聲子晶體導(dǎo)線的振動(dòng)帶隙特性

張子明，柯一丹，韓 林，張 研

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

聲子晶體導(dǎo)線的振動(dòng)帶隙特性

張子明，柯一丹，韓 林，張 研

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

為了解決超、特高壓輸電線路的舞動(dòng)問題，提出了一種由導(dǎo)線、間隔棒、彈簧振子組成的聲子晶體導(dǎo)線。基于導(dǎo)線的振動(dòng)微分方程與Bloch理論，建立了計(jì)算聲子晶體導(dǎo)線振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法，進(jìn)而通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)聲子晶體導(dǎo)線在舞動(dòng)常發(fā)的頻率范圍內(nèi)具有局域共振型帶隙特性。為了驗(yàn)證該帶隙特性，以四分裂導(dǎo)線為例，應(yīng)用有限元法計(jì)算了有限周期聲子晶體導(dǎo)線的振幅和頻率響應(yīng)特性。結(jié)果表明，在帶隙的頻率范圍內(nèi)導(dǎo)線振動(dòng)響應(yīng)具有明顯衰減，為輸電線路減振防舞提供一種新思路。

導(dǎo)線舞動(dòng)；聲子晶體；彈簧振子；帶隙；數(shù)值計(jì)算

我國(guó)是架空輸電線路舞動(dòng)多發(fā)的國(guó)家。近年來，架空輸電線路向著大截面、多分裂的方向發(fā)展，線路舞動(dòng)事故更趨頻繁，嚴(yán)重威脅電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行[1]。如何解決該問題成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了多種防治導(dǎo)線舞動(dòng)的技術(shù)和方法。例如，基于Nigol O扭轉(zhuǎn)舞動(dòng)理論的失諧擺[2]、基于Den Hartog垂直舞動(dòng)理論的壓重防舞器[3]、考慮失諧和增加扭轉(zhuǎn)阻尼的失諧扭轉(zhuǎn)阻尼器防舞器[4]以及通過擾亂沿檔氣流，減小升力系數(shù)以破壞起舞條件的擾流防舞器[5]等。然而Den Hartog垂直舞動(dòng)理論和Nigol O扭轉(zhuǎn)舞動(dòng)理論只能解釋某些特定的舞動(dòng)現(xiàn)象，因此基于這2種理論的防舞器并不適用于所有的舞動(dòng)情況；而擾流防舞器效果有限，且造價(jià)較高。故目前存在的防舞措施應(yīng)用均受限制，仍有待改進(jìn)。

目前，在抑制彈性波與振動(dòng)方面，一類周期性材料或結(jié)構(gòu)引起了人們的巨大關(guān)注。這類材料或結(jié)構(gòu)被稱為聲子晶體[6]，其概念于1993年由Kushwha第一次提出以后，人們對(duì)這種可以控制和消除振動(dòng)的人工材料表現(xiàn)出極大的研究興趣[7]。其關(guān)鍵特性即存在彈性波帶隙，并可抑制帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波與振動(dòng)，因此，聲子晶體在減振降噪等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[8-9]。聲子晶體概念無疑為抑制輸電線路舞動(dòng)提供了新思路?；诖耍疚膶崖曌泳w概念引入導(dǎo)線防舞動(dòng)研究中，探討該理念的可行性。

聲子晶體帶隙的產(chǎn)生機(jī)理可分為布拉格散射和局域共振[10-11]兩類。布拉格散射帶隙主要由結(jié)構(gòu)周期性決定，其強(qiáng)調(diào)周期結(jié)構(gòu)對(duì)波的影響。該機(jī)理所產(chǎn)生帶隙的最低頻率范圍與晶格常數(shù)有關(guān)，最低帶隙頻率對(duì)應(yīng)的彈性波波長(zhǎng)與晶格常數(shù)為同一數(shù)量級(jí)，即產(chǎn)生頻率越低的帶隙就要構(gòu)造尺寸越大的結(jié)構(gòu)[6]，這無疑限制了聲子晶體設(shè)備在低頻范圍的應(yīng)用。局域共振機(jī)理的發(fā)現(xiàn)改變了這種局面[12]，與布拉格散射機(jī)理不同，局域共振帶隙的產(chǎn)生取決于單個(gè)散射體的局域共振特性，其主要強(qiáng)調(diào)單個(gè)原胞的運(yùn)動(dòng)模式，通過構(gòu)造原胞中的共振體系，使之可等效為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，即可實(shí)現(xiàn)低頻帶隙，實(shí)現(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)[13]。

