負曲率流形中極小超曲面的特征值估計

郭芳承

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅慶陽745000)

負曲率流形中極小超曲面的特征值估計

郭芳承

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅慶陽745000)

極小超曲面；特征值估計；Yamabe不變量；比較定理

Δf=div(

Mn中測地球B(p,r)上Dirichlet邊值問題定義為

它具有離散特征值,其第一非零特征值記為λ1(B(p,r))，由特征值的區(qū)域單調(diào)性原理，λ1(B(p,r))關(guān)于半徑r遞減且與點p的選擇無關(guān)。進而,整個流形Mn上的第一特征值定義為

λ1(Mn)?

研究λ1(Mn)與流形的幾何結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是幾何分析領(lǐng)域一個重要問題。

本文借助于Hessian比較定理,推廣了P.T.Ho的結(jié)果,得到如下結(jié)論。

注：當(dāng)k0=k1=1時,上述結(jié)論即為P.T.Ho得到的雙曲空間中的相應(yīng)結(jié)果。

1 基本事實

為了將雙曲空間中結(jié)論推廣到截面曲率有界流形上,我們需要對它們距離函數(shù)的Hessian算子進行比較,即需要如下Hessian比較定理。

Hessian比較定理[7]設(shè)

引理2.1 設(shè)完備流形(Mn,g)的截面曲率K(Mn)≤δ，ρ是Mn上從點p出發(fā)的距離函數(shù),γ:[0,r]→Mn是Mn上從點p出發(fā)的極小正規(guī)測地線,則對于任何X∈Tγ(t)Mn，有

在研究超曲面的幾何性質(zhì)時,如下引理提供的外圍空間上光滑函數(shù)及其限制在超曲面上時Laplace算子之間的關(guān)系是重要的。

引理2.2[8]設(shè)∑n是等距嵌入在n+1維黎曼流形Mn+1中的超曲面,則對任意f∈C∞(Mn+1)，有

其中v是∑n在Mn+1中的單位法向量場,H是∑n的平均曲率向量。

主定理中的上界估計要用到超曲面的Yamabe不變量小于零的條件,其定義如下。

其中

這里Rg和dvg分別為度量g的數(shù)量曲率和體積元,進而流形(Mn,g)的光滑Yamabe不變量定義為

同時還要用到如下超曲面穩(wěn)定極小的概念。

(2.1)

當(dāng)V″(0)≥0時,稱∑n是穩(wěn)定的,其中B是∑n的第二基本形式,Ric(v)是Mn+1上沿著方向v的Ricci曲率。

若外圍空間截面曲率有負下界,則有如下事實。

其中Rm表示∑n的數(shù)量曲率。

2 主定理的證明

設(shè)ρ是Mn+1上從某點p出發(fā)的距離函數(shù),取Mn+1上點p處某一鄰域內(nèi)一組單位正交標(biāo)架{e1,e2,…,en，en+1}，使其中前n個,即{e1,e2,…,en}切于超曲面∑n，則由引理2.2

(3.1)

(3.2)

(3.3)

div(f2ρ)=〈f2,ρ〉+f2Δρ

(3.4)

由帶ε的Young不等式,對某ε>0有

進而(3.4)整理為

div(f2

對其在∑n上積分得

據(jù)Rayleigh原理(參見[9]或[10])得

至此,完成了下界估計,下面給出上界估計。

由∑n上Yamabe不變量σ(∑n)<0知,對∑n上誘導(dǎo)度量g，有Y(g)<0，從而對于任意非負函數(shù)f∈C∞(∑n)，有

(3.5)

再由∑n穩(wěn)定極小,結(jié)合引理2.3得

(3.6)

結(jié)合(3.5)和(3.6)得

即

從而

至此,我們完成了整個定理的證明。

[1]L.F.Cheung,P.F.Leung.Eigenvalueestimatesforsubmanifoldswithboundedmeancurvatureinhyperbolicspace[J].Math.Z. 2001，236(3):525-530.

[2]A.Candal.Eeigenvalueestimatesonminimalsurfacesinhyperbolicspace[J].Tran.Amer.Math.Soc. 2007，359(8):3567-3575.

[3]P.T.Ho.Eigenvalueestimatesforminimalhypersurfacesinhyperbolicspace[J].Diff.Geom.AnditsAppl.2009，27(1):104-108.

[4]K.Seo.Isoperimetricinequalitiesforsubmanifoldswithboundedmeancurvature[J].MonatshMath.2012，166(3-4):525-542.

[5]J.F.Grosjean.UpperboundsforthefirsteigenvalueoftheLaplacianoncompactsubmanifolds[J].PacificJ.Math.2002，206(1):93-112.

[6]R.Reilly.OnthefirsteigenvalueofLaplacianforcompactsubmanifoldofEuclideanspace[J].Comm.Math.Helv.1977，52(4):525-533.

[7]白正國,沈一兵，水乃翔，等.黎曼幾何初步[M].北京：高等教育出版社,2004：201-215.

[8]郭芳承,劉建成.非正曲率流形及其子流形上有界區(qū)域的特征值[J].數(shù)學(xué)雜志.2011,31(3):451-45.

[9]丘成桐,孫理察.微分幾何講義[M].北京：高等教育出版社,2004：87-105.

[10]I.Chavel.EigenvaluesinReimannianGeometry[M].AcademicPress,Orlando,1984：1-24.

【責(zé)任編輯 朱世廣】

Eigenvalue Estimates for Minimal Surface Embedded in Manifold with Negative Curvature

GUO Fang-cheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

minimal surface;eigenvalue estimates;Yamabe invariant;comparison theorem

1674-1730(2017)03-0004-03

2016-11-09

隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項目《流形上Laplace和P-Laplace算子特征值研究》(XYZK-1002)

郭芳承(1982—),男,甘肅西峰人,講師,博士,主要從事幾何分析理論研究。

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