靈活運用乘法公式

朱適宜

在“整式乘法與因式分解”這一章里我們學(xué)到的乘法公式有：

完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a-b）2=a2-2ab+b2.

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2.

那么對于這些公式，我們怎樣才能做到靈活運用呢？下面和大家一起來分享一下.

一、完全平方公式

例1 計算（a+b+c）2.

解法一：

原式=（a+b+c）（a+b+c）

=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2.

解法二：

原式=[（a+b）+c]2

=（a+b）2+2（a+b）c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

【說明】解法一是根據(jù)多項式與多項式相乘的法則：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加；解法二是利用整體思想將a+b看成整體，直接套用完全平方公式展開的.

例2 若a是一個數(shù)，且4x2+axy+9y2是一個完全平方式，則a= .

解：±12.

【說明】本題考查的是完全平方式，完全平方公式展開后右邊的形式a2+2ab+b2叫完全平方式，即兩項的平方和加上或者減去兩項乘積的2倍.這里可以確定兩項的平方分別是4x2和9y2，則這兩項分別是2x和3y，兩項積的2倍是12xy，前面的符號可以是加號也可以是減號.所以答案是±12.

例3 若2a2-2ab+b2+4a+4=0，求ab的值.

解：由題意知：a2-2ab+b2+a2+4a+4=0，

（a2-2ab+b2）+（a2+4a+4）=0，

（a-b）2+（a+2）2=0，

a-b=0，a+2=0，

a=b，a=-2，

a=b=-2，

ab=（-2）-2=0.25.

【說明】本題由一個方程，求出兩個未知數(shù)，所以這個方程一定是特殊的方程，結(jié)合已知條件可知：可以通過湊完全平方達(dá)到解決問題的目的，將2a2分成a2+a2，一個a2和-2ab，b2湊成（a-b）2，另一個a2和4a，4湊成（a+2）2，再根據(jù)平方具有非負(fù)性，得到兩者均為0，從而求得a與b的值，最后代入求值.

二、平方差公式

例4 計算（x+y+4）（x-y-4）.

解法一：

原式=x2-xy-4x+yx-y2-4y+4x-4y-16

=x2-xy-4x+xy-y2-4y+4x-4y-16

=x2-y2-8y-16.

解法二：

原式=[x+（y+4）][x-（y+4）]

=x2-（y+4）2

=x2-y2-8y-16.

【說明】解法一是根據(jù)多項式與多項式相乘的法則：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加；解法二是利用整體思想將y+4看成整體，先套用平方差公式，再套用完全平方公式展開.我們在處理時要先觀察：找到相同的項和互為相反數(shù)的項.那么對于（a-b+c-d）（-a-b+c+d）應(yīng)該怎樣套用平方差公式呢？這里找到相同的項-b和+c，互為相反數(shù)的項是a與-a，-d與d，我們就將其變?yōu)閇（-b+c）+（a-d）]·[（-b+c）-（a-d）]=（-b+c）2-（a-d）2，套用完全平方公式算出結(jié)果即可.

例5 計算（x-1）（x2+1）（x4+1）（x+1）.

解：原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）

=（x2-1）（x2+1）（x4+1）

=（x4-1）（x4+1）

=x8-1.

【說明】本題經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)可以將x+1通過乘法交換律交換到前面，這樣x-1和x+1就可以套用平方差公式進(jìn)行簡便計算，接著將上面所得的結(jié)果與x2+1再套用平方差公式進(jìn)行簡便計算，直至得到結(jié)果.

三、乘法公式的綜合運用

例6 計算（2y+1）2（2y-1）2.

解法一：

原式=（4y2+4y+1）（4y2-4y+1）

=[（4y2+1）+4y][（4y2+1）-4y]

=（4y2+1）2-（4y）2

=16y4+8y2+1-16y2

=16y4-8y2+1.

解法二：原式=[（2y+1）（2y-1）]2

=（4y2-1）2

=16y4-8y2+1.

【說明】本題的兩種解法都采取了乘法公式，第一種先套用完全平方公式再套用平方差公式；第二種先利用乘法的交換律和結(jié)合律將其轉(zhuǎn)化為[（2y+1）（2y-1）]2的形式，然后套用平方差公式，最后套用完全平方公式.兩種方法比較，個人認(rèn)為第二種在計算上更加簡便.

例7 解方程（2x-1）（1+2x）+3（x+2）（-2+x）=7（x-1）2.

解：（2x-1）（2x+1）+3（x+2）（x-2）=7（x-1）2，

（4x2-1）+3（x2-4）=7（x2-2x+1），

4x2-1+3x2-12=7x2-14x+7，

7x2-13=7x2-14x+7，

14x=20，

x=[107].

【說明】本題經(jīng)過套用平方差公式和完全平方公式展開，發(fā)現(xiàn)關(guān)于x的二次項全部抵消，轉(zhuǎn)化成了一個解關(guān)于x的一元一次方程的問題.這里需注意的是在套用平方差公式時，我們要看清楚相同的項以及互為相反數(shù)的項.

以上是我對運用乘法公式進(jìn)行簡便計算的一些想法和體會，相信你已經(jīng)感受到了運用乘法公式進(jìn)行計算的簡便之處.其實在因式分解中，如果我們學(xué)會對乘法公式進(jìn)行靈活運用，也可以大大地提高解題的速度和準(zhǔn)確率，在以后的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們要注意積累.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）