帶加性噪聲的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的漸近行為

王云肖,舒 級(jí),楊 袁,李 倩,汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川 成都 610066)

帶加性噪聲的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的漸近行為

王云肖,舒 級(jí)*,楊 袁,李 倩,汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川 成都 610066)

考慮帶加性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程在L2(D)中的漸近性質(zhì).首先將隨機(jī)偏微分方程轉(zhuǎn)化為僅含隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)方程,然后對(duì)該方程的解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì),從而得到隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的緊性,最后證明L2(D)中隨機(jī)吸引子的存在性.

隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程; 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng); 隨機(jī)吸引子; 加性噪聲

復(fù)Ginzburg-Landau方程是關(guān)于非平衡流體動(dòng)力系統(tǒng)和化學(xué)系統(tǒng)的不穩(wěn)定、超導(dǎo)和超流體、非線性光纖和Bose-Einstein凝聚及其空間模型描述的重要模型.它是一個(gè)非常有趣的模型.非線性Schr?dinger方程是一Hamilton系統(tǒng),在有限時(shí)間擁有局部奇異解,復(fù)Ginzburg-Landau方程是非線性Schr?dinger方程的耗散情形.目前有許多關(guān)于Ginzburg-Landau方程的研究[1-9].Guo B.L.等[9]研究了廣義2D Ginzburg-Landau方程

并得到了在

條件下整體吸引子的存在性.對(duì)于隨機(jī)情形,文獻(xiàn)[10]研究了隨機(jī)廣義2D Ginzburg-Landau方程

本文考慮如下帶加性噪聲的隨機(jī)廣義2D分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程

(1)

具有周期邊界條件和初始條件:

(2)

其中,u(x,t,ω)是未知復(fù)值函數(shù),x∈D=[0,1]×[0,1],t>0,ω∈Ω,(-△)α是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,Φ是線性算子,ρ>0,1<α<2,γ,μ,β是實(shí)參數(shù),λ1和λ2是復(fù)參數(shù).W是關(guān)于時(shí)間的雙邊柱形Wiener過(guò)程,它是定義在適應(yīng)于{Ft}t≥0的完備概率空間(Ω,F,P)中的取值于L2(0,1)上的函數(shù),可寫為

其中,wk(k∈N)是相互獨(dú)立的Brown序列,(ek)k∈N是L2(D)上的正交基.

令Ω={ω∈C(R,U)|ω(0)=0},其中U是一個(gè)Hilbert空間并且滿足L2(D)U是Hilbert-Schmidt嵌入的,則W(t)是取值于U的隨機(jī)過(guò)程,且其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量屬于C(R,U).Φ是L2(D)上的有界線性算子.

本文的目的是證明問(wèn)題(1)和(2)在L2(D)上存在隨機(jī)吸引子.為此,需要證明u(t)關(guān)于時(shí)間在不同空間的一致有界性.本文應(yīng)用類似于文獻(xiàn)[11-14]中的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的一些相關(guān)知識(shí)[15-16].若(Ω,F,P)是一個(gè)概率空間,{θ:Ω→Ω},t∈R+是一簇保測(cè)度變換,并且映射(t,ω)|→θtω是可測(cè)的,θ0=IX,θt+s=θtθs,其中,s,t∈R,則(θt)t∈T是一個(gè)流,((Ω,F,P),(θt)t∈T)是一個(gè)可測(cè)動(dòng)力系.

定義 1.1 設(shè)(X,d)是可分的距離空間,F是Borelσ-代數(shù),θt是(Ω,F,P)對(duì)應(yīng)的保測(cè)度變換,若可測(cè)映射

在X上滿足:

1)S(0,ω)=IX,

2) 對(duì)任意的s,t∈R,ω∈Ω,有S(t+s,ω)=S(t,θsω)°S(s,ω),其中°代表復(fù)合算子,

3)S(t,ω):X→X是連續(xù)的;

那么稱S是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

定義 1.2 給定一個(gè)隨機(jī)集K,集合

稱為K的Ω-極限集.

定義 1.3 若S是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),存在隨機(jī)緊集ω|→A(ω)滿足以下條件:

1)A(ω)是嚴(yán)格不變的,即對(duì)于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω),

2)A(ω)吸引所有確定有界集B?X;

那么稱A(ω)為S的隨機(jī)吸引子.

定理 1.1 假設(shè)S是Polish空間上的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),若存在緊集ω|→K(ω)吸收每一個(gè)有界非隨機(jī)集B∈X,那么集合

是S的隨機(jī)吸引子.

接下來(lái)給出交換子估計(jì)的相關(guān)引理[17].

引理 1.1 設(shè)u∈Lq并且對(duì)于u的m階導(dǎo)數(shù)為Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.對(duì)于Dju,0≤j

(3)

并有

(4)

引理 1.2 假設(shè)S>0并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

(5)

則有不等式

(6)

下面給出分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和分?jǐn)?shù)階Sobolev空間及其范數(shù)的定義[18].

另外,分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Hα的范數(shù)規(guī)定如下

本文常用的幾個(gè)函數(shù)空間定義如下

其范數(shù)分別記為‖·‖和‖·‖V.

