否則，小麗獲勝. 試說明這一規(guī)則公平與否. 如果不公平，請修改規(guī)則，使游戲公平.

5. 仍取m=3，n=4，設(shè)定規(guī)則為：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止后若配成紫色，則小剛獲勝；否則，小麗獲勝. 要讓這個(gè)游戲公平，若按1中轉(zhuǎn)盤B的涂色不變，請問如何為轉(zhuǎn)盤A重新涂色？

2. （1）所標(biāo)數(shù)字為4個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)即可.

（2）在兩組相對的面上，所標(biāo)數(shù)字分別為一奇一偶；在另外一組相對的面上，所標(biāo)數(shù)字為同奇或同偶.

（3）在一組相對的面上，所標(biāo)數(shù)字都為奇數(shù)；在另外兩組相對的面上，所標(biāo)數(shù)字分別為兩個(gè)偶數(shù)或一奇一偶.

（4）要滿足上述（1）（2）（3）的要求，所標(biāo)數(shù)字的方法也是多種多樣的. 如1，2；2，1；1，1. 又如1，2；2，3；3，3.

3. 已知一個(gè)小立方體的六個(gè)面上有3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)，由于在乘法中只有奇數(shù)與奇數(shù)之積才是奇數(shù)，所以另一個(gè)小立方體的六個(gè)面上要寫的數(shù)字必須全是奇數(shù).

（三）1. P（配成紫色）=

2. 此游戲規(guī)則對小剛不利，不公平，可修改為：若配成紫色，小剛得2分；否則，小麗得1分.

3. 把轉(zhuǎn)盤B的4個(gè)扇形區(qū)域重新涂色：2紅1藍(lán)1黃，或1紅2藍(lán)1黃.

4. 把轉(zhuǎn)盤A（6個(gè)區(qū)域）重新涂色：3紅2藍(lán)1黃，或2紅3藍(lán)1黃. 對于此種情形，可設(shè)計(jì)公平規(guī)則如下：若配成紫色，則小剛勝；若兩指針?biāo)割伾嗤?，則小麗勝；其他情形，平局.

5. 將轉(zhuǎn)盤A的3個(gè)區(qū)域重新涂色：2紅1藍(lán)，或1紅2藍(lán).

6. 將轉(zhuǎn)盤B的4個(gè)區(qū)域重新涂色：（1）3藍(lán)1黃.（2）3紅1黃.

本次活動(dòng)課教學(xué)要領(lǐng)

1. 所用道具在前一次概率活動(dòng)課——隨機(jī)試驗(yàn)專題中已經(jīng)初步熟悉，這次主要是讓同學(xué)們感受解決問題的情境，比較直觀地察看隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，并從中得到感悟和升華，而不是再去重復(fù)做大量的隨機(jī)試驗(yàn).

2. 公平性的本質(zhì)是機(jī)會(huì)均等，在這里是指參賽雙方（或多方）獲勝的機(jī)會(huì)均等，即獲勝的概率相等.

3. 解決公平性問題的關(guān)鍵，是分別求出參賽各方獲勝的概率.

4. 著手點(diǎn)往往是借助列表或樹狀圖，列出試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，而且是等可能的. 要求既不遺漏，也不重復(fù). 列表法和樹狀圖法各有所長，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為2步時(shí)，運(yùn)用“表格”顯得更為清晰，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為3步（或以上）時(shí)，宜采用樹狀圖法.

5. 古典概型具有兩個(gè)基本特征：（1）隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個(gè)（有限性）；②每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同（等可能性）. 本次活動(dòng)課的概率求解，都是根據(jù)概率的古典定義（古典概型）直接計(jì)算而得到，凡涉及轉(zhuǎn)盤的問題，總是通過“等分”將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型來解決.

6. 一方面，“等可能性”是一種假設(shè)，是一種理想狀態(tài)；另一方面，根據(jù)實(shí)際情況或具體場合，完全可以判定某些隨機(jī)事件是否具有“等可能性”. 由客觀對稱性（如拋擲硬幣、擲骰子等）或某種均衡性（如摸球、抽簽等），就可以認(rèn)為該試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）是等可能的.

7. “有放回”和“無放回”是有明顯區(qū)別的. （1）結(jié)論往往不同. （2）抽簽方法是公平的，采用的是“無放回”. 如果改為“有放回”，雖然也是公平的，但有時(shí)一個(gè)輪回下來，并不能達(dá)成目標(biāo)，所以抽簽方法更為合理，常被采用.

8. 在活動(dòng)創(chuàng)新上，還可運(yùn)用兩種道具結(jié)合起來設(shè)計(jì)規(guī)則，別有特色. 限于篇幅，暫且略去.

在自然界和人類社會(huì)中，不確定現(xiàn)象大量存在. 概率刻畫了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，能幫助人們對一些隨機(jī)現(xiàn)象做出預(yù)測和判斷，為理性地制定決策（含設(shè)計(jì)）提供科學(xué)依據(jù). 本文所討論的規(guī)則設(shè)計(jì)是理想狀態(tài)下的一些具體模型，以此為基礎(chǔ)，可以推向更多的領(lǐng)域，前景非常廣闊.