Hom-李型代數(shù)的若干結(jié)果

陳良云

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

Hom-李型代數(shù)的若干結(jié)果

陳良云

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

近十年來(lái),Hom-李型代數(shù)的研究取得了一些進(jìn)展.主要介紹Hom-李代數(shù)、Hom-李超代數(shù)、Hom-李color代數(shù)、Hom-Hopf代數(shù)的最新研究成果.

Hom-李代數(shù); Hom-李超代數(shù); Hom-李color代數(shù); Hom-Hopf代數(shù)

Hom-型代數(shù)是在原有代數(shù)基礎(chǔ)上,將其定義代數(shù)的等式用一個(gè)或幾個(gè)線性映射(稱為扭曲映射)進(jìn)行扭曲,從而得到的一類新的代數(shù).當(dāng)扭曲映射是恒等映射時(shí),Hom-型代數(shù)為原來(lái)的代數(shù).2006年,J.Hartwig等[1]引入了Hom-李代數(shù)的概念,目的是刻畫Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的q-形變.Hom-李代數(shù)本質(zhì)上就是李代數(shù)的某種形變,而考慮形變李代數(shù)的想法并非始于Hom-李代數(shù),更早些時(shí)候,就已經(jīng)有國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究[2-6].經(jīng)過(guò)十年的發(fā)展,Hom-李代數(shù)的研究結(jié)果很豐富[7-12].目前Hom-李代數(shù)的思想已經(jīng)應(yīng)用到很多經(jīng)典的代數(shù)中,得到如下Hom-型代數(shù)：Hom-結(jié)合代數(shù)[9]、Hom-李超代數(shù)[13]、Hom-李三系[14]、Hom-李color代數(shù)[15-17]、Hom-Novikov代數(shù)[18]、Hom-prelie代數(shù)[19]、n-元Hom-Nambu-李代數(shù)[20-22]、n-元Hom-Nambu-李超代數(shù)[23]、Hom-Jordan李代數(shù)[24]、Hom-Lie-Yamaguti代數(shù)[25]、Hom-Leibniz代數(shù)[26]、Hom-李Rinehart代數(shù)[27]、Hom-Jordan李代數(shù)[28]、Hom-李共形代數(shù)[29]、限制Hom-李代數(shù)[30]、Hom-李2-代數(shù)[31]、BiHom-李代數(shù)[32]、Hom-Hopf代數(shù)[33-34]等.由于Hom-型代數(shù)與理論物理、Yang-Baxter方程、辮子群和量子群等有密切聯(lián)系,人們得到了許多重要成果[13,23,25,32,35-43].本文將介紹Hom-李代數(shù)、Hom-李超代數(shù)、Hom-李color代數(shù)、Hom-Hopf代數(shù)的最新研究成果.

1 Hom-李代數(shù)

1.1 定義及例子

定義 1.1.1[10]設(shè)(L,[·,·],α)是一個(gè)三元組,其中L為數(shù)域K上的線性空間,二元運(yùn)算[·,·]:L×L→L滿足雙線性性,α:L→L是線性映射.若?x,y,z∈L,有:

(a) [x,y]=-[y,x],

(b) [α(x),[y,z]]+[α(y),[z,x]]+[α(z),[x,y]]=0,

則稱(L,[·,·],α)為Hom-李代數(shù).等式(b)稱為Hom-Jacobi恒等式.若α([x,y])=[α(x),α(y)],則Hom-李代數(shù)稱為保積的.

注 1.1.2 在上述定義中,當(dāng)α=id時(shí),Hom-李代數(shù)退化為李代數(shù).

例 1.1.3[7]設(shè){x1,x2,x3}是3維向量空間L的一組基.在L上定義的[·,·]和線性映射α如下:

經(jīng)驗(yàn)證,

故上面定義的Hom-李代數(shù)不為李代數(shù)的充分必要條件是a≠0,c≠0.

例 1.1.4[7]設(shè){x1,x2,x3}是sl2的一組基.定義方式如下：

其中q∈K是參數(shù).易知,它是Hom-李代數(shù),但不是李代數(shù).若q=1,退化為李代數(shù)的sl2.

定義 1.1.5[10]設(shè)(L,[·,·],α)是保積的Hom-李代數(shù),V是K上的向量空間,A∈gl(V).V稱為關(guān)于A的(L,[·,·],α)-模,若存在雙線性映射ρA:L→gl(V),使得?u,v∈L,滿足:

則ρA稱為(L,[·,·],α)關(guān)于A在V上的表示.