不論研究關(guān)注的是布拉格散射型聲子晶體還是局域共振型聲子晶體，一般均是先設(shè)法構(gòu)造出能夠產(chǎn)生帶隙的材料或結(jié)構(gòu)，再通過改變晶格類型、材料參數(shù)、散射體形狀、填充率等，總結(jié)帶隙的變化規(guī)律，得到獲得更寬帶隙的方法[14-15]。局域共振機(jī)理使得低頻帶隙的產(chǎn)生不需要大尺寸結(jié)構(gòu)，對(duì)抑制輸電線路舞動(dòng)具有重要的理論意義和巨大的應(yīng)用前景。因此，考慮輸電線路舞動(dòng)的頻率范圍[16]集中于0.1～0.75 Hz，再通過設(shè)計(jì)，使帶隙范圍覆蓋該頻率范圍的部分甚至全部，即可有效抑制線路舞動(dòng)發(fā)生。由于導(dǎo)線舞動(dòng)頻率極低，故易于低頻發(fā)生的局域共振帶隙是抑制導(dǎo)線舞動(dòng)的可能途徑。

本文將在現(xiàn)有的輸電導(dǎo)線及其間隔棒的基礎(chǔ)上，提出等間距布置間隔棒的措施，并在間隔棒上增設(shè)彈簧振子，基于局域共振機(jī)理和振動(dòng)方程，推導(dǎo)傳遞矩陣法并計(jì)算得到聲子晶體導(dǎo)線的振動(dòng)帶隙；再通過有限元軟件計(jì)算彈簧振子聲子晶體導(dǎo)線模型，得到簡(jiǎn)諧荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以驗(yàn)證有限周期結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)傳輸特性的影響。

圖1 聲子晶體導(dǎo)線理論模型Fig.1 Theoretical model of phononic crystal conductor

1 結(jié) 構(gòu) 模 型

聲子晶體導(dǎo)線為周期結(jié)構(gòu)，一般由細(xì)直導(dǎo)線和等間距連接間隔棒附加彈簧振子構(gòu)成。圖1是簡(jiǎn)化后的聲子晶體導(dǎo)線模型，其中每個(gè)間隔棒的質(zhì)量為M，彈簧振子的彈簧系數(shù)為k、質(zhì)量為M*，不考慮阻尼，導(dǎo)線兩端水平張力為T，相鄰彈簧振子之間的間距為a，也稱為該周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)。以導(dǎo)線其中一端為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，則第n個(gè)間隔棒位置坐標(biāo)為xn，其位移振幅為y(xn)，對(duì)應(yīng)彈簧振子位移為wn。

2 帶隙計(jì)算方法

彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)，可能會(huì)選擇頻率，即只有某些頻率的彈性波可以傳播，反之則不可。聲子晶體的研究方法借鑒了固體能帶理論，因此，一般也將頻散關(guān)系稱作能帶結(jié)構(gòu)。在頻散曲線上，每組波矢和頻率都對(duì)應(yīng)著一種平面波，表示彈性波在介質(zhì)中的一種傳播模式。而對(duì)于無法傳播的波，沒有波矢與頻率對(duì)應(yīng)，因此，頻散曲線在這些區(qū)域是斷開的，形成了所謂的彈性波帶隙。存在彈性波帶隙是聲子晶體的標(biāo)志性特征。

聲子晶體帶隙研究依賴于其計(jì)算方法。聲子晶體頻散關(guān)系的計(jì)算方法主要有傳遞矩陣法[6]、平面波展開法、集中質(zhì)量法和有限元法[7]等。其中，平面波展開法、集中質(zhì)量法、有限元法為數(shù)值方法，其計(jì)算結(jié)果的精確程度取決于平面波數(shù)的選擇和離散程度[13]。傳遞矩陣法區(qū)別于另外2種方法的是它可以獲得解析關(guān)系式，在一維聲子晶體頻散關(guān)系計(jì)算中具有一定的優(yōu)勢(shì)，是計(jì)算各種一維頻散關(guān)系的首選方法[6]。本文即采用傳遞矩陣法計(jì)算聲子晶體導(dǎo)線的頻散關(guān)系。

圖2 導(dǎo)線弦振動(dòng)Fig.2 Vibration of conductor string

(1)

