Banach空間有界線性算子加權(quán)群逆的存在條件與擾動分析

胡春梅

(麗江師范高等專科學(xué)校 數(shù)計系,云南 麗江 674100)

Banach空間有界線性算子加權(quán)群逆的存在條件與擾動分析

胡春梅

(麗江師范高等專科學(xué)校 數(shù)計系,云南 麗江 674100)

算子; 加權(quán)群逆; 充要條件; 擾動

1 預(yù)備知識和引理

由于目前關(guān)于加權(quán)群逆所取得的結(jié)果主要是建立在有限維矩陣空間中,本文將在無限維的Banach空間中研究算子加權(quán)群逆.

下面給出本文采用的記號與術(shù)語.設(shè)X和Y為任意可分的Banach空間,L(X,Y)是從X到Y(jié)的有界線性算子的全體,特別地,L(X)=L(X,X).對任意算子A∈L(X,Y),記R(A)、N(A)和‖A‖分別為A的值域、零空間和范數(shù),若存在B∈L(Y,X),使得ABA=A,則B稱為A的1-逆,A稱為正則算子,通常記B=A(1).

定義 1.1[1]設(shè)A∈L(X,Y),W∈L(Y,X),稱滿足下列方程組的算子X∈L(X,Y)

AWXWA=A,XWAWX=X,AWX=XWA,

引理 2.1[1]設(shè)A∈L(X,Y),U∈L(Y),V∈L(X),則有:

(i) AA(1)L(X,Y)=AL(X),L(X,Y)A(1)A=L(Y)A;

(ii) AL(Y,X)=AA(1)L(Y),L(Y,X)A=L(X)A(1)A;

(iii) 若L(Y)U=L(Y),VL(X)=L(X),則L(Y,X)U=L(Y,X),VL(Y,X)=L(Y,X).

U=AWAA(1)+IY-AA(1),

(1)

引理 2.2 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) UL(Y)=L(Y);

(ii) AWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii) VL(X)=L(X).

證明 (i)?(ii) 由引理2.1及UL(Y)=L(Y),則有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAA(1)L(Y)=

(ii)?(i) 由于AWAL(Y,X)=AL(Y,X),且A(1)∈L(Y,X),因此存在X∈L(Y,X)使得

AWAX=AA(1).

(2)

記M=AXAA(1)+IY-AA(1),則有

AWAXAA(1)+IY-AA(1)=IY.

所以(i)成立.

(ii)?(iii) 記N=A(1)AXA+IX-A(1)A,X滿足方程(2),則有

A(1)AWAXA+IX-A(1)A=IX.

所以(iii)成立.

(iii)?(ii) 由引理2.1的(iii)可得VL(Y,X)=L(Y,X),則有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAL(Y,X)=

AVL(Y,X)=AL(Y,X).

對偶地可得以下引理.

引理 2.3 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) L(Y)U=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)V=L(X).

定理 2.1 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(ii)U可逆;

(iii)V可逆;

(iv) 算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解,而且

(3)

(4)

(5)

其中,X和Y分別是方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

證明 顯然U和V可逆當(dāng)且僅當(dāng)UL(Y)=L(Y),L(Y)U=L(Y)和VL(X)=L(X),L(X)V=L(X)分別成立;算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解當(dāng)且僅當(dāng)AWAL(Y,X)=AL(Y,X)和L(Y,X)AWA=L(Y,X)A成立.由引理2.2和引理2.3,(ii)、(iii)和(iv)是等價的,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分別是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

因此,只需證明(i)和(ii)等價.

所以,AWAL(Y,X)=AL(Y,X),L(Y,X)AWA=L(Y,X)A.由引理2.2和引理2.3,U可逆.

(ii)?(i) 若U可逆,由UA=AWA,則有

A=U-1AWA.

必存在X使得AWAX=AA(1)且

U-1A=U-1AA(1)A=U-1AWAXA=AXA,

則有

AWU-2AWA=AWU-1A=AWAXA=A,

U-2AWAWU-2A=U-2AWAWU-1AXA=

U-2AWAWAXAXA=U-2AWAA(1)AXA=U-2A.

U-2AWA=U-1A=AXA=AWAXAXA=

AWU-1AXA=AWU-2A,

令

S=AWAWAA(1)+IY-AA(1),

T=A(1)AWAWA+IX-A(1)A.

(6)

對照引理2.2和引理2.3,有以下引理.

引理 2.4 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i)SL(Y)=L(Y);

(ii)AWAWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii)TL(X)=L(X).

引理 2.5 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) L(Y)S=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWAWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)T=L(X),

則對照定理2.1,可直接得到以下定理.

定理 2.2 令A(yù)∈L(X,Y),則下列條件等價:

(ii)S可逆;

(iii)T可逆;

(iv) 算子方程AWAWAX=AA(1)和YAWAWA=A(1)A有解,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分解是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

引理 3.1[7]令A(yù)∈L(X,Y),W∈L(Y,X),則下列條件等價:

(ii) (AW)#和(WA)#存在,且R(AW)=R(A),N(WA)=N(A);

(iii)R(WA)⊕N(A)=X,N(AW)⊕R(A)=Y.

引理 3.2[9]令A(yù)∈L(X),L和M是X的閉子空間,且有X=L⊕M,PL,M為沿M到L的投影算子,則有:

(i)PL,MA=A?R(A)?L;

(ii)APL,M=A?N(A)?M.

引理 3.3[9]令B∈L(X).若‖B‖<1,則算子I±B均可逆,且

則有

則有

再由引理3.2,則有

即

同理

則有

(ii) 由(i)有

且

(iii) 由(i)和(ii)有

從而

4 算例

例 4.1 令

由計算可得

則有:

U=AWAA(1)+I3-AA(1)=

V=A(1)AWA+I4-A(1)A=

S=AWAWA(1)+I3-AA(1)=

T=A(1)AWAWA+I4-A(1)A=

而且

例 4.2 令

顯然

B=A+E=

且R(A)=R(B),N(A)=N(B).

利用行初等變換將

轉(zhuǎn)化為

和右邊矩陣交換最后的零行,則有

利用行初等變換有

再由計算得

同理

即得定理3.1.

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2010 MSC：15A09; 65F10

(編輯 李德華)

Existence Conditions and Perturbation Analysis for the Weighted Group Inverse of Linear Operators on Banach Space

HU Chunmei

(DepartmentofMathmaticsandComputerScience,LijiangTeachersCollege,Lijiang674100,Yunnan)

operator; weighted group inverse; necessary and sufficient conditions; perturbation

2016-03-29

云南省科技廳青年計劃項目(2013FD060)

胡春梅(1984—),女,講師,主要從事廣義逆理論及應(yīng)用的研究,E-mail:chunmeihu2008@163.com

O151

A

1001-8395(2017)02-0199-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.010