1.2 在半單李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)在這部分給出在半單李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu),設(shè)K是特征為0的代數(shù)閉域.

定義 1.2.1[44]設(shè)(L,[·,·])是李代數(shù),若線性映射σ:L→L滿足Hom-Jacobi恒等式,稱σ為李代數(shù)(L,[·,·])上的Hom-結(jié)構(gòu).

注 1.2.2 HS(L)為在李代數(shù)L上全體的Hom-結(jié)構(gòu)構(gòu)成的集合.

定理 1.2.3[8]設(shè)L是有限維單李代數(shù).如果(L,σ)是Hom-李代數(shù),則σ=id,即在單李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)是平凡的.

對(duì)于上述結(jié)果,文獻(xiàn)[44]用歸納的方法和GAP軟件重新刻畫了在半單李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu),并更正定理1.2.3:對(duì)于sl2,Hom-結(jié)構(gòu)是非平凡的.具體結(jié)果如下:

定理 1.2.4[44]設(shè)L是域K上有限維單李代數(shù).

(i) 若L?sl2,則

HS(L)=HS(sl2)=

(ii) 若Lsl2,則HS(L)=Kid.

注 1.2.6 HS(sl2)是6-維的Jordan代數(shù),其中在L上的乘法運(yùn)算為

故由定理1.2.5得,對(duì)于任意有限維半單李代數(shù)L,HS(L)是Jordan代數(shù).

1.3 Hom-李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)和PBW定理文獻(xiàn)[11]利用加權(quán)樹構(gòu)造了自由Hom-非結(jié)合代數(shù),得到了Hom-李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù).類似李代數(shù),也想得到Hom-李代數(shù)的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.由于加權(quán)樹的局限性,用這種構(gòu)造方法很難得到Hom-李代數(shù)的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.最近,文獻(xiàn)[45]構(gòu)造了自由對(duì)合的Hom-結(jié)合代數(shù),文獻(xiàn)[46]修改了文獻(xiàn)[45]中自由對(duì)合的Hom-結(jié)合代數(shù)的構(gòu)造,不同于文獻(xiàn)[11]的構(gòu)造方法給出了新的Hom-李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù),進(jìn)而給出了Hom-李代數(shù)的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.接下來(lái)先給出基本的定義.

定義 1.3.1[46](a) Hom-模是一個(gè)二元組(V,αV),V是K-模,αV:V→V是線性映射.

(b) 設(shè)(A,·,αA)是一個(gè)三元組,其中A是K-模,·:A?A→A是線性映射,保積的線性變換αA:A→A滿足下面的等式:

(e) 設(shè)(V,αV)和(W,αW)是Hom-模.線性映射f:V→W稱為Hom-模同態(tài),如果

(f) 設(shè)(A,·,αA)和(B,*,αB)是Hom-結(jié)合代數(shù).線性映射f:A→B稱為Hom-結(jié)合代數(shù)同態(tài),如果

最后,定義典范包含映射

得到下面結(jié)論：

定理 1.3.3[46]設(shè)(V,αV)是對(duì)合Hom-模,則:

在給出對(duì)合的Hom-李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)構(gòu)造和Poincaré-Birkhoff-Witt定理之前,先給出Hom-李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)的定義.

是Hom-結(jié)合代數(shù).設(shè)

則(Uh(L),φ0)是L的泛包絡(luò)Hom-結(jié)合代數(shù).在同構(gòu)意義下,L的泛包絡(luò)Hom-結(jié)合代數(shù)是唯一的.

在給出Poincaré-Birkhoff-Witt定理之前,定義線性算子

(1)

其中

定義JL,β如下

(2)

可得到

有下面結(jié)論成立:

2 Hom-李超代數(shù)

2.1 定義及例子

定理 2.1.1[47]Hom-李超代數(shù)(g,[·,·],α)是一個(gè)三元組,由一個(gè)Z2階化的向量空間g,一個(gè)偶的雙線性映射[·,·]:g×g→g和一個(gè)偶同態(tài)α:g→g組成,滿足以下的超對(duì)稱性和Hom-Jacobi等式:

(a) [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x],

(b) (-1)|x||z|[α(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[α(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[α(z),[x,y]]=0,

其中,x、y和z為g中的齊次元,|x|表示齊次元x的次數(shù).若α([x,y])=[α(x),α(y)],則Hom-李超代數(shù)稱為保積的.