其中

式中：y(x,t)——導(dǎo)線的位移；x——位置坐標(biāo)；t——時(shí)間；V——波沿導(dǎo)線傳播的速度。

設(shè)位移y(x,t)=y(x)exp(iωt)，ω為振動(dòng)角頻率，y(x)為位移振幅。得到導(dǎo)線振動(dòng)的位移振幅y(x)和斜率y′(x)為

y(x,t)=exp(iωt)[Acos(αx)+Bsin(αx)]

(2)

y′(x,t)=exp(iωt)[-Aαsin(αx)+Bαcos(αx)]

(3)

其中

式中：A、B——待定參數(shù)，可以根據(jù)邊界條件確定。

聲子晶體導(dǎo)線為周期結(jié)構(gòu)，由于單個(gè)周期內(nèi)導(dǎo)線的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面尺寸和間隔棒及彈簧振子的尺寸，則單個(gè)周期內(nèi)的導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)的微分方程仍然可以用式(1)表示。如圖1所示，根據(jù)式(2)和式(3)，第n段與第n+1段導(dǎo)線的振動(dòng)位移可以表示為

(4)

(5)

其中

設(shè)x=xn+1處彈簧振子n+1的振幅為Cn+1，則彈簧振子n+1的位移wn+1=Cn+1exp(iωt)。再考慮x=xn+1處，滿足位移協(xié)調(diào)條件和平衡條件，可以得到如下關(guān)系式：

Kψn+1=Hψn

(6)

其中

由于結(jié)構(gòu)的周期性，矢量ψn滿足Bloch定理[8]，即

[T-exp(iqa)I]ψn=0

(7)

式中：I——單位矩陣；q——波數(shù)。

λ2+[Fsin(αa)-2cos(αa)]λ+1=0

(8)

對(duì)于給定的頻率ω，可以從傳遞矩陣T得到特征值，再轉(zhuǎn)化為波數(shù)，從而得到無限周期結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)。在某些頻率范圍內(nèi)，若無法求得與之對(duì)應(yīng)的波數(shù)q的實(shí)數(shù)值，則這些頻率范圍內(nèi)的彈性波將不存在穩(wěn)定的傳播形式，舞動(dòng)即被抑制，這些頻率范圍為帶隙。

3 聲子晶體導(dǎo)線的帶隙特性分析

3.1 帶隙特性分析

根據(jù)局域共振聲子晶體帶隙的特征，即彈簧振子的共振頻率決定了帶隙的下界。因此，要產(chǎn)生一定頻率范圍的帶隙，消除導(dǎo)線在該頻率范圍內(nèi)的舞動(dòng)，必須使彈簧振子的自振頻率與該目標(biāo)帶隙的頻率相符。通過調(diào)整導(dǎo)線彈簧振子的自振頻率，使其與無彈簧振子導(dǎo)線的自振頻率保持一致，可使導(dǎo)線在原自振頻率附近產(chǎn)生帶隙。根據(jù)無彈簧振子導(dǎo)線的振動(dòng)特性，可計(jì)算出它的前1階自振頻率、前2階自振頻率、前3階自振頻率，依次為0.198 Hz、0.396 Hz、0.594 Hz。

以四分裂導(dǎo)線為例，假設(shè)間隔棒在單根導(dǎo)線上的質(zhì)量為0.5 kg，導(dǎo)線張力大小為16 kN，間隔棒之間的距離a分別設(shè)為1 m、5 m、30 m，在間隔棒上安裝彈簧振子，彈簧振子的彈簧系數(shù)為1.546 N/m，彈簧振子的質(zhì)量均為1 kg；導(dǎo)線單位長(zhǎng)度質(zhì)量取1.133 kg/m，彈性形模量取73 GPa，泊松比取0.3，橫截面面積 450 mm2。利用傳遞矩陣法，由式(8)計(jì)算得到聲子晶體導(dǎo)線的頻散曲線，如圖3所示。由于導(dǎo)線因風(fēng)荷載等因素發(fā)生舞動(dòng)，頻率集中于0.1～0.75 Hz，故選取彈簧振子導(dǎo)線的振動(dòng)頻率范圍為0～0.75 Hz進(jìn)行研究。從圖3可以看出，彈簧振子導(dǎo)線在第1階自振頻率0.198 Hz附近產(chǎn)生了一條局域共振型帶隙，帶隙范圍與一般舞動(dòng)頻率相符。隨著間隔棒之間距離的增加，聲子晶體導(dǎo)線的晶格常數(shù)和各個(gè)彈簧振子的相對(duì)位置雖發(fā)生了變化，但散射體共振的結(jié)構(gòu)并沒有變化，且該帶隙的下邊界是固定不變的。這正是局域共振型聲子晶體帶隙的基本特征，即彈簧振子的共振頻率決定了帶隙的下界。另外，隨著晶格常數(shù)增大，帶隙寬度在減小，如圖4所示。理論上，這條帶隙范圍內(nèi)的彈性波在彈簧振子導(dǎo)線結(jié)構(gòu)的傳播將會(huì)受到抑制，這將通過對(duì)比傳輸特性來驗(yàn)證。

