運用復(fù)變理論求解矩形洞室時復(fù)變轉(zhuǎn)化函數(shù)的修正

楊 峰

(上海理工大學(xué)環(huán)境建筑學(xué)院，上海 200093)

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運用復(fù)變理論求解矩形洞室時復(fù)變轉(zhuǎn)化函數(shù)的修正

楊 峰

(上海理工大學(xué)環(huán)境建筑學(xué)院，上海 200093)

介紹了平面彈性復(fù)變理論知識，針對求解矩形洞室在采用該理論中保角轉(zhuǎn)化函數(shù)精度的不足，對保角轉(zhuǎn)化函數(shù)引入修正因子，提高了在復(fù)平面轉(zhuǎn)化時矩形洞室截面轉(zhuǎn)化函數(shù)的計算精度。

矩形洞室，復(fù)變函數(shù)，保角轉(zhuǎn)化函數(shù)，修正因子

目前國內(nèi)外的研究大多基于Savin(1961)[1]在其著作中系統(tǒng)闡述平面場中各類孔洞的應(yīng)力場和位移場問題。由于圓形和橢圓形孔洞的復(fù)變函數(shù)求解，在進(jìn)行保角轉(zhuǎn)化時是由有限項組成的精確的映射轉(zhuǎn)化函數(shù)，因此在進(jìn)行轉(zhuǎn)化時是準(zhǔn)確的。而對于矩形洞室只能通過截取泰勒級數(shù)有限項求出實際洞室的近似映射函數(shù)，因此有必要對轉(zhuǎn)化函數(shù)進(jìn)行修正，以此來提高解析解的精度。對于地下矩形洞室，大多采用求近似的映射函數(shù)。劉宏才[2]采用梅林契耶夫方法，將作圖與計算結(jié)合交叉使用，求解出多種常用地下巷道的映射函數(shù)，但計算精度不高。范廣勤等(1993)[3]采用多角形法去逼近拱形直墻洞室，得到了一個近似洞室邊界形狀的映射函數(shù)，但此法不能滿足隧洞形狀的多樣性?；矢i鵬(2011)[4]通過搜索邊界映射點的方法，推導(dǎo)出了求解映射函數(shù)表達(dá)式系數(shù)的新解法。祝江鴻等(2014)[5]在黎曼存在定理的基礎(chǔ)上，獲得了以洛朗級數(shù)有限項表示的單位圓外域到任意形狀斷面洞室外域的映射函數(shù)。因此本文主要針對復(fù)變理論中保角轉(zhuǎn)化函數(shù)精度不足，引入一個修正因子，從而來提高在由實平面向復(fù)平面轉(zhuǎn)化時矩形洞室截面表示函數(shù)的精度，最終得到較高精度的映射轉(zhuǎn)化函數(shù)。

1 平面彈性復(fù)變理論

通過保角變換，把z(z=x+iy)平面上矩形洞室外的區(qū)域變換

成為ζ平面上以原點為圓心單位圓內(nèi)域如圖1所示。該洞室域的邊界線變換為單位圓圓周線，ζ在該復(fù)平面上對應(yīng)表示成式(1)；當(dāng)ρ=1時，表示矩形洞室上的所有點轉(zhuǎn)化為單位圓圓周上的所有點。因此ζ平面上任一點用極坐標(biāo)表示為：

ζ=ρeiθ=ρ(cosθ+isinθ)

(1)

矩形洞室的準(zhǔn)確映射函數(shù)由無限項組成，因此對應(yīng)的保角轉(zhuǎn)化函數(shù)一般形式可以表示為式(2)[1]：

(2)

α=e2kπi

(3)

(4)

(5)

其中，R0一般為復(fù)數(shù)，在洞室孔口為軸對稱時為正實數(shù)，同時洞室對孔口尺寸的大小有決定作用；b和a分別為矩形洞室的長和寬(b≥a)；λ為矩形洞室長b與寬a的截面比率，此處為恒不小于1的數(shù)值；k與截面比率有關(guān)。

2 保角轉(zhuǎn)化函數(shù)的修正

將式(3)～式(5)代入式(2)，由歐拉公式合并整理可知，保角轉(zhuǎn)化函數(shù)可以表示成為關(guān)于λ的表達(dá)式，如式(4)所示。式(4)在其項數(shù)趨于無窮多項時，將圖1a)中矩形洞室外的無限域部分映射到圖1b)中的單位圓圓域內(nèi)，此時映射函數(shù)是準(zhǔn)確的，不存在誤差。但是實際計算時只能選取有限項，這時得到的結(jié)果雖然仍是函數(shù)形式，但是只能是近似解。如果映射轉(zhuǎn)化函數(shù)截取有限項數(shù)時，矩形洞室在角點處并非直角而是圓角，并且隨著ζ次冪項的遞增，圓角會緩慢趨近于直角。