注 2.1.2 在上述定義中,當(dāng)α=id時(shí),Hom-李超代數(shù)退化為李超代數(shù).

例 2.1.3[48]設(shè)osp(1,2)=V0+V1是李超代數(shù).V0由H、X、Y張成的子空間,其中

V1由F、G張成的子空間,其中

它們之間的乘法關(guān)系定義如下：

定義線性映射α:osp(1,2)→osp(1,2)如下：

此時(shí),得到

是Hom-李超代數(shù).

2.2 Hom-李超代數(shù)的表示與上同調(diào)設(shè)(g,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù),V=V0+V1是K上的向量超空間,β∈gl(V)是V上偶的線性映射,并且

是一個(gè)偶雙線性映射滿足[gi,Vj]?Vi+j,其中i,j∈Z2.

定義 2.2.1[47]三元組(V,[·,·],β)稱為在Hom-李超代數(shù)g上的Hom-?；騡-Hom-模V,若存在雙線性映射[·,·]V,使得任意的齊次元素x,y∈g,v∈V,滿足

稱(V,[·,·]V,β)為g的表示.

類似文獻(xiàn)[10]中李代數(shù)的上同調(diào)理論,給出Hom-李超代數(shù)的上同調(diào)[47].

設(shè)(g,[·,·],α)是保積的Hom-李超代數(shù).用|(x1,…,xk)|=|x1|+…+|xk|表示gk中元素的次數(shù).

若k-線性映射f:gk→V是斜超對(duì)稱的,則稱f是g上的k階-上鏈.用Ck(g,V)表示全體k階上鏈構(gòu)成的集合.

若

是偶的((x1,…,xk)是奇的),稱f是偶的(奇的).

若k階-上鏈f∈Ck(g,V)滿足A°f=f°α,即

下面給出上循環(huán)、余邊界算子和同調(diào)群的概念.

定義 2.2.3[47]設(shè)(g,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù),(V,[·,·]V,β)是Hom-模,稱

分別表示偶和奇k階上循環(huán).相應(yīng)的定義偶和奇上邊緣算子

對(duì)于Hom-李超代數(shù)的表示與上同調(diào)的應(yīng)用,將在介紹Hom-李color代數(shù)時(shí)給出.

2.3 在單李超代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)在這部分,給出在單李超代數(shù)上的Hom-李超代數(shù)的結(jié)構(gòu),設(shè)C是復(fù)數(shù)域.由于有限維單李超代數(shù)只有經(jīng)典型和cartan型，故在研究有限維單李超代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)只需研究這2類即可.在文獻(xiàn)[49]中,作者給出了在有限維單李超代數(shù)上的Hom-保積的李超代數(shù)結(jié)構(gòu)為0或恒等自同構(gòu).文獻(xiàn)[50]作者給出了在有限維單李超代數(shù)上的非保積的Hom-結(jié)構(gòu)是平凡的,即Hom-結(jié)構(gòu)是純量的.

定義 2.3.1[50]設(shè)(g,[·,·])是李超代數(shù),若線性映射σ:g→g使得(g,[·,·],σ)是(保積的)Hom-李超代數(shù),稱σ為李代數(shù)(g,[·,·])上(保積)的Hom-結(jié)構(gòu).

注 2.3.2 HS(g)為在李超代數(shù)g上全體的Hom-結(jié)構(gòu)構(gòu)成的集合,MHS(g)為在李超代數(shù)g上全體保積的Hom-結(jié)構(gòu)構(gòu)成的集合.

定理 2.3.3[49-50]設(shè)g是C上有限維的單李超代數(shù),則:

(a) HS(g)=Cid；

(b) MHS(g)={0,id}.

文獻(xiàn)[42]給出了8類無(wú)限維李超代數(shù)的Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)是純量的,更進(jìn)一步,8類無(wú)限維李超代數(shù)的保積的Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)要么是零,要么是恒等自同構(gòu).用X表示W(wǎng)、S、H、K、HO、KO、SHO、SKO,有下面結(jié)論：

定理 2.3.4[42]無(wú)限維李超代數(shù)X(m,n)的Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)是純量的.