圖3 聲子晶體頻散曲線Fig.3 Frequency dispersion curve of phononic crystal conductor

圖4 晶格常數(shù)對(duì)聲子晶體導(dǎo)線帶隙的影響Fig.4 Influence of lattice constant on band gap of phononic crystal conductor

3.2 傳輸特性分析

無限周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶隙范圍內(nèi)有完美的彈性波屏蔽效果，即使較小的衰減效應(yīng)也可以通過不斷累積而實(shí)現(xiàn)彈性波的消除。而實(shí)際應(yīng)用中，只能取用有限周期結(jié)構(gòu)，這使得頻散曲線中帶隙頻率范圍內(nèi)的某些彈性波可能無法衰減至一定程度，而仍然透過有限結(jié)構(gòu)。因此，對(duì)于有限周期聲子晶體，只用頻散曲線作為參考還不夠，需要有能反映有限結(jié)構(gòu)中彈性波傳輸特性的指標(biāo)和數(shù)據(jù)。

圖5 加載與響應(yīng)拾取位置示意圖Fig.5 Locations of load and detection points of response

結(jié)構(gòu)傳輸特性的常用指標(biāo)一般為振動(dòng)理論中的傳遞率和振級(jí)落差等，反映了激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系，都與頻率響應(yīng)曲線有關(guān)。頻率響應(yīng)函數(shù)反映了結(jié)構(gòu)對(duì)激勵(lì)的傳遞能力[18]，是解決實(shí)際復(fù)雜有限周期聲子晶體問題的有力工具。在聲子晶體研究中常用的一種頻率響應(yīng)函數(shù)是幅頻響應(yīng)函數(shù)。通過在有限周期聲子晶體的某處施加單位幅度簡(jiǎn)諧激勵(lì)，并使信號(hào)頻率緩慢連續(xù)或步進(jìn)變化，從低到高掃過所關(guān)心的頻率范圍，在另一處可獲得穩(wěn)定響應(yīng)。再經(jīng)過Fourier變換和相應(yīng)運(yùn)算即可得到響應(yīng)拾取處的幅頻響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)聲子晶體的帶隙特性，有限周期結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)函數(shù)應(yīng)當(dāng)在帶隙頻率范圍對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)有明顯下降。該下降程度表示彈性波的衰減程度。幅頻響應(yīng)分析可以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也可以進(jìn)行軟件計(jì)算，如各種有限元軟件Ansys、Nastran及Comsol等，在計(jì)算聲學(xué)、振動(dòng)等問題上已經(jīng)相當(dāng)成熟。

圖6 聲子晶體導(dǎo)線傳輸特性曲線Fig.6 Transmission characteristic curve of phononic crystal conductor

對(duì)有限周期聲子晶體導(dǎo)線振動(dòng)傳輸特性的計(jì)算采用Ansys軟件實(shí)現(xiàn)。取相同的材料參數(shù)，導(dǎo)線長(zhǎng)度為300 m，相關(guān)參數(shù)均設(shè)定為之前帶隙特性計(jì)算的參數(shù)。導(dǎo)線用LINK10單元，彈簧用COMBIN14單元，導(dǎo)線上的間隔棒和彈簧振子用質(zhì)量單元MASS21。圖5給出了周期聲子晶體導(dǎo)線振動(dòng)傳輸特性仿真示意圖，導(dǎo)線施加預(yù)應(yīng)力后，在激勵(lì)處加上垂直導(dǎo)線的荷載激勵(lì)，使得振動(dòng)沿導(dǎo)線長(zhǎng)度方向傳播，計(jì)算得到另一端的傳輸響應(yīng)，輸出響應(yīng)的頻率與初始激勵(lì)信號(hào)的頻譜相比即可得到導(dǎo)線的振動(dòng)傳輸特性。

