板塊整合之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

董沖沖++葛紅艷

本文旨在對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識、題型、方法等進(jìn)行整合，以期跳出“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”章節(jié)的小圈子，走進(jìn)板塊的大世界，登高而望遠(yuǎn)、一覽眾山小.

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與解析幾何的整合

例1 如圖，拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，（當(dāng)為原點(diǎn)時(shí)，，重合于），，切線的斜率為.

（1）求的值；

（2）當(dāng)在拋物線上運(yùn)動時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程（，重合于時(shí)，中點(diǎn)為）.

解析 （1）因?yàn)閽佄锞€上任意一點(diǎn)的切線斜率為，

又切線的斜率為，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故切線的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，

于是.

解得，.

（2）設(shè)，

由為線段的中點(diǎn)知，

，. ①

切線的方程為，

即.

同理，切線的方程為.

從而的交點(diǎn).

因?yàn)樵谇€上，

則，即. ②

由①②得，.

又因?yàn)楫?dāng)，重合于時(shí)，的中點(diǎn)為，坐標(biāo)滿足，

所以線段中點(diǎn)的軌跡方程.

點(diǎn)評 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率. 而上（下）半個(gè)橢圓（圓、雙曲線、拋物線等）可以看作一個(gè)函數(shù)（圖象），這使得導(dǎo)數(shù)與解析幾何有了密切的聯(lián)系. 一般地，與曲線的切線有關(guān)的問題，都可以借助導(dǎo)數(shù)來解決，但要區(qū)分“在點(diǎn)”的切線與“過點(diǎn)”的切線.

導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與方程的整合

例2 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：

解析 （1）由題意知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的解.

令，則.

顯然當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，恒成立，依據(jù)函數(shù)的這些屬性，作出它的大致圖象如下.

顯然，要使函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需，即.

（2） 不妨設(shè)，由（1）知，，從而.

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，

所以要證，等價(jià)于證，即證.

由于，

而，

所以消去得，.

設(shè)，則.

故當(dāng)時(shí)，，而，

故當(dāng)時(shí)，.

從而，故.

點(diǎn)評 一般地，處理利用導(dǎo)數(shù)工具研究含參超越方程的根（個(gè)數(shù)與分布等）的問題有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，并借助于零點(diǎn)存在定理求解；二是利用導(dǎo)數(shù)工具研究出函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（或值域），進(jìn)而畫出大致圖象（數(shù)形結(jié)合）來求解.

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的整合

例3 已知函數(shù)

（1）求在處的切線方程；

（2），恒成立，求的范圍.

解析 （1）由得，

，則

從而在處的切線方程為.

（2），恒成立，

即，恒成立，

亦即，恒成立.

由教材選修2-2第32頁B組題1第（3）小題：（構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)易證）可得，當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)而，則

所以.

點(diǎn)評 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的整合，一般有以下兩種形式：一是證明不等式，二是已知不等式能成立或恒成立求參數(shù)的范圍. 無論是哪一種，都需要構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)工具，通過所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值來解決問題. 值得借鑒的是，應(yīng)用教材習(xí)題“當(dāng)時(shí)，”，可以以題解題、借力打力.

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與物理跨學(xué)科整合

例4 （人教課標(biāo)A版教材選修2-2第10頁題4） 已知車輪旋轉(zhuǎn)的角度與時(shí)間的平方成正比，如果車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動第一圈需要0.8s，求轉(zhuǎn)動開始后第3.2s時(shí)的瞬時(shí)角速度.

解析 設(shè)車輪旋轉(zhuǎn)的角度為（弧度），旋轉(zhuǎn)時(shí)間，依題意可設(shè)，.

則當(dāng)時(shí)，，從而.

故，則.

所以.

即轉(zhuǎn)動開始后第時(shí)的瞬時(shí)角速度為.

點(diǎn)評 “數(shù)理化相通”！通過對課程中“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)，為我們學(xué)好物理搭建了平臺！在物理學(xué)習(xí)中（如運(yùn)動學(xué)、電磁學(xué)等章節(jié)），如能恰當(dāng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一數(shù)學(xué)工具（物理教材稱“微元法”），不僅可以簡化分析過程、提升思維層次、深化對物理概念的理解，還能深刻體會到數(shù)學(xué)在物理中的價(jià)值.

綜上可知，函數(shù)的載體性與導(dǎo)數(shù)的工具性，不僅讓函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與其他知識的整合水到渠成，也讓這種整合成為了近年來高考的熱點(diǎn)、亮點(diǎn)及“不動點(diǎn)”. 導(dǎo)數(shù)是工具，函數(shù)、方程、不等式是載體，跨學(xué)科是延拓，不管怎么變換考查方式，都離不開函數(shù)的“單調(diào)性”“極值”和“最值”這些基礎(chǔ).