定義 2.3.5[42]無(wú)限維李超代數(shù)X(m,n)的保積Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)要么是零,要么是恒等自同構(gòu).

文獻(xiàn)[51]給出了例外的單李超代數(shù)的Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)是平凡的.

3 Hom-李color代數(shù)

3.1 定義及例子

定義 3.1.1[17]設(shè)G為一個(gè)交換群.則映射ε:G×G→K{0}稱為G的一個(gè)反對(duì)稱雙特征標(biāo)(或交換因子),如果?f,g,h∈G,

在本文中,如果x,y,z為一個(gè)G-階化向量空間的齊次元素,那么|x|,|y|,|z|∈G定義為它們各自的次數(shù),用ε(x,y)代替ε(|x|,|y|),用ε(x,y+z)代替ε(|x|,|y|+|z|)等.此外ε(x,y)表示x,y為齊次元素.

定義 3.1.2[17]一個(gè)Hom-李color代數(shù)是一個(gè)四元組(A,[·,·],α,ε),由一個(gè)G-階化的向量空間A,一個(gè)雙特征標(biāo)ε,一個(gè)偶的雙線性映射[·,·]:∧2A→A(即[Aa,Ab]A?Aa+b)和一個(gè)偶同態(tài)α:A→A組成,使得對(duì)任意的齊次元素x,y,z∈A都滿足:

注 3.1.3 當(dāng)α=idA時(shí),得到李color代數(shù).李color代數(shù)是李代數(shù)和李超代數(shù)的一個(gè)泛化(如果G={0},有A=A0是一個(gè)李代數(shù),如果G=Z2={0,1}且ε(1,1)=-1,則A是一個(gè)李超代數(shù)).Hom-李color代數(shù)也可以被看做為Hom-李代數(shù)和Hom-李超代數(shù)的擴(kuò)展.

例 3.1.4[17]設(shè)sl(2,K)是3維單李代數(shù),具有下面一組基:

定義雙特征標(biāo)ε:G×G→K{0}

考慮偶同態(tài)α:sl(2,K)→sl(2,K),定義如下：

則(sl(2,K),[·,·]α=α°[·,·],α,ε)是Hom-李color代數(shù).

3.2 Hom-李color代數(shù)的表示與上同調(diào)設(shè)(A,[·,·],α,ε)是Hom-李color代數(shù),V是G-階化向量空間,β∈gl(V)是V上偶的線性映射,并且

是一個(gè)偶雙線性映射滿足[Ai,Vj]V?Vi+j,其中i,j∈G.

定義 3.2.1[15]三元組(V,[·,·],β)稱為A-模,若存在雙線性映射[·,·]V,使得任意的齊次元素x,y∈A,v∈V,滿足:

稱(V,[·,·]V,β)為A的表示.

例 3.2.2[16]設(shè)(A,[·,·]A,α)是Hom-李color代數(shù).線性映射ad：A→gl(A)定義如下

則(A,ads,α)是A的表示.稱此表示為Hom-李color代數(shù)A的伴隨表示.

例 3.2.3[16]設(shè)(A,[·,·]A,α)是Hom-李color代數(shù).對(duì)任意整數(shù)s,線性映射ads：A→gl(A)定義如下

則ads是正則Hom-李color代數(shù)(A,[·,·]A,α)的表示.稱此表示為正則Hom-李color代數(shù)(A,[·,·]A,α)的αs-伴隨表示.

對(duì)于Hom-李color代數(shù),只給出余邊界算子的定義,類似李超代數(shù)可以給出相應(yīng)的上同調(diào)定義.

為了研究表示和上同調(diào)的應(yīng)用,定義系數(shù)屬于A的A上的k-hom上鏈集合為

特別地,0-hom-上鏈定義為

3.3 表示和上同調(diào)的應(yīng)用

3.3.1Hom-Nijienhuis算子 這部分介紹Hom-李color代數(shù)的Hom-Nijienhuis,在文獻(xiàn)[10,13]中,給出了Hom-李代數(shù)和Hom-李超代數(shù)的Hom-Nijienhuis.

由于ψ與α交換,則對(duì)于每一個(gè)t來(lái)說(shuō)α都是關(guān)于擴(kuò)積[·,·]t的同態(tài),如果對(duì)于所有的擴(kuò)積[·,·]t,(A,[·,·]t,α)都具備正則Hom李超代數(shù)結(jié)構(gòu),那么說(shuō)ψ產(chǎn)生了一個(gè)關(guān)于正則Hom李超代數(shù)(A,[·,·]L,α)的有限維的形變.通過(guò)計(jì)算關(guān)于[·,·]t的Hom-Jacobi等式成立等價(jià)于ψ自身必須具備L上的Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)和d-1ψ=0.