(6)

其中:

在實際應(yīng)用式(6)時，一般截取保角轉(zhuǎn)化函數(shù)的前四項：

(7)

通過式(7)將含有一個近似矩形洞室的無限體實平面映射到一個復(fù)平面的單位圓內(nèi)部。特殊的時候有，當(dāng)ρ=1時，則ζ=cosθ+isinθ，然后結(jié)合式(7)根據(jù)復(fù)數(shù)實部與虛部相互對應(yīng)可以求得：

x=R0(cosθ+A0cosθ+B0cos3θ+C0cos5θ)

(8)

y=R0(-sinθ+A0sinθ+B0sin3θ+C0cos5θ)

(9)

取ζ平面上h(θ=0時)點值對應(yīng)于z平面上矩形洞室長b的1/2，即：

(10)

同樣的有，取ζ平面上s(θ=-π/2時)點值對應(yīng)于z平面上矩形洞室寬a的1/2，即：

(11)

聯(lián)立式(10)和式(11)兩式，可以得到轉(zhuǎn)化后的矩形洞室截面比率如下所示：

(12)

同時由式(10)可知：

(13)

整理式(13)得到：

(14)

由于λ恒為不小于1的數(shù)值，結(jié)合式(12)可以得到以下結(jié)論：在截取映射函數(shù)前四項時，初始截面比率恒小于映射轉(zhuǎn)化后的截面比率。同時知道矩形洞室映射轉(zhuǎn)化函數(shù)的系數(shù)與形式是明確的，因此可以通過對轉(zhuǎn)化函數(shù)中獨立變量λ進(jìn)行修正來達(dá)到提高轉(zhuǎn)化函數(shù)精度的目的。此時修正因子f引入后，可以表示如下：

(15)

相應(yīng)的有，修正后的映射轉(zhuǎn)化函數(shù)表示如下：

(16)

其中：

(17)

(18)

(19)

對于修正后的保角轉(zhuǎn)化函數(shù)，類似的可以得到：

(20)

(21)

根據(jù)式(8)與式(9)繪制圖2中修正前轉(zhuǎn)化曲線，根據(jù)式(20)與式(21)繪制出圖2中修正后轉(zhuǎn)化曲線。由于矩形洞室的對稱性，此處選取矩形洞的1/4來進(jìn)行研究，假定矩形洞室長度b取20 m，寬度a取為5 m。通過圖2可以發(fā)現(xiàn)，保角轉(zhuǎn)化函數(shù)修正前由于僅截取其前四項，導(dǎo)致求解的矩形洞室截面尺寸與初始矩形洞室截面尺寸存在較大誤差，而引入修正因子后的修正轉(zhuǎn)化函數(shù)的截面尺寸與真實矩形洞室截面尺寸大大接近，轉(zhuǎn)化精度得到明顯提高。

3 結(jié)語

針對求解矩形洞室在采用復(fù)變理論中保角轉(zhuǎn)化函數(shù)精度的不足，通過引入一個修正因子，從而提高了映射轉(zhuǎn)化函數(shù)的轉(zhuǎn)化精度，達(dá)到了對映射轉(zhuǎn)化函數(shù)進(jìn)行修正的目的。

[1] Savin G N.Stress concentration around holes[M]. London,UK:Pergamon Press,1961.

[2] 劉宏才.巷道斷面形狀對彈性圍巖力學(xué)狀態(tài)的影響[D].泰安:山東礦業(yè)學(xué)院,1987.

[3] 范廣勤,吳 汎.應(yīng)用三個絕對收斂級數(shù)相乘法解非圓形洞室的外域映射函數(shù)[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,1993,12(2):81-82.

[4] 皇甫鵬鵬,張路青.基于高效保角變換的單個復(fù)雜洞室圍巖應(yīng)力場解析解研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2011,31(S2):3899-3901.

[5] 祝江鴻,楊建輝.單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域共形映射的計算方法[J].巖土力學(xué),2014,33(1):176-184.

Modification of complex transformation function of rectangular cavity with complex variable theory

Yang Feng

(SchoolofEnvironmentandArchitecture，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)

The paper introduces horizontal elastic complex theories. In light of conformal conversion function accuracy failure applied in solving rectangular cavity, the correction factor of the conformal transformation function is introduced to improve the calculation accuracy of the cross section conversion function of the rectangular tunnel.

rectangular cavity, complex function, conformal transformation function, correction factor

1009-6825(2017)11-0060-03

2017-02-07

楊 峰(1988- )，男，在讀碩士

O174

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