Addition-Min合成模糊關(guān)系方程的解集

屈小兵， 孫 峰

（樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

Addition-Min合成模糊關(guān)系方程的解集

屈小兵， 孫 峰

（樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

文章主要討論了Addition-min合成模糊關(guān)系方程的解集的性質(zhì)，得到了方程存在最大解和最小解的一些條件，給出了極大解和極小解的結(jié)構(gòu)。

Addition-min合成模糊關(guān)系方程；解集；極大解；極小解

0 引言

自1976年E.Sanchez[1]首先提出并研究了完備Brouwerian格上的max-min合成模糊關(guān)系方程后，很多學(xué)者對(duì)完備Brouwerian格上的不同合成算子的模糊關(guān)系方程進(jìn)行了深入的研究[2-5]?，F(xiàn)在模糊關(guān)系方程已被廣泛應(yīng)用于模糊邏輯推理和圖像處理等很多領(lǐng)域[6-8]。最近，Li和Yang[9-10]等針對(duì)實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化管理問(wèn)題進(jìn)行了研究，建立了一個(gè)以Addition-Min合成模糊關(guān)系不等式組為約束條件的優(yōu)化模型，并通過(guò)研究Addition-Min合成模糊關(guān)系不等式的解集的性質(zhì)得到了求解該模型最優(yōu)解的一種方法。此后，Yang[11]等改進(jìn)了這個(gè)模型，并得到了求解模型最優(yōu)解的一種方法。從他們對(duì)模型最優(yōu)解的研究可知最優(yōu)解與模糊關(guān)系不等式的極小解緊密相關(guān)，而不等式的極小解又與對(duì)應(yīng)的Addition-Min合成模糊關(guān)系方程的解有直接聯(lián)系。所以為能更好地求解模型，本文將主要研究Addition-Min合成模糊關(guān)系方程的解集的性質(zhì)。

設(shè)實(shí)驗(yàn)室有n個(gè)用戶(hù)終端，每一個(gè)用戶(hù)可以從其他任一終端下載數(shù)據(jù)，同時(shí)也對(duì)其他終端共享自己的數(shù)據(jù)，這是一個(gè)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)室網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。設(shè)A1，A2，…An為n個(gè)用戶(hù)終端，aij表示終端Ai與Aj之間的帶寬，xj表示第j個(gè)終端發(fā)送信息的質(zhì)量水平。因?yàn)閹捰幸欢ǖ南拗?，所以終端Ai從Aj下載數(shù)據(jù)的實(shí)際速度為，如果Ai從其他終端下載數(shù)據(jù)的最低速度需求為b（ibi＞0），那么包含n個(gè)終端的實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可以表示為：

其中aii=0，i=1，2，……n。一般的Addition-Min合成模糊關(guān)系不等式如下：

為計(jì)算方便，規(guī)定aij，xj∈[0.1]，bi＞0，i∈I={1，2，…，m}，j∈J={1，2…，n}.系統(tǒng)(2)也可以記為Ax≥b，其中

或者A?x=b，其中“?”表示Addition-Min合成。記方程(3)的解集為和X*分別表示方程(3)的極大解集和極小解集。

1 預(yù)備知識(shí)

為討論方便，本節(jié)先給出一些預(yù)備知識(shí)。

證明：設(shè)a，b，c∈[0，1]，下面分兩種情況討論：

1）若b+c≤a，則b≤a，c≤a，從而

另外，如果a≥b+c，則由前面的證明可知

引理1.1說(shuō)明Addition和Min這對(duì)算子不滿(mǎn)足分配律，所以Addition-Min合成模糊關(guān)系方程與Max-Min等合成模糊關(guān)系方程的解集性質(zhì)具有較大差異。