其中括積[·,·]N定義為

獲得.此外,這個(gè)有限維形變是平凡的.

3.3.2T*-擴(kuò)張 這部分介紹Hom-李color代數(shù)的T*-擴(kuò)張,T*-擴(kuò)張的方法在文獻(xiàn)[52]中就已引入,并且這種代數(shù)的T*-擴(kuò)張是二次的.文獻(xiàn)[13,16]給出了Hom-李超代數(shù)和Hom-李color代數(shù)的T*-擴(kuò)張.

定理 3.3.3[16]設(shè)(A,[·,·]A,α,ε)為一個(gè)Hom李color代數(shù).A上的一個(gè)雙線性型f是不變的,如果f滿足

稱f為非退化的,如果它滿足

稱f為ε對(duì)稱的,如果它滿足

一個(gè)A的子空間I稱為迷向的,如果I?I⊥.

定理 3.3.4[16]Hom-李超代數(shù)(A,[·,·]A,α,ε)上的雙線性f稱為color對(duì)稱的,如果它滿足

在本部分中,只討論color對(duì)稱的雙線性型.

定理 3.3.5[13]設(shè)(A,[·,·]A,α,ε)為域K上的Hom-李color代數(shù),如果A具備一個(gè)非退化的不變超對(duì)稱雙線性型f,則稱(A,f,α)為二次Hom-李color代數(shù).類似的可以定義二次G階化向量空間.2個(gè)二次Hom-李color代數(shù)(A,f,α)和(A′,f′,β)是等距同構(gòu)的,如果存在Hom-李color代數(shù)同態(tài)φ:A→A′使得

引理 3.3.6[16]設(shè)ad為Hom-李color代數(shù)(A,[·,·]A,α)的伴隨表示,定義偶線性映射π:A→End(A*)定義為

(3)

稱表示π為A的余伴隨表示.

引理 3.3.7[16]在以上概念下,設(shè)(A,[·,·]A,α)為Hom-李color代數(shù),且ω:A×A→A*為偶的雙線性映射.假設(shè)這樣的余伴隨表示存在,在G-階化空間A?A*上定義如下的括積和線性映射：

(4)

(5)

顯然,A*為(A?A*,[·,·]α′,α′)的交換Hom-理想且A同構(gòu)于商Hom-李color代數(shù)(A?A*)/A*.此外,對(duì)于A?A*上的color對(duì)稱雙線性型qA,對(duì)任意的x+f,y+g∈A?A*,滿足

則有以下引理.

引理 3.3.8[13]設(shè)A,A*,ω和qA如上所述,則三元組(A?A*,qA,α′)為二次Hom-李color代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)ω是以上情形中的超上圈:

引理 3.3.9 設(shè)(A,[·,·]A,α)為域K上的Hom-李color代數(shù),

定理3.3.10的證明表示齊次雙線性映射ω依賴于Hom-理想I在L中的迷向子空間B0的選取.由此可見其實(shí)很多不同的T*-擴(kuò)張?jiān)诿枋觥巴环N”二次Hom-李超代數(shù).

定理 3.3.11[13]設(shè)A是特征不為2的域K上的一個(gè)Hom-李color代數(shù),ω1,ω2:A×A→A*為2個(gè)超循環(huán)的2-上循環(huán)并滿足|ωi|=0,則有:

(6)

如果存在以上情況,那么z的超對(duì)稱部分zs定義為

那么zs引導(dǎo)了一個(gè)A上的超對(duì)稱不變雙線性型.

3.3.3 單參數(shù)形式形變A.Makhlouf等[9]給出了Hom-結(jié)合代數(shù)和Hom-李代數(shù)的單參數(shù)形式形變.文獻(xiàn)[25]介紹了Hom-Yamaguti代數(shù)的單參數(shù)形式形變.文獻(xiàn)[14]介紹了Hom-李三系的單參數(shù)形式形變.在這部分,只給出Hom-李color代數(shù)的單參數(shù)形式形變[15].

