論恒成立問題的解題策略

江蘇省昆山市第一中學(xué)(215300)

陳小麗●

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論恒成立問題的解題策略

江蘇省昆山市第一中學(xué)(215300)

陳小麗●

本文緊扣住恒成立問題的解題策略這條主線，從四個(gè)方面總結(jié)了恒成立問題在各個(gè)知識(shí)板塊的相關(guān)應(yīng)用及應(yīng)用技巧，并結(jié)合了一些實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明.通過研究發(fā)現(xiàn)巧妙運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法可以解決一些具體的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果.

恒成立；構(gòu)建函數(shù)；變量分離；數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題一直以來(lái)都是一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，近年來(lái)已經(jīng)逐漸成為高考中的必考題型.這類問題通常題設(shè)中均含有恒成立的條件，給我們以很明顯的提示，我們?cè)谔幚淼臅r(shí)候主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想去解決.

恒成立問題包括函數(shù)的不同題型，比如一、二次函數(shù)；指、對(duì)數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，還有數(shù)列，解析幾何等不同的知識(shí)點(diǎn)，順應(yīng)了考試命題的制定原則.就是因?yàn)楹愠闪栴}所涉及的知識(shí)點(diǎn)多，有著一定的綜合性，大量學(xué)生對(duì)怎么樣從試題中獲取知識(shí)通常是十分模糊的，進(jìn)而逐漸變成高中階段學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常見到的題目.恒成立問題的大量題目均和函數(shù)的最值有著一定關(guān)系，這就促使教師在日常教學(xué)過程中需要向高中學(xué)生教授函數(shù)的重要思想與方式，不斷指引他們深入了解知識(shí)點(diǎn)間存在的關(guān)聯(lián)，還有教學(xué)過程中的通性通法.

為了能夠?qū)τ诤愠闪栴}的解題方式有更加全方位的了解，文章嘗試對(duì)這些問題的解題方式進(jìn)行歸納.

一、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問題

在處理涉及多元不等式恒成立題目的時(shí)候，最為主要的就是建立適宜的函數(shù)，之后借助其圖象與特征來(lái)求解.在涉及多變?cè)念}型中，我們必須按照已知的知識(shí)點(diǎn)來(lái)明確適宜的變量與數(shù)值，來(lái)代表存在的函數(shù)關(guān)系，使題目看起來(lái)更加明確.通常而言，必須把已知的條件當(dāng)作是變量，將需要求解的量當(dāng)作是參數(shù).

1.變更主元，建立一次函數(shù)

大家都知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線，如果想要使其在范圍內(nèi)恒大于(或小于)零，僅僅需要讓其在范圍內(nèi)的兩個(gè)端點(diǎn)處恒大于(或小于)零就行.

2.構(gòu)建二次函數(shù)

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，二次函數(shù)的恒成立問題主要根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)研究，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的函數(shù)值大于零恒成立，我們一般可以考慮用判別式法，只需考慮該函數(shù)圖象的開口方向和判別式，其它問題可作類似的處理；若二次不等式中x的取值范圍有限制，則可利用實(shí)根的分布來(lái)解決問題.根據(jù)給定的定義域，一元二次不等式恒成立問題常見下面兩種題型：

分析 由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式mx2+2x+3>0對(duì)x∈R恒成立，這是一個(gè)不等式恒成立問題.設(shè)f(x)=mx2+2x+3，由于二項(xiàng)式系數(shù)為參數(shù)m，所以要先對(duì)參數(shù)m進(jìn)行討論，考查了分類與整合思想.當(dāng)m≠0時(shí)，要使不等式恒成立，則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象必須恒在x軸上方，那么我們根據(jù)圖象得知開口向上且對(duì)應(yīng)的Δ<0.在本題中，主要貫穿了函數(shù)與方程思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

例3 對(duì)任意x∈[-1,1]，不等式x2+(m-4)x+4-2m>0恒成立，求m的取值范圍.

