利用開普勒方程求解一道高中物理競賽試題的思考

安徽合肥市第八中學(230071)

張挽犁●

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利用開普勒方程求解一道高中物理競賽試題的思考

安徽合肥市第八中學(230071)

張挽犁●

利用開普勒方程，對一道高中物理競賽試題進行了求解.

開普勒方程；高中物理；競賽試題

一、2012年全國中學生物理競賽的一道復賽試題

設想在地球赤道平面內有一垂直于地面延伸到太空的輕質電梯，電梯頂端可超過地球的同步衛(wèi)星高度R(從地心算起)延伸到太空深處.這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射繞地人造衛(wèi)星，其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動推進裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去.

1.設在某次發(fā)射時，衛(wèi)星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，該衛(wèi)星在上升到0.80R處意外地和太空電梯脫離(脫離時衛(wèi)星相對于太空電梯上脫離處的速度可視為零)而進入太空.

(1)論證衛(wèi)星脫落后不會撞擊地面.

(2)如果衛(wèi)星脫落后能再次和太空電梯相遇，即可在它們相遇時回收該衛(wèi)星.討論該衛(wèi)星從脫落時刻起，在0～12小時及12～24小時兩個時間段內被太空該電梯回收的可能性.

2.如果太空電梯地點位于東經110度處，在太空電梯上離地心距離為XR處有一衛(wèi)星從電梯脫落(脫落時衛(wèi)星相對于太空電梯上脫落處的速度可視為零)，脫落后該衛(wèi)星軌道剛好能和赤道某處相切，而使衛(wèi)星在該點著地，試求衛(wèi)星著地點的經度.提示：此問要用數值方法求解高次方程.

二、試題分析

原題在2012年具有較大的難度.其中第2小問，題文的要求是予以定性分析，并不要求求出嚴格的答案.考場上有很多同學試圖求出嚴格解，但探測器的軌道是橢圓，這就涉及了橢圓積分的問題，是參加復賽的同學的水平很難企及的.我在備考競賽的過程中，對于這道題的嚴格解產生了興趣.在本文中，我利用開普勒方程求出了回收時間的嚴格解.

1.原題中第一小問的求解

2.接下來我們討論是否能回收的問題

原題解中并未給出定量計算過程.簡要分析，發(fā)現(xiàn)這勢必需要通過開普勒方程求出偏近點角，再利用積分求出一部分橢圓的面積，最后依據開普勒定律求出周期.對于參加復賽的學生們，若考察該小問的定量計算，是超越了考綱的，更是完全失敗的.現(xiàn)在我們給出這個問題的定量計算結果.

那么，探測器掃描過的總面積可計算為：

至此，得到了最終答案.與原題解中定性分析的“12～24小時內被回收”相符.若直接將橢圓的真近點角與時間的關系化為線性，得到的答案應為15.5小時，與嚴格解相差了一個多個小時.本題的嚴格解需要比較高的數學及物理工具，并不適宜于作為一道物理試題.并且，本題中許多方程用正常手段很難解出，只能數值解.而數值解則就產生了很大的誤差，本題解只是提供了一個思路，并在保留5位有效數字的情況下做了一個求解，僅供參考.

[1]全國中學生物理競賽第29屆試題及解答.

[2]石教興. 開普勒方程的推導及其意義[J]. 鄖陽師范高等?？茖W校學報,2005,25(3).

[3]舒幼生. 奧賽物理題選[M]. 北京:北京大學出版社,2014. 108-109.

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