定義 3.3.12[14]設(shè)(A,[·,·],α,ε)是域K上的Hom-李color代數(shù).(A,[·,·],α,ε)的單參數(shù)形式形變是指形式冪級(jí)數(shù)dt:A[[t]]×A[[t]]→A[[t]],其中

這里di是K-雙線性映射di:A×A→A(擴(kuò)展成K[[t]]-雙線性映射),d0(x,y)=[x,y],并使得以下等式成立

其中φi:A→A是K-線性映射(擴(kuò)展成K[[t]]-線性映射)且φ0=idA,滿足:

當(dāng)d1=d2=…=0時(shí),dt=d0稱為零形變.若dt～d0,則稱單參數(shù)形式形變dt是平凡的.

(a) d1是2階Hom-上圈;

3.4 分裂的正則Hom-李color代數(shù)2008年,A.Calderón[53]研究了任意維數(shù)和任意基域上具有對(duì)稱根系的分裂的李代數(shù)的結(jié)構(gòu).2015年,M.Aragón[54]將Calderón的理論方法推廣到Hom型代數(shù)上,研究了分裂的正則Hom-李代數(shù)的結(jié)構(gòu),特別地,證明了分裂的正則Hom-李代數(shù)是單的充要條件.更多關(guān)于分裂的Hom型代數(shù)結(jié)構(gòu)的結(jié)果見文獻(xiàn)[32,55-56].這部分主要介紹分裂的正則Hom-李color代數(shù)[56],給出了分裂的正則Hom-李color代數(shù)及其根連通的定義.利用根連通的性質(zhì),得到了最大長(zhǎng)度的帶有對(duì)稱根系的單分裂的正則Hom-李color代數(shù)的充分必要條件和分裂的正則Hom-李color代數(shù)分解成若干單理想的直和的必要條件.以下考慮A是正則的Hom-李color代數(shù),并且A是任意維數(shù)和任意基域.N表示自然數(shù),Z表示整數(shù).

定義 3.4.2 設(shè)A是正則的Hom-李color代數(shù),H是A的極大交換子代數(shù).對(duì)于一個(gè)線性映射α∈(H0)*,定義A的關(guān)于H的根空間,Aα:={vα∈A:[h,vα]=α(h)φ(vα),?h∈H}.元素α∈H*滿足Aα≠0稱為A關(guān)于H的根,并且記Λ:={α∈H*{o}:Aα≠0}.

定義 3.4.3 若

則稱A是關(guān)于H的分裂的正則Hom-李color代數(shù),稱Λ是A的根系.

引理 3.4.4 設(shè)A是正則的Hom-李color代數(shù),若H是A的極大交換子代數(shù),則H=Ao.

定義 3.4.5 分裂的正則Hom-李color代數(shù)的根系Λ稱為對(duì)稱的,如果滿足α∈Λ,有-α∈Λ.

定義 3.4.6 設(shè)α和β是2個(gè)非零根,如果存在α1,…,αk∈Λ滿足:若k=1,則

1)α1∈{aφ-n:n∈N}∩{±βφ-m:m∈N}.

若k≥2,則

2)α1∈{aφ-n:n∈N}.

3)

4) α1φ-k+1+α2φ-k+1+α3φ-k+2+…+αiφ-k+i-1+…+αkφ-1∈{±βφ-m:m∈N}.

稱α與β是連通的,同樣稱{α1,…,αk}是一個(gè)從α到β的連通.

定義

則HΛα是

和

的直和.

定義

命題 3.4.7 ?α∈Λ,則線性子空間AΛα是A的子代數(shù).

定義 3.4.8 設(shè)A是非交換的Hom-李color代數(shù),若它的理想只有{0}和A,則稱A是單的.

定理 3.4.9 以下結(jié)論成立:

1) ?α∈Λ,則與Λα相關(guān)的A的子代數(shù)

是A的理想;

2) 如果A是單的,那么存在從α到β的連通,?α,β∈Λ.

定理 3.4.10 若U為向量空間spanK{[Aα,A-α]:α∈Λ}在H中的補(bǔ)空間,則有

這里I[α]是按定理3.4.9條件1)描述的A的理想,此外,若[α]≠[β],則[I[α],I[β]]=0.

定義 3.4.11Hom-李color代數(shù)A的中心是Z(A)={x∈A:[x,A]=0}.