2 主要結(jié)論

下面主要討論系統(tǒng)(3)的一種特殊情況，即|I|=1，方程為

證明：結(jié)論顯然成立。

則x是方程(4)的一個(gè)極大解。

所以x∈X。

矛盾。所以?i∈J，yj=xj.因此y=x，即x是一個(gè)極大解。

注2.2方程的極小解一般有無(wú)窮多個(gè)，如在例2.1中，

顯然，｜X*｜=∞。另外，方程的極小解可能也是極大解，如在例2.1中，（0.8,0,0,0）′，（0.7,0.1,0,0）′∈X*。由此可知，Addition-min合成模糊關(guān)系方程的解集刻畫(huà)比其他合成模糊關(guān)系方程要復(fù)雜。對(duì)一般的方程A?x=b，有解的時(shí)候不一定有最大解或者最小解，所以有解的判定就比較困難。

例2.2 在方程組A?x=b中，其中

[1]SANCHEZ E.Resolution of composite fuzzy relation equations[J].Information and Control，1976，30：38-48.

[2]DI NOLA A，SESSA S，PEDRYCZ W，ect.Fuzzy relational equations and their applications to knowledge engineering[M].Kluwer Academic Publishers，Dordrecht，Boston/London，1989.

[3]王學(xué)平.完備格上模糊關(guān)系方程的研究進(jìn)展[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，32（3）：365-376.

[4]MOLAI A A.Resolution of a system of the max-product fuzzy rrelation equations using L U-factorization[J].Information Sciences，2013，234：86-96.

[5]LOETAMONPHONG J，F(xiàn)ANG S G.Optimization of fuzzy relational equations with max-product composition[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，118：509-517.

[6]NOBUHARA H，BEDE B，HIROTA K.On various eigen fuzzy sets and their application to image reconstruction[J].Information Sciences，2006，176：2988-3010.

[7]DI NOLA A，RUSSO C.Lukasiewicz transform and its application to compression and reconstruction of digital images[J].Information Sciences，2007，177：1 481-1 498.

[8]楊曉鵬，楊曉斌.模糊關(guān)系方程在實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，35（1）：81-84.

[9]LI J X，YANG S J.Fuzzy relation equalities about the data transmission mechanism in bittorrent-like peer-to-peer file sharing systems[J].in Proc.9th Int.Conf.Fuzzy Syst.Knowl.Discovery，2012：452-456.

[10]YANG S J.An Algorithm for minimizing a linear objective function subject to the fuzzy relation inequalities with addition-min composition[J].Fuzzy Sets and Systems，2014，255：41-51.

[11]YANG X P，ZHOU X G，CAO B Y.Min-aax programming problem subject to addition-min fuzzy relation inequalities[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2016，24（1）：111-119.

Solution Sets of Fuzzy Relation Equations with Addition-Min Composition QU Xiɑobinɡ，SUN Fenɡ

（School of Mathematics and Information Science，Leshan Normal University，Leshan Sichuan 614000，China）

In this paper，some properties of solution sets of fuzzy relation equations with Addition-Min Composition are discussed，and some conditions for the existence of maximal solution and minimal solution are obtained.Furthermore，the structure of maximal solutions and minimal solutions are given.

Fuzzy Relation Equations with Addition-Min Composition；Solution Set；Maximal Solution；Minimal Solution

O159

A

1009-8666（2017）04-0006-05

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.04.002

［責(zé)任編輯、校對(duì)：李書(shū)華］

2017-04-10

四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)項(xiàng)目“完備格上Fuzzy關(guān)系方程的求解及其應(yīng)用”（2016JY0235），“基于多目標(biāo)和雙層規(guī)劃的個(gè)性化推薦系統(tǒng)模型和算法研究”（2017JY0208）；四川省教育廳項(xiàng)目“分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用研究”（16TD0029），“半線(xiàn)性空間及其應(yīng)用研究”（16ZA0303）；樂(lè)山師范學(xué)院科研項(xiàng)目“半線(xiàn)性空間上模糊關(guān)系方程的求解”（Z1411）

屈小兵（1974—），男，湖南永州人。樂(lè)山師范學(xué)院副教授，博士，研究方向：格上方程；孫峰（1985—），男，四川西昌人。樂(lè)山師范學(xué)院副教授，碩士，研究方向：模糊算子。