2 隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程的解及其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

下面證明問(wèn)題(1)和(2)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的存在性.為此,方程(1)可寫為

(7)

Φ:L2(D)→D是線性算子.引入如下帶初值的線性方程

初始條件為z(0)=0.該方程的解z是Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程,z∈C([0,∞],V)[13],z是穩(wěn)態(tài)遍歷過(guò)程,它的跡是P-a.s.連續(xù)的,并且對(duì)于任意t和s有

設(shè)B是H中的有界集,對(duì)于t0<0和u(t0)∈B,令

其中,u是方程(1)的解.由方程(7)和v的形式知,隨機(jī)過(guò)程v滿足隨機(jī)方程

(8)

(9)

對(duì)于P-a.s.ω∈Ω,v0∈L2(D),存在唯一解v∈C1((0,T):H)∩C([0,T):H),?T<∞,且對(duì)于t≥t0,映照ξ=v(t0)|→v(t)從H到V是連續(xù)的.

對(duì)任意v(t0)=v0,v(t,ω;t0,v0)表示方程(8)和(9)的解有

顯然,由

定義了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng){(S(t,ω;t0))}t≥t0,ω∈Ω,稱為由帶加性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程產(chǎn)生的流.對(duì)于t≥t0,映照ω→S(t,ω;t0)u0是可測(cè)的.

3 隨機(jī)吸引子的存在性

現(xiàn)證明{(S(t,ω;t0))}t≥t0,ω∈Ω是緊的,并且t=0時(shí)在H、V中存在緊吸收集.令v是方程(8)和(9)的解,對(duì)于ω∈Ω,需要得到解v在H、V上的先驗(yàn)估計(jì).在本文中,εi(i=1,2,…,13),i(i=1,2,…,8),ki(i=1,2,…,8),κi(i=1,2,…,14),C和c表示依賴方程(1)系數(shù)的正常數(shù).

證明 將方程(8)與v作內(nèi)積,并取實(shí)部得

(10)

首先有

(11)

(10)式右邊第1項(xiàng)可估計(jì)為

(12)

(10)式右邊第2和第3項(xiàng)分別估計(jì)為

(13)

和

(14)

通過(guò)(10)～(14)式得到

(15)

其中

且

(16)

通過(guò)(15)和(16)式可得到

且

那么可得

根據(jù)Gronwall不等式有

在t→-∞時(shí),ω∈ω,g3(t)≥0,P-a.s,至多以多項(xiàng)式增長(zhǎng),即r1是P-a.s.有限的[11].

引理 3.2 不等式

成立,且g5(t)證明過(guò)程中給出.

證明 將方程(8)與|v|6v作內(nèi)積,并取實(shí)部得

(17)

注意到

(18)

(17)式左邊為

(19)

(17)式右邊第2項(xiàng)可估計(jì)為

對(duì)任意ε有0<ε<α并且p<∞且1/p+1/q=1,令ε=1/p得到

(20)

方程(17)等號(hào)右邊第3項(xiàng)可以估計(jì)為

(21)

方程(17)等號(hào)右邊第4項(xiàng)估計(jì)為

(22)

注意到

其中,在1

(22)式右邊第1項(xiàng)可估計(jì)為

(22)式右邊第2項(xiàng)可估計(jì)為

(22)式右邊第3項(xiàng)可被估計(jì)為:

和

由上式,(22)式可估計(jì)為

(23)

其中

且

因?yàn)?/p>

求得

同上可得

(24)

由(18)～(25)式,(17)式可變?yōu)?/p>

其中

得證.

證明 將方程(8)與(-△)αv作內(nèi)積,并取實(shí)部得

(26)

注意到

(27)

(26)式右邊第1項(xiàng)展開(kāi)可得

(28)

且

(29)

因?yàn)?/p>

(30)

由(28)～(30)式可估計(jì)為

(31)

其中

(26)式右邊第2項(xiàng)和第3項(xiàng),可分別估計(jì)為

和

且

(32)

其中

通過(guò)(26)～(32)式,(26)式可變?yōu)?/p>

(33)

其中

根據(jù)(33)式和引理3.2可得

其中

使得

上式的積分是一個(gè)二次型,若其矩陣M為非負(fù)定的,則有

(34)

則二次型也是非負(fù)定的,于是積分為非正.

注意到

(35)

即

(37)

且

(38)

根據(jù)(34)～(38)式得

(39)

則

有

(40)

g8(t)≥0(t→∞)至多以多項(xiàng)式增長(zhǎng),即r2是P-a.s.有限的.

定理 3.1 帶附加噪聲的隨即廣義2D分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程的隨機(jī)流{(S(t,s;ω))}t≥s,ω∈Ω,在H中存在緊的吸引子.

證明 由引理1.2和3.3可得該隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)在H、V中存在吸收集,又嵌入VH在區(qū)域D上是緊的,因此由定理1.1便得定理3.1.

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2010 MSC：35Q56; 60H15

(編輯 李德華)

Asymptotic Behavior of the 2D Generalized Fractional Stochastic Ginzburg-Landau Equation with Additive Noise

WANG Yunxiao,SHU JI,YANG Yuan,LI Qian,WANG Chunjiang

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper,the asymptotic dynamic problem is considered for the fractional stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise defined inL2(D).Firstly,the partial differential equation is trasformed into the random equation that only includes the random parameters.The compactness of the random dynamical system then is established by a priori estimation method.And finally,the existence of a random attractor for the random dynamical system is proved inL2(D).

stochastic fractional Ginzburg-Landau equation; random dynamical system; random attractor; additive noise

2016-04-13

四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)計(jì)劃項(xiàng)目(2016JY0204)和四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)科研基金(14ZA0031)

O177.92

A

1001-8395(2017)02-0149-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.002

*通信作者簡(jiǎn)介：舒 級(jí)(1977—),男,副教授,主要從事隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)和偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com