定理 3.4.12 若[A,A]=A,并且Z(A)=0,則A是定理3.4.9中給出的理想的直和,即

接下來(lái)考慮推論3.4.12中的直和成分是單的充分條件.

下面介紹分裂的正則Hom-李color代數(shù)的根可積和最大長(zhǎng)度的定義,?g∈G,定義Λg:={α∈Λ:Aα,g≠0}.

定義 3.4.14 稱分裂的正則Hom-李color代數(shù)A是根可積的,如果任意α∈Λgi和β∈Λgj,其中g(shù)i,gj∈G,滿足α+β∈Λ,那么[Aα,gi,Aβ,gj]≠0.

定義 3.4.15 稱分裂的正則Hom-李color代數(shù)A是最大長(zhǎng)度的,如果對(duì)于任意α∈Λg,g∈G,有dimAkα,kg=1,其中k∈{±1}.

定理 3.4.16 設(shè)A是分裂的正則Hom-李color代數(shù),并且A是最大長(zhǎng)度的,根可積的,以及Z(A)=0,則A是單的充要條件是A的所有根是連通的.

定理 3.4.17 設(shè)A是分裂的正則Hom-李color代數(shù),A是最大長(zhǎng)度的和根可積的,如果[A,A]=A,Z(A)=0,那么A是它的理想的直和,并且每個(gè)理想是所有非零根是連通的單的分裂的正則Hom-李color代數(shù).

4 Hom-Hopf代數(shù)

最后一部分關(guān)注Hopf代數(shù)的Hom-型.Hom-余代數(shù)、Hom-雙代數(shù)和Hom-Hopf代數(shù)由A.Makhlouf和S.Silvestrov在文獻(xiàn)[33-34]中首次引入,隨后Yau做了進(jìn)一步的研究,見文獻(xiàn)[12,57](下面稱為M-S型).Caenepeel和Goyvaerts從范疇角度考慮了Hom-型代數(shù),稱其為monoidal Hom-型(下面稱C-G型),見文獻(xiàn)[58].自此許多學(xué)者關(guān)注Hopf代數(shù)的這2類Hom-型[43,61-68].

下面只簡(jiǎn)介一下Radford雙積以及Yetter-Drinfeld范疇的M-S型(見文獻(xiàn)[61]),其C-G型可以在文獻(xiàn)[62]中找到.

定義 4.1.1 設(shè)(H,b)是Hom-雙代數(shù),(A,?,α)是(H,β)-模Hom-代數(shù).則(AH,α?β)(AH=A?H作為線性空間)帶有乘法

其中,a,a′∈A,h,h′∈H,和單位元1A?1H構(gòu)成一個(gè)Hom-代數(shù),稱其為smash積Hom-代數(shù).

注 4.1.2 (a) 這里smash積Hom-代數(shù)的乘法不同于文獻(xiàn)[66]中給出的.

(b) 在文獻(xiàn)[64]中可以找到上面的smash積Hom-代數(shù)和Makhlouf-Panaite的smash積Hom-代數(shù)的統(tǒng)一型.

對(duì)偶于上面smash積Hom-代數(shù),有

定義 4.1.3 設(shè)(H,β)是Hom-雙代數(shù),(C,ρ,α)是(H,β)-余模Hom-余代數(shù).則(C◇H,α?β)(C◇H=C?H作為線性空間)帶有余乘

其中c∈C,h∈H,和余單位εC?εH構(gòu)成一個(gè)Hom-余代數(shù),稱其為smash余積Hom-余代數(shù).

定理 4.1.4 設(shè)(H,β)是Hom-雙代數(shù),(A,α)是(H,β)-模Hom-代數(shù),其模結(jié)構(gòu)為?:H?A→A,同時(shí)又是(H,β)-余模Hom-余代數(shù),其余模結(jié)構(gòu)為ρ:A→H?A,則下述等價(jià):

下述條件成立(?a,b∈A,h∈H):

(R1) (A,ρ,α)是(H,β)-余模Hom-代數(shù);

(R2) (A,?,α)是(H,β)-模Hom-余代數(shù);

(R3)εA是Hom-代數(shù)同態(tài)且△A(1A)=1A?1A;

(R4) △A(ab)=a1(β2(a2-1)?α-1(b1))?α-1(a20)b2;

(R5)h1β(a-1)?(β3(h2)?a0)=(β2(h1)?a)-1h2?(β2(h1)?a)0.

由上面的Radford雙積Hom-雙代數(shù)的條件,引入下面定義.