分析 本題是不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題.我們可以根據(jù)不等式構(gòu)造出二次函為f(x)=x2+(m-4)x+4-2m，從而問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最小值.我們發(fā)現(xiàn)這是常見的動(dòng)軸定區(qū)間問題，于是我們還要根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置分為三種情況去討論，從而問題得以解決.

3.構(gòu)建三次函數(shù)解決含雙變量的恒成立問題

在上面的兩類問題的討論中我們只涉及了一個(gè)變量，一個(gè)參數(shù).然而，高中數(shù)學(xué)關(guān)于恒成立的問題拓展的范圍很廣，很深.有很多問題會(huì)涉及到多個(gè)變量，那么我們?cè)谔幚磉@類恒成立問題時(shí)就需要先理清楚變量的先后順序，一旦先鎖定一個(gè)變量，那么就將問題轉(zhuǎn)化為這個(gè)變量的恒成立問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒右越鉀Q.下面來(lái)看一個(gè)實(shí)例：

例4 已知f(x)=-x4-ax3-2x2+16lnx+b，其中a,b∈R，若對(duì)任意a∈[-2,2]，f(x)≤-x4在x∈(0,1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

二、參變量分離，轉(zhuǎn)化為最值解決恒成立問題

三、數(shù)形結(jié)合，直觀處理恒成立問題

數(shù)形結(jié)合就是以形助數(shù)，以數(shù)輔形，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，在含有不等式恒成立題型中它同樣發(fā)揮著十分關(guān)鍵的作用.眾所周知，函數(shù)圖象與不等式存在一定關(guān)系，假設(shè)不等式中表示的函數(shù)的圖象能夠簡(jiǎn)單描繪出來(lái)，就能夠借助圖象的位置關(guān)聯(lián)構(gòu)建不等式，進(jìn)而獲得參數(shù)區(qū)間.

分析 本題中的不等式對(duì)應(yīng)的參數(shù)在底數(shù)的位置上，不易變形出來(lái).通常我們解答時(shí)是將不等式進(jìn)行變形，使變形后的不等式的兩邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)為我們所熟悉的基本函數(shù)，然后通過作出它們的圖象，通過它們的交點(diǎn)情況來(lái)建立相關(guān)的不等式進(jìn)行解答．利用數(shù)形結(jié)合法解答此類不等式的關(guān)鍵有三處：

(1)不等式的變形，找準(zhǔn)相應(yīng)的基本函數(shù)；

(2)準(zhǔn)確畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的有關(guān)圖象；(3)尋找兩個(gè)圖象的交匯處與位置關(guān)聯(lián).

恒成立問題的題型通常包括大量的知識(shí)點(diǎn)，求解的方式是較多的，有著十分強(qiáng)大的技巧性，在解題過程中可能還會(huì)滲透進(jìn)分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想等，這就要求學(xué)生具有較強(qiáng)的思維靈活性和創(chuàng)造性.上面我們提到的幾種解題策略是比較常用的，但因?yàn)閱栴}的形式千變?nèi)f化，考題也?？汲Ｐ?，所以我們要在教學(xué)過程中歸納總結(jié)出解決恒成立問題的其他方法.我們了解到，解題方式并不是獨(dú)立存在的，在求解過程中，通常必須進(jìn)行綜合考量，自由使用，才可以更加順暢的求解.不過，無(wú)論是使用什么樣的求解方法，均融入了教學(xué)的思想方式，也就是借助化歸到函數(shù)求其最值來(lái)進(jìn)行解決.只有把握了這點(diǎn)，才可以以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，不過這是需要我們進(jìn)行深入體驗(yàn)與歸納.

[1]查志剛.談恒成立問題的求解方法探討[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2003(6).

[2]金建軍.高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2006.

[3]楊金全.高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用與探究[J].學(xué)周刊，2015(12).

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