以圖5中模型為例，計(jì)算導(dǎo)線的振動(dòng)頻率響應(yīng)函數(shù)曲線，可見圖6中存在一個(gè)振動(dòng)衰減區(qū)，范圍頻率為0.196～0.207 Hz，與圖3中無限周期條件下計(jì)算得到的帶隙范圍基本一致，只要風(fēng)荷載等激勵(lì)引起的導(dǎo)線振動(dòng)頻率在帶隙范圍，就能抑制導(dǎo)線舞動(dòng)。

從聲子晶體導(dǎo)線的傳輸特性曲線(圖6)可以看出，彈簧振子導(dǎo)線在帶隙頻率范圍內(nèi)具有減振的效果。因此，可以驗(yàn)證通過控制導(dǎo)線與彈簧振子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使聲子晶體導(dǎo)線帶隙區(qū)域包含其易發(fā)生舞動(dòng)的頻率范圍，從而抑制導(dǎo)線振動(dòng)。

4 結(jié) 語

研究聲子晶體導(dǎo)線的振動(dòng)帶隙特性，從導(dǎo)線振動(dòng)方程出發(fā)，采用傳遞矩陣法計(jì)算得到無限周期彈簧振子聲子晶體導(dǎo)線的振動(dòng)帶隙，并建立了該系統(tǒng)的有限元模型，計(jì)算了導(dǎo)線在簡(jiǎn)諧荷載作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

無限周期彈簧振子結(jié)構(gòu)中存在局域共振型帶隙，它是由導(dǎo)線加入彈簧振子引起的，并與其有限周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性互相對(duì)應(yīng)，即振動(dòng)在帶隙內(nèi)傳播會(huì)得到有效抑制。該特性可被用于輸電線路防舞方法中，為輸電線路安全運(yùn)行提供保障。

隨著晶格常數(shù)的減小，聲子晶體導(dǎo)線中的局域共振型帶隙寬度反而增大。在舞動(dòng)頻率范圍內(nèi)獲取較寬的帶隙，可選擇適當(dāng)?shù)木Ц癯?shù)，用于輸電線路防舞應(yīng)用中。

本文選取頻率與導(dǎo)線的第1階自振頻率保持一致的彈簧振子，從而使聲子晶體導(dǎo)線中產(chǎn)生一條在第1階自振頻率范圍附近的局域共振帶隙。其帶隙可通過選取適當(dāng)?shù)膹椈烧褡淤|(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)、晶格常數(shù)，從而調(diào)節(jié)帶隙位置。這些研究對(duì)輸電線路減振防舞領(lǐng)域中具有重要的理論參考價(jià)值。

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Vibration band gap characteristics of phononic crystal conductor

ZHANG Ziming, KE Yidan, HAN Lin, ZHANG Yan

(CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

In order to solve the problem of conductor galloping on ultra-high-voltage transmission lines, a kind of phononic crystal conductor which consists of a conductor, spacers, and spring oscillators is proposed. Based on the vibration differential equation of the conductor and Bloch theory, the transfer matrix method is established to calculate the vibration band structure of the phononic crystal conductor. The calculated results show that the phononic crystal conductor exhibits local resonance band gap characteristics in the frequency range of conductor galloping. In order to verify the band gap characteristics of the phononic crystals conductor, using a four-divided conductor as an example, the finite element method is employed to calculate the amplitude and frequency responses of the finite periodic phononic crystal conductor. The results show that remarkable vibration attenuation of the conductor occurs in the frequency range of band gaps, which may provide a new idea for vibration control of conductor galloping on transmission lines.

conductor galloping; phononic crystal; spring oscillator; band gap; numerical calculation

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.03.006

2016-10-16

國(guó)家自然科學(xué)基金(51608173，51579088)；江蘇省自然科學(xué)基金(BK20150796)

張子明(1951—)，男，江蘇姜堰人，教授，主要從事輸變電工程力學(xué)和混凝土結(jié)構(gòu)施工仿真研究。E-mail:ziming@hhu.edu.cn

韓林(1984—)，講師。E-mail:hanlin@hhu.edu.cn

O422

A

1000-1980(2017)03-0224-06