定義 4.1.5 設(shè)(H,β)是Hom-雙代數(shù),(M,?M,αM)是(H,β)-模,模作用為?M:H?M→M,h?m→h?Mm,(M,ρM,αM)是(H,β)-余模,余模作用為ρM:M→H?M,m→m-1?m0,則稱(M,?M,ρM,αM)為(H,β)上的Hom-Yetter-Drinfeld模,如果下面條件成立:

其中h∈H,m∈M.

注 4.1.6 (a) 相容條件(HYD)不同于文獻(xiàn)[65]中的(2.1)以及文獻(xiàn)[62]中的(4.1).

(b) 當(dāng)(H,β,SH)是Hom-Hopf代數(shù)時(shí),和通常的Hopf代數(shù)情況相似,(HYD)有下面等價(jià)條件

(c) (HYD)和(R5)2個(gè)條件形式相同.

接下來(lái)給出Radford雙積Hom-Hopf代數(shù)和Hom-Yetter-Drinfeld范疇之間的關(guān)系.

注 4.1.10C-G型Hom-Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)(余結(jié)構(gòu)用α-1替換了α)不像M-S型那樣嚴(yán)格對(duì)稱,從而同一Hopf代數(shù)問(wèn)題的2類Hom-型的性質(zhì)也會(huì)有一定的差異,這一點(diǎn)可以從文獻(xiàn)[61-62]中Radford雙積的2類Hom-型以及2類Hom-Yetter-Drinfeld范疇的對(duì)稱性研究可以看出.

4.2 積分積分(integral)是Hopf代數(shù)理論的另一重要概念，它可以刻畫Hopf代數(shù)的半單性(即Maschke定理).而有限維Hopf代數(shù)的積分一定存在并且唯一.

文獻(xiàn)[59]給出了積分的C-G型,并得到了與通常Hopf代數(shù)下不同的結(jié)果.下面列出相關(guān)結(jié)論.

定義 4.2.1 設(shè)(H,α)是有限維monoidalHom-Hopf代數(shù).一個(gè)(H,α)中的左積分是一個(gè)α-不變?cè)猼∈H(即α(t)=t)并且滿足

定理 4.2.2 有限維monoidalHom-Hopf代數(shù)的積分不一定存在，但是如果存在那一定唯一.

最后要指出,基于不同的需要,Hopf代數(shù)有著多種形式的推廣,比如基于研究同倫量子場(chǎng)論的需要,Turaev引入的Hopf群余代數(shù)、基于研究算子代數(shù)和量子場(chǎng)論的需要,B?hm和Szlachnyi引入的弱Hopf代數(shù)以及Drinfeld利用扭曲思想引入的擬Hopf代數(shù)等.把這些推廣形式與Hom-型結(jié)構(gòu)合在一起就可以得到更廣的代數(shù)結(jié)構(gòu)[27,43,68].

5 問(wèn)題

下面給出幾個(gè)未解決的問(wèn)題：

1) 李理論中還有很多內(nèi)容在Hom-李型代數(shù)中未被研究,例如分類問(wèn)題、Engel定理、Lie定理等.

2)Hom-李型代數(shù)在量子力學(xué)、孤子理論的應(yīng)用有待研究.

3) 文獻(xiàn)[69]利用李三系給出了Yang-Baxter方程的一個(gè)解,那么可以考慮Hom-李三系是否能給出了Hom-Yang-Baxter方程的一個(gè)解?

4)Hom-Yetter-Drinfeld范疇中Hom-Hopf?；径ɡ?

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2010 MSC：17B05; 17B55; 17B56; 17B75

(編輯 周 俊)

Some Advances on Hom-Lie Type Algebras

CHEN Liangyun

(SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,Jilin)

In recent years,there are some advances in the study on the Hom-Lie type algebras.In this paper,we present the following aspects of these advances: Hom-Lie algebras,Hom-Lie superalgebras,Hom-Lie color algebras,Hom-Hopf algebras.At last,we propose some problems.

Hom-Lie algebras; Hom-Lie superalgebras; Hom-Lie color algebras; Hom-Hopf algebras

2016-12-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471090和11171055)

陳良云(1972—),男,教授,主要從事李代數(shù)的研究,E-mail:chenly640@nenu.edu.cn

O152.5

A

1001-8395(2017)02-0